2023-2024学年人教A版必修第二册 6-3-4平面向量数乘运算的坐标表示 学案

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示【学习目标】(1)掌握平面向量数乘运算的坐标表示．(2)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(3)能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．题型1平面向量数乘运算的坐标表示【问题探究1】我们知道3a＝a＋a＋a以及向量加、减的坐标运算．根据上面的提示，若已知向量a＝(x，y)，你能得出2a，3a的坐标吗？例1已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.题后师说平面向量数乘坐标运算的策略跟踪训练1(1)已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b＝()A．(1，－2)B．(1，2)C．(5，6)D．(2，0)(2)已知向量AB＝(2，4)，AC＝(0，2)，则12BC＝(A．(－2，－2)B．(2，2)C．(1，1)D．(－1，－1)题型2平面向量共线的坐标表示【问题探究2】如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，根据共线向量定理，a与b共线时，存在唯一实数λ，使a＝λb，那么根据向量数乘运算的坐标表示，你能发现a与b的坐标之间的关系吗？例2(1)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是()A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(0，2)，e2＝(32，C．e1＝(3，5)，e2＝(5，3)D．e1＝(1，3)，e2＝(－2，－6)(2)已知向量a＝(2，1)，b＝(3，2)，当k为何值时，ka－b与a＋2b共线．一题多变本例(2)中条件不变，若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb且A、B、C三点共线，求实数m的值．题后师说利用向量共线的坐标表示求参数的策略跟踪训练2(1)已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝()A．－9B．9C．3D．－3(2)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，向量OA＝(1，1)，OB＝(2，－3)，OC＝(－6，29)，试判断A，B，C三点是否共线，写出理由．题型3共线向量与线段分点坐标的计算【问题探究3】结合课本6.3.4例9，如图所示，设P(x，y)是线段P1P2上不同于P1，P2的点，且满足P1P＝λPP2，如何求点P的坐标？当λ＝例3如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且CGGD＝2，求点G学霸笔记：(1)解决向量中的分点问题，关键是找出分得的两向量的关系，再根据向量相等建立坐标之间的相等关系，把向量问题实数化，但要注意分点的位置情况．(2)本例求得的G点的坐标即是△ABC重心的坐标．跟踪训练3已知点P1(1，3)，P2(4，－6)，P是直线P1P2上的一点，且P1P＝2PP2，那么点随堂练习1．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝()A．(1，－1)B．(－1，1)C．(－4，6)D．(4，－6)2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，－4)，则a与b()A．平行且同向B．平行且反向C．垂直D．不垂直也不平行3．已知A(－3，1)，B(x，－1)，C(2，3)三点共线，则x的值为()A．－7B．－8C．－9D．－104．若AB＝(3，－6)，B(－2，3)，则线段AB的靠近B的三等分点P的坐标为________．课堂小结1.平面向量数乘运算的坐标表示．2．利用共线向量定理的坐标表示向量共线及点共线问题．3．有向线段的定比分点坐标公式的推导及中点坐标公式．6．3.4平面向量数乘运算的坐标表示问题探究1提示：2a＝a＋a＝(x，y)＋(x，y)＝(2x，2y)；3a＝2a＋a＝(2x，2y)＋(x，y)＝(3x，3y)．例1解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a，∴-6m+n=5，∴实数m的值为－1，n的值为－1.跟踪训练1解析：(1)b＝2a＋b－2a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2)．故选A.(2)12BC＝12(AC-AB)＝12(－2，－2)答案：(1)A(2)D问题探究2提示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则x1y2＝x2y1.例2解析：(1)∵0×(－2)＝0×1，∴e1与e2共线，∴A错误；∵0×0≠2×32，∴e1与e2不共线，∴B∵3×3≠5×5，∴e1与e2不共线，∴C正确；∵1×(－6)＝3×(－2)，∴e1与e2共线，∴D错误．故选BC.(2)ka－b＝(2k－3，k－2)，a＋2b＝(8，5)，由于ka－b与a＋2b共线，所以(2k－3)×5＝(k－2)×8，则k＝－12答案：(1)BC(2)见解析一题多变解析：AB＝2a＋3b＝(13，8)，BC＝a＋mb＝(2＋3m，1＋2m)，由于A，B，C三点共线，所以AB∥BC，即13×(1＋2m)－8×(2＋3m)＝0，解得m＝32跟踪训练2解析：(1)因为a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，若a∥b，则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.故选B.(2)因为AB＝OB-OA＝(2，－3)－(1，1)＝(1，－AC＝OC-所以1×28－(－4)×(－7)＝0，所以AB∥AC.又直线AB和AC有公共点A，故A，B，C三点共线．答案：(1)B(2)见解析问题探究3提示：P(x1+λx21+P(x1+例3解析：∵D是AB的中点，∴点D的坐标为(x1+∵CGGD＝2，∴CG＝2GD设G点坐标为(x，y)，由定比分点坐标公式可得x＝x3+2×y＝y3+2×即点G的坐标为(x1+跟踪训练3解析：设点P的坐标为P(x，y)，∵P1(1，3)，P2(4，－6)，∴P1P＝x-1，y-3，PP2＝(4－∴x解得x=3∴点P的坐标为P(3，－3)．答案：(3，－3)[随堂练习]1．解析：因为4a，3b－2a，c对应有向线段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．故选D.答案：D2．解析：根据题意可知，b＝－2a，即a，b平行且反向．故选B.答案：B3．解析：因为A(－3，1)，B(x，－1)，C(2，3)，所以AC＝(5，2)，CB＝(x－2，－4)，因为