2023-2024学年天津市南开中学高三上学期第一次月考数学试题及答案

南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.第Ｉ卷2x3ðABRAx|x2B1.已知集合，，则（）1,22,33,44D.A.B.C.2.“sinx0”是“x1”的（）A充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件f(x)|x|sin2x3.函数的部分图象可能是（）AB.C.D.4.下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（）sinxy2yA.C.B.D.xxexy4x12xe2y25.计算：1.10eln2log21lg10e2log48的值（）A.0B.C.2D.321131asin，bc9，则（276.已知，）32A.acbB.abcC.bacD.cabπ62π63cossin（7.已知，则）3第1页/共5页19191389A.B.C.D.π6πfx2x8.将函数ygx，有的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为6下列命题：①函数的图象关于直线π对称gxxπ12②函数的图象关于点gx,0对称π5π2424③函数在gx,上单调递增④函数在2π上恰有5个极值点gx其中正确的命题个数为（）A.1B.2C.3D.4xxx0f(x)有7个不同的零点，则正实数9.设函数π1的取值范围为（）sinx,πx04213174421444965121265731212，，，，A.B.C.D.第II卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30310.已知i是虚数单位，化简的结果为____________．115x211.在代数式x的展开式中，常数项为_____________．ππ2π3fxx12.函数f=的部分图象如图所示，则__________．2第2页/共5页13.在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和30A点和最后一排E点的距离为96则旗杆的高度为____________米．，fx，且对任意的实数fx161x1x[0,2)14.已知定义在上的函数，当时，1x22（fxx[2n2n12)nN*2f1gxfxlogax有且仅有a五个零点，则的取值范围__________.fx（a0）在区间（为正数）上的最大值为t,t2，若xaxbtMa,b15.记tb|Mt(a,b)ln3}Rt，则实数的最大值为__________.三、解答题（本大题共5小题，共75π16.已知函数fx22xπxcosx3.2（1）求的最小正周期及对称轴方程；fxππ42x,的最大值和最小值.fx（2）当时，求a,b,c，其中C17.在中，角,B,C所对的边分别为，已知bcosA2acosBcosC.2（1）求角B的大小；（2）若b2c2125ac，求面积的最大值.18.如图，在四棱锥P中，PA底面ABCD，ADAB，//，2，第3页/共5页AB1，E为棱的中点.（1）证明：BE//平面PAD；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点D到平面的距离.x22y2221ab0的离心率为19.已知椭圆C:，短轴长为22.ab2（1）求C的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A且斜率为kk0的直线l与C交于A，B两点，交y轴于点E，点P为线段AB的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E作OP（O为坐标原点）垂直的直线交直线AH于2点M，且△面积为，求k的值.3lnxx1x1aFx20.已知函数.hxx1Fx（Ⅰ）设函数，当a2时，证明：当x1时，hx0；（Ⅱ）若Fx0a恒成立，求实数有两个不同的零点Fx，证明：.a（Ⅲ）若使1,22a22axxeaea21第4页/共5页南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.第Ｉ卷2x3ðABRAx|x2B1.已知集合，，则（）1,22,33,44D.A.B.C.【答案】B【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合A，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由x，解得x3或x1x32x30，即0x1，2Ax|x2x30{x|x1x，或2所以所以ðAx|1x3，R，所以ðAB2,3B又.R故选：B2.“sinx0”是“x1”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件【答案】CD.既不充分也不必要条件【解析】【分析】根据充分性和必要性的定义结合同角三角函数的关系即可得出结论.【详解】解：因为sinx0，根据三角函数的基本关系式，可得xx1，根据三角函数的基本关系式，可得sinx1sinx1，2反之：若1x0，2所以“sinx0故选：C.”是“x1”的必要不充分条件.f(x)|x|sin2x3.函数的部分图象可能是（）第1页/共21页A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据f(x)是奇函数，排除B，再取特殊值验证.f(x)|x|sin2x|x|sin2xf(x)【详解】因为2f0f所以f(x)是奇函数，排除B，由，排除A，由，排除D．