2024届广东省揭阳市高三下学期二模考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3广东省揭阳市2024届高三下学期二模考试数学试题一、选择题1.已知复数在复平面内对应点为，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，所以，则.故选：B.2.已知函数在上不单调，则的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函数的图象对称轴为，依题意，，得，所以的取值范围为.故选：C.3.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设该椭圆的长轴长为，短轴长为，由题意得，则，故选：D.4.把函数的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得的最小正周期为，则所求函数为.故选：C5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗B〖解析〗如图，当时，与可相交也可平行，故A错；当时，由平行性质可知，必有，故B对；如图，当时，或，故C错；当时，可相交、平行，故D错.故选：B.6.如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量,需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由给定定义得，对左右两侧同时求导，可得，将点代入，得，解得，故切线斜率为，得到切线方程为，化简得方程为，故B正确.故选：B7.如图，正四棱台容器高为12cm，，，容器中水的高度为6cm．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱台容器的高为12cm，，，正四棱台容器内水的高度为6cm，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为，其体积为；放入铁球后，水位高为9cm，沿作个纵截面，从分别向底面引垂线，如图，其中是底面边长10cm，是容器的高为12cm，是水的高为9cm，由截面图中比例线段的性质，可得,此时水面边长为4cm，此时水的体积为，放入的57个球的体积为，设小铁球的半径为，则，解得.故选：A.8.已知变量x与y具有线性相关关系，在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，利用此样本数据求得的线性回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的线性回归方程为，且，则（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗设没剔除两对数据前的，的平均数分别为，，剔除两对数据后的，的平均数分别为，，因为，所以，则，因为两对数据为和，所以，所以，所以，解得.故选：C.二、选择题9.若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（）A.B.C.D.〖答案〗ACD〖解析〗根据Venn图可知，对于A，显然，故A正确；对于B，，则，故B错误；对于C，，则，故C正确；对于D，，或，则，故D正确.故选：ACD10.已知内角的对边分别为为的重心,，则（）A. B.C.的面积的最大值为 D.的最小值为〖答案〗BC〖解析〗是的重心，延长交于点，则是中点，，A错；由得，所以，又，即所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确；，当且仅当时等号成立，，，C正确；由得，所以，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D错．故选：BC．11.已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（）A.的图象关于点对称B.函数的图象关于直线对称C.函数的周期为2D.〖答案〗ABD〖解析〗对A，因为的图象关于点对称，则的图象关于点对称，故的图象关于点对称，故A正确；对B，，，又，故.即，故的图象关于直线对称，故B正确；对C，由A，，且，又因为，故，即，故，即.由B，，故，故周期为4，故C错误；对D，由，的图象关于点对称，且定义域为R，则，，又，代入可得，则，又，故，，，，又的周期为4，.则.即，则，故D正确.故选：ABD.三、填空题12.智慧农机是指配备先进信息技术，传感器､自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有__________种不同的选择方案.〖答案〗150〖解析〗第一步从6台不同的自动育秧机选2台，第二步从5台不同的自动插秧机选3台，由乘法原理可得选择方案数为，故〖答案〗为：150.13.已知，则______，______.〖答案〗0或21或〖解析〗依题意，，即或，所以或2；所以或.故〖答案〗为：0或2；1或14.已知分别是双曲线的左､右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则______.〖答案〗2〖解析〗双曲线的实半轴长为，延长交直线于点，由题意有，，又是中点，所以，故〖答案〗为：2.四、解答题15.在等差数列中，，且等差数列的公差为4.（1）求；（2）若，数列的前项和为，证明：.（1）解：设的公差为，则，，又，所以，所以，．（2）证明：由（1）得，所以．16.为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：.整理得到如下频率分布直方图.（1）求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为，求的分布列与期望.解：（1）由图可知，，解得，该村村民成绩的平均数约为；（2）从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，其中成绩在的村民有人，成绩在的村民有4人，从中任选3人，的取值可能为1,2,3，，，，则的分布列为123故17.如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，，是的中点.（1）证明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.（1）证明：取中点，连接，如图，因为四边形是菱形且，所以和都是正三角形，又是中点，所以，，从而有，又，所以是矩形．又，所以，所以，即是等腰直角三角形，所以，，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，设平面的一个法向量是，则，取得，设平面的一个法向量是，则，取得，，所以，所以平面平面；（2）解：设平面的一个法向量是，则，取得，设二面角的大小为，由图知为锐角，所以．18.设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6.（1）求抛物线的方程.