新教材适用2023-2024学年高中数学第1章数列2等差数列2.1等差数列的概念及其通项公式第1课时等差数列学案北师大版选择性必修第二册

2.1等差数列的概念及其通项公式第1课时等差数列学习目标1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的判定方法．3．掌握等差数列的通项公式及通项公式的应用．核心素养1．通过对等差数列的有关概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助等差数列通项公式的应用，培养数学运算素养．知识点1等差数列的定义文字语言对于一个数列，如果从第_2__项起，每一项与它的前一项的_差__都是_同一个常数__，称这样的数列为等差数列符号语言若_an－an－1＝d(n≥2)__，则数列{an}为等差数列[提醒]“每一项与前一项的差”的含义有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．想一想：若把等差数列概念中“同一个”去掉，那么这个数列还是等差数列吗？提示：一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于常数，若这些常数相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不相等，则这个数列不是等差数列．练一练：(多选)下列数列是等差数列的是(AC)A．0,0,0,0,0，…B．1,11,111,1111，…C．－5，－3，－1,1,3，…D．1,2,3,5,8，…[解析]根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而B，D中，从第2项起，后一项与前一项的差不是同一个常数．知识点2等差数列的通项公式若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝_a1＋(n－1)d__.练一练：1．已知等差数列{an}，a1＝2，a3＝5，则公差d等于(B)A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,2)C．3 D．－3[解析]由已知等差数列{an}，a1＝2，a3＝5可得等差数列{an}的公差d＝eq\f(a3－a1,3－1)＝eq\f(5－2,2)＝eq\f(3,2).2．等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝4，如果an＝2023，则序号n＝(D)A．503 B．504C．505 D．506[解析]由an＝a1＋(n－1)d得2023＝3＋4(n－1)，解得n＝506.题型探究题型一等差数列的通项公式典例1(1)已知数列{an}是等差数列，且a1＝1，a2＋a4＝10.求数列{an}的通项公式．(2)在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求通项公式an.[解析](1)设等差数列{an}的公差为d，则2a1＋4d＝10，即2＋4d＝10，解得d＝2，所以an＝2n－1.(2)设数列{an}的公差为d，由a5＝11，a8＝5，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋(5－1)d＝11，,a1＋(8－1)d＝5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝11，,a1＋7d＝5，))解得a1＝19，d＝－2，所以数列{an}的通项公式an＝19＋(n－1)×(－2)＝21－2n.[规律方法]基本量法求通项公式(1)根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．(2)等差数列{an}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就称为基本量．(3)如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．对点训练❶(1)在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(C)A．8 B．12C．16 D．24(2)等差数列{an}中，①已知a3＝－2，d＝3，求an的值；②若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值．[解析](1)设公差为d，首项为a1，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝2，,a1＋4d＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝2.))∴a9＝a1＋8d＝16.(2)①由a3＝a1＋(3－1)d，得a1＝a3－2d＝－8，an＝－8＋(n－1)×3＝3n－11.②an＝a1＋(n－1)d，所以a5＝a1＋4d，所以11＝a1－4×2，所以a1＝19，所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21，令－2n＋21＝1，得n＝10.题型二等差数列的判断与证明典例2(1)判断下列数列是否为等差数列？①an＝3n＋2；②an＝n2＋n.(2)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(an,1＋3an)(n∈N*)，bn＝eq\f(1,an)(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列，并求出首项和公差．[解析](1)①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列．②因为an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2(不是常数)，所以此数列不是等差数列．(2)证明：方法一：因为eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1＋3an,an)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋3，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝3，又因为bn＝eq\f(1,an)(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝3(n∈N*)，且b1＝eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2).所以数列{bn}是等差数列，首项为eq\f(1,2)，公差为3.方法二：因为bn＝eq\f(1,an)，且an＋1＝eq\f(an,1＋3an)，所以bn＋1＝eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1＋3an,an)＝eq\f(1,an)＋3＝bn＋3，所以bn＋1－bn＝3(n∈N*)，b1＝eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2).所以数列{bn}是等差数列，首项为eq\f(1,2)，公差为3.[规律方法]1．用定义证明一个数列是等差数列，即证明an＋1－an＝d(d为常数).2．说明一个数列不是等差数列，只需说明存在p，q使ap＋1－ap≠aq＋1－aq(p，q∈N＋)即可．对点训练❷已知数列{xn}满足xn＝eq\f(3xn－1,xn－1＋3)(n≥2，且n∈N＋)．(1)求证：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差数列；(2)当x1＝eq\f(1,2)时，求x100.[解析](1)证明：当n≥2时，eq\f(1,xn)＝eq\f(xn－1＋3,3xn－1)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,xn－1)，∴eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,3)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差数列，公差为eq\f(1,3).(2)由(1)知，eq\f(1,xn)＝2＋eq\f(1,3)(n－1)，∴eq\f(1,x100)＝2＋eq\f(1,3)×(100－1)＝35，∴x100＝eq\f(1,35).题型三等差数列的实际应用典例3某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？[解析]根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元．[规律方法]在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．对点训练❸高一某班有位学生第1次考试数学考了69分，他计划以后每次考试比上一次提高5分(如第2次计划达到74分)，则按照他的计划该生数学以后要达到优秀(120分以上，包括120分)至少还要经过的数学考试的次数为_11__.[解析]设经过n次考试后该学生的成绩为an，则an＝5n＋69，由5n＋69≥120，得n≥eq\f(51,5)＝10eq\f(1,5)，所以至少要经过11次考试．易错警示求等差数列的公差时因考虑不周致误典例4首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是(D)A．d>eq\f(8,3) B．d<3C．eq\f(8,3)≤d<3 D．eq\f(8,3)<d≤3[错解]a10＝a1＋9d＝－24＋9d>0，解得d>eq\f(8,3).故选A．[误区警示]该等差数列的首项为负数，从第10项起开始为正数，说明公差为正数，且第9项为非正数，第10项为正数，解决此类问题时容易忽视第9项的要求．[正解]由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－24＋9d>0，,－24＋8d≤0，))解得eq\f(8,3)<d≤3，故选D.1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(A)A．是公差为2的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列[解析]∵an＝2n＋5，∴an－1＝2n＋3(n≥2)，∴an－an－1＝2n＋5－2n－3＝2(n≥2)，∴数列{an}是公差为2的等差数列．2．等差数列－3,1,5，…的第15项的值是(B)A．40 B．53C．63 D．76[解析]设这个等差数列为{an}，其中a1＝－3，d＝4，∴a15＝a1＋14d＝－3＋4×14＝53.3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数为(C)A．92 B．47C．46 D．45[解析]a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