44故选：C．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4.下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（）sinxy2yA.C.B.D.xxexy4x12xe2y2【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性定义、对数函数、指数函数单调性，结合复合函数的单调性依次判断各个选项即可.fx2fx【详解】A选项：，不是奇函数，故A选项错误；sinxsinxsinxxfx，不是奇函数，故B选项错误；B选项：fxxxC选项：因为的定义域为R，fx12x4x12x4x14x0fxfx4x且2222是奇函fx1数．设t4x212x，4x212x1因为t在yt在上单调递减，上单调递增，4x212x由复合函数单调性知，在上单调递减，故C选项正确；fx第2页/共21页1211Dfxexye,yx上都单调递增，所以在上单在fxx，因为exe调递增，故D选项错误，故选：C．5.计算：1.10eln2log21lg10e2log48的值（C.2）2A.0B.D.3【答案】B【解析】【分析】根据指数及对数的运算法则计算可得；315【详解】1.10eln2log21lg10e28120122.4222故选：B111asin，bc9，则（276.已知3，）32A.acb【答案】A【解析】B.abcC.bacD.cab13π2π2cf(x)sinxx,xsinxx,x，通过导数可证得【分析】化简得，构造函数，可11ac，而b3c，从而可得答案．得311lg912lg313c9【详解】.27222723lg3π2f(x)sinxx,xf(x)x10设，则有，f(x)单调递减，π2113f(x)f(0)0sinxx,xsinac，从而，所以，故，即3131而bc，故有acb．3故选：A．第3页/共21页π623π63cossin（7.已知，则）111389A.B.C.D.99【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.π6233cos【详解】，，31233cossincos2231π62sincossin.223π6π2πsin62π3π3ππ3π62sin21223121.9故选：Aπ6πfx2x8.将函数ygx，有的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为6下列命题：①函数的图象关于直线x对称gxππ12②函数的图象关于点gx,0对称π5π2424③函数在gx,上单调递增第4页/共21页④函数在2π上恰有5个极值点gx其中正确的命题个数为（A.1）B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据函数图象平移变换的特点，利用正弦弦函数的对称性、单调性、最值，结合函数的极值点定义逐项判断即可求解.π6πfx2x【详解】函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为6ππ66πygx2x2x，6π63xπ，不是函数的最值，故①错误；gπ2πygx对于①，当对于②，当时，2ππππxg20，故②正确；时，1212126π5π2424πππ44x,2x,对于③，当对于④，令时，，故函数在该区间上单调递增，故③正确；6πππππkZ，解得xkZk3，当时，2x6223π5π4ππ，在2π上有4个极值点，故④错误．x,36,,36故选：B.xxx0f(x)有7个不同的零点，则正实数9.设函数π1的取值范围为（）sinx,πx04213174421444965121265731212，，，，A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分段函数分段处理，在x1，0x1各有1个零点，所以π≤x≤0有5个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证π≤≤0之间有个零点即可x5.x1时，f(x)xx2，显然在f10上单调递增，且，【详解】由题，当f(x)第5页/共21页f22220fx在，此时在有一个零点；1当0x1时，f(x)xx2f(x)10，所以f(x)在，上单调递减，x11f()220，此时fx在上只有一个零点；e2e2π142π412fxsinxfx有5个零点，令，则0sinx所有当π≤≤x0时，，即πππ5πx2π，或x2πZ，，k46467ππ2π2π解得12，或12，kZ，xxπ7ππ7π2π2πk012；当k1时，当当时，时，121212；1,23,4π7π4π4πk21212；5,6π4π4π127πππ由题可得π≤≤x0区间内的个零点，即5，1249651212496512，即，解得.12故选：C.【点睛】分段函数的零点问题点睛：根据函数的特点分别考虑函数在每段区间上的单调性，结合零点存在性定理，得到每一段区间上的零点的个数，从而得出函数在定义域内的零点个数.第II卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共303110.已知i是虚数单位，化简的结果为____________．18i【答案】【解析】55【分析】运用复数运算法则计算即可.第6页/共21页332341418i【详解】.1125518i故答案为：.5515x211.