（2）设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.解：（1）点到圆上点的最大距离为，即，得,故抛物线的方程为.（2）设，则方程为，方程为,联立与抛物线的方程可得，即,因此点纵坐标为，代入抛物线方程可得点横坐标为，则点坐标为,同理可得点坐标为,因此直线的斜率为,代入点坐标可以得到方程为,整理可以得到,因此经过定点.19.已知函数.（1）当时，证明：是增函数.（2）若恒成立，求取值范围.（3）证明：（，）.（1）证明：当时，，定义域为，则.令，则在上恒成立，则在上单调递增，则，故在上恒成立，是增函数.（2）解：当时，等价于，令，则，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以.所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，所以，即，故的取值范围为.（3）证明：由（2）可知，当时，有，则，所以，…，，故.广东省揭阳市2024届高三下学期二模考试数学试题一、选择题1.已知复数在复平面内对应点为，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，所以，则.故选：B.2.已知函数在上不单调，则的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函数的图象对称轴为，依题意，，得，所以的取值范围为.故选：C.3.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设该椭圆的长轴长为，短轴长为，由题意得，则，故选：D.4.把函数的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得的最小正周期为，则所求函数为.故选：C5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗B〖解析〗如图，当时，与可相交也可平行，故A错；当时，由平行性质可知，必有，故B对；如图，当时，或，故C错；当时，可相交、平行，故D错.故选：B.6.如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量,需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由给定定义得，对左右两侧同时求导，可得，将点代入，得，解得，故切线斜率为，得到切线方程为，化简得方程为，故B正确.故选：B7.如图，正四棱台容器高为12cm，，，容器中水的高度为6cm．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱台容器的高为12cm，，，正四棱台容器内水的高度为6cm，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为，其体积为；放入铁球后，水位高为9cm，沿作个纵截面，从分别向底面引垂线，如图，其中是底面边长10cm，是容器的高为12cm，是水的高为9cm，由截面图中比例线段的性质，可得,此时水面边长为4cm，此时水的体积为，放入的57个球的体积为，设小铁球的半径为，则，解得.故选：A.8.已知变量x与y具有线性相关关系，在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，利用此样本数据求得的线性回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的线性回归方程为，且，则（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗设没剔除两对数据前的，的平均数分别为，，剔除两对数据后的，的平均数分别为，，因为，所以，则，因为两对数据为和，所以，所以，所以，解得.故选：C.二、选择题9.若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（）A.B.C.D.〖答案〗ACD〖解析〗根据Venn图可知，对于A，显然，故A正确；对于B，，则，故B错误；对于C，，则，故C正确；对于D，，或，则，故D正确.故选：ACD10.已知内角的对边分别为为的重心,，则（）A. B.C.的面积的最大值为 D.的最小值为〖答案〗BC〖解析〗是的重心，延长交于点，则是中点，，A错；由得，所以，又，即所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确；，当且仅当时等号成立，，，C正确；由得，所以，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D错．故选：BC．11.已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（）A.的图象关于点对称B.函数的图象关于直线对称C.函数的周期为2D.〖答案〗ABD〖解析〗对A，因为的图象关于点对称，则的图象关于点对称，故的图象关于点对称，故A正确；对B，，，又，故.即，故的图象关于直线对称，故B正确；对C，由A，，且，又因为，故，即，故，即.由B，，故，故周期为4，故C错误；对D，由，的图象关于点对称，且定义域为R，则，，又，代入可得，则，又，故，，，，又的周期为4，.则.即，则，故D正确.故选：ABD.三、填空题12.智慧农机是指配备先进信息技术，传感器､自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有__________种不同的选择方案.〖答案〗150〖解析〗第一步从6台不同的自动育秧机选2台，第二步从5台不同的自动插秧机选3台，由乘法原理可得选择方案数为，故〖答案〗为：150.13.已知，则______，______.〖答案〗0或21或〖解析〗依题意，，即或，所以或2；所以或.故〖答案〗为：0或2；1或14.已知分别是双曲线的左､右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则______.〖答案〗2〖解析〗双曲线的实半轴长为，延长交直线于点，由题意有，，又是中点，所以，故〖答案〗为：2.四、解答题15.在等差数列中，，且等差数列的公差为4.（1）求；（2）若，数列的前项和为，证明：.（1）解：设的公差为，则，，又，所以，所以，．（2）证明：由（1）得，所以．16.为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：.整理得到如下频率分布直方图.（1）求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为，求的分布列与期望.解：（1）由图可知，，解得，该村村民成绩的平均数约为；（2）从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，其中成绩在的村民有人，成绩在的村民有4人，从中任选3人，的取值可能为1,2,3，，，，则的分布列为123故17.如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，，是的中点.（1）证明：平面平面.（2）