在代数式x的展开式中，常数项为_____________．【答案】-5【解析】xk【分析】写出二项式定理的通项，化简后，使得的指数幂为0，即可求得的值.5r15121r55rr【详解】x的展开式的通项为：TCr5xCr5x2r1x2x255r15x20151令，解得r1，所以TC15，x的展开式中的常数项为5.212故答案为：-5ππ2π3fxx12.函数f=的部分图象如图所示，则__________．2【答案】3【解析】【分析】根据函数的图象结合正弦函数的图象及性质，求得函数的解析式，再代入求值即可.fxT5ππ3π2π【详解】由函数的图象可知，，则Tfx=π，2.41234π5π22π12ππππx，则fx代入，而，所以把，122223πfx2x所以，3第7页/共21页π3ππ3πf=2sin23.所以33故答案为：3.13.在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和30A点和最后一排E点的距离为96则旗杆的高度为____________米．【答案】27【解析】RtABC【分析】根据已知可得ECA30，在中由正弦定理可得AC，再利用中计算可得答案.ECA3609012012030，【详解】由图可得ACEAsin30在中，由正弦定理可得，sin3015EAsin302ACsin962183即在，232RtABCCAB60BCACsin6018327中，，可得米.27.故答案为：，fx，且对任意的实数fx161x1x[0,2)14.已知定义在上的函数，当时，1x22（fxx[2n2n12)nN*2f1gxfxlogax有且仅有a五个零点，则的取值范围__________.14,【答案】【解析】第8页/共21页图象与yax图象yf(x)f(x)的解析式并画出f(x)在(0,)上有且仅有5个交点，结合图象分析即可求得结果.【详解】当x[0,2)，f(x)|x1|)，x12x1xxn2x[2,6)1[0,2)f(x)f(|2|)|2|)当当时，，此时，则，22222x1x1x5x5n3时，x[6,14)，此时1[2,6)，则f(x)f(||)||)，22224242x当n4时，x30)，此时1[6,14)，则21x1x11x11f(x)f(||)||)，2228484……g(x)f(x)logax因为有且仅有5个零点，yax图象在yf(x)(0,)上有且仅有5个交点，所以图象与如图所示，B(22,2)由图可知，当6个交点，yf(x)yax经过点4)时，两函数图象有4个交点，经过点时，两函数图象有(0,)上有且仅有所以当图象与yax图象在5个交点时，则第9页/共21页a1104loga2221，解得.104a22a1故答案为：，22.104fx（a0）在区间（为正数）上的最大值为t,t2，若xaxbtMa,b15.记tb|Mt(a,b)ln3}Rt，则实数的最大值为__________.1【答案】##4【解析】【分析】由函数单调性性质及图象变换可画出f(x)的图象，进而可得Mt(a,b)ft)，结合已知条件可知t2)t2at2ft)ln3atatb)ln3aft)ft2)b可得只需，即，由，联立两者进而可求得结果.g(x)xaxba0(0,)，【详解】设g(x)在(0,)上单调递增，由单调性性质可知，xg(x)g(x)x；当趋近于g(x)趋近于，当趋近于0时，趋近于时，g(0)0设，则的图象如图所示，所以f(x)的图象如图所示，ftft)ft2)f(x)M(a,b)ftft2)则由图象可知，，tftft)ft2)第10页/共21页Mt(a,b)ft)所以，如图所示，ft)ft2)tatb)t2)at2)b，当时，有t2)t2at2则b，①又因为b|Mt(a,b)ln3}R，ft)ln3atatb)ln3a，所以，即所以btatln3a，②t2)t2at2tatln3a由①②得，t2)t2ln39t，即t2t整理得，1所以t.414t故的最大值为.1故答案为：4【点睛】恒成立问题解题方法指导：方法1：分离参数法求最值.(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)af(x)恒成立⇔af(x)；af(x)af(x)恒成立⇔；af(x)af(x)能成立⇔；af(x)af(x)能成立⇔.方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求第11页/共21页解．三、解答题（本大题共5小题，共75π216.已知函数fx22xπxcosx3.（1）求的最小正周期及对称轴方程；fxππ42x,的最大值和最小值.fx（2）当时，求5ππ【答案】（1）TπxkZ，122y1，y2.（2）【解析】1）根据诱导公式以及二倍角公式化简，再根据周期公式、对称轴公式进行求解；x（2）由的取值范围求出整体角的取值范围，再结合正弦型函数图像及性质得出结果.【小问1详解】2π23πxcosxfx23x2xxcosx331cos2xsin2x32sin2x3cos2x2x，32π故周期为Tπ，25ππ2x,kZ5ππxkZ，令，解得32122xkZ，对称轴方程122【小问2详解】3fx2xππππ2π63xt2x,∵，∴，423ππ1π当t时，即x时，sintsin，此时y1，6462第12页/共21页πππ当t时，即x时，sintsin1，此时y2.212217.在中，角,B,C所对的边分别为a,b,c，其中C，已知bcosA2acosBcosC.2（1）求角B的大小；（2）若b2c2125ac，求面积的最大值.【答案】（1）333（2）8【解析】1）根据正弦定理边化角或余弦定理化简原式，根据CcosC0，所以或2a2b2c2120cosB，化简即可得出，即可得出答案；b（1）根据余弦定理结合第一问得出的角B的大小得出a2c2b2ac，结合已知b2c2125ac，3得出a24ac4c212，根据基本不等式得出a24c2124ac2a2c即ac，即可由三角形212化简为(a2c)212，由三角形面积公式结合基本不等式得面积公式得出答案；或将a24ac4c23a2c2338133出的面积SsinBaca2c，即可得出答案.24882【小问1详解】方法一：由bcosA2acosBcosC根据正弦定理边化角得：sinBsinCAC，sinACsinCAC即，所以sinAcosCAcosBcosC，因为C，所以cosC0，，21又sinA0，所以cosB20BπB又，所以.3方法二：由bcosA2acosBcosC根据余弦定理：b2c2a2a2b2c2得bc2acosB，bc2ab第13页/共21页b2c2a2a2b2c22cosB即，bba2b2c2因为C，所以0，2b1cosB0BπB，得所以，又.23【小问2详解】a2c2b212方法一：由（1）及余弦定理知B，2ac所以a因为b2c2bac，222c2125ac，ac212c25acac，化简得a24ac4c12，2所以因为ac0，所以a24c2124ac2a2c，323aca,c33所以所以所以，当且仅当a2c，即时取等号，213338的面积SsinBac，2433面积的最大值为.8a2c2b21方法二：由（1）及余弦定理知B，2ac2所以a因为b2c2b2ac.22c2125ac，ac212c25acac，化简得a24ac4c12，即(a2c)2212，所以所以3a2c23381233的面积SsinBaca2c，4882第14页/共21页3当且仅当a2c3，即a3,c时取等号，233所以面积的最大值为，818.如图，在四棱锥P中，PA底面ABCD，ADAB，//，2，AB1，E为棱的中点.（1）证明：BE//平面PAD；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点D到平面的距离.【答案】（1）证明见解析3（2）（3）3263【解析】1）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行；（2）求出平面的一个法向量，再由向量法求解；，再由向量法求解nx,y,z1.（3）求出平面的法向量211【小问1详解】解：以点A为原点，AB，AD，AP分别为x轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.yz第15页/共21页可得，，，，由为棱的中点，得，B1,0,0C2,0D2,0P2EEAB1,0,0，BE向量，故BEAB0，又为平面PAD的一个法向量，又面PAD，所以BE//平面PAD.【小问2详解】向量BD2,0，PB2BE，nBD0x2y0为平面的法向量，则nx,y,z设，即，x2z0nPB0ny1，得令为平面的一个法向量，nBEn,BE23所以，nBE6233所以直线与平面所成角的正弦值为.3【小问3详解】nx,y,zBC2,0的法向量向量，设平面，2111n0x2102，即1，令，得为平面11n的一个法向量，x2z02n0121BDn4263d2则.n62x22y2221ab0的离心率为19.已知椭圆C:，短轴长为22.ab2第16页/共21页（1）求C的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A且斜率为kk0的直线l与C交于A，B两点，交y轴于点E，点P为线段AB的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E作OP（O为坐标原点）垂直的直线交直线AH于2点M，且△面积为，求k的值.3x2y21【答案】（1）422（2）2【解析】1）根据题意得出a,b的值，进而可得结果；ykx2，将其与椭圆方程联立，得出（2）设直线l的方程为EM斜率，联立方程组得出M点的坐k标，利用点到直线距离公式式，结合韦达定理以及三角形面积公式将面积表示为关于的方程，解出即可得结果.【小问1详解】c2ea2b22由题意可得，解得a2，b2，c2，a2b2c2x2y21.∴椭圆C的方程为【小问2详解】42易知椭圆左顶点A2,0，ykx2，则E2k，，H2k设直线l的方程为ykx2x12k228k2x8k240，消y可得由x2y2，142设，Bx,y，，∴Px,y042216，Ax,y64k48k412k11220第17页/共21页8k2k42则有12，xx，21212k212ky114k22k12k0x0xx，ykx2，k∴，∴1212k200202k2k2k，∴直线EM的斜率y22kykx2∴直线EM的方程为，直线AH的方程为，4233M,k∴点，4k∴点M到直线l:y2k0的距离3，d1k241k21k2||1xx24xx，∴121212k2121k2∴，212k244kk222121k∴33，解得k.△APd2212k322212k1k2lnxx1x1aFx20.已知函数.hxx1Fx（Ⅰ）设函数，当a2时，证明：当x1时，hx0；（Ⅱ）若Fx0a恒成立，求实数的取值范围；有两个不同的零点Fx，证明：.a（Ⅲ）若使1,22a22axxeaea21【答案】a2.【解析】a2x1时，hx0【求导，证明hx时对即可.ax1x1ax1x1Fx的关系，根据恒0（Ⅱ）设函数fxx，根据函数的单调性判断x与a成立，确定的取值范围；（Ⅲ）根据函数的单调性求出tt21ae