第19讲 弧长及扇形的面积（原卷版）

第19课弧长及扇形的面积目标导航目标导航课程标准1.理解弧长公式及扇形面积公式，并学会运用公式解决问题；2.会求不规则图形的面积.知识精讲知识精讲知识点01弧长公式半径为R的圆中

360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)

注意：

(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；

(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；

(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.知识点02扇形面积公式1.扇形的定义

由组成圆心角的和所对的弧所围成的图形叫做扇形.

2.扇形面积公式

半径为R的圆中

360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：

n°的圆心角所对的扇形面积公式：

注意：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.能力拓展能力拓展考法01利用弧长公式进行有关计算【典例1】圆心角为，半径为1的弧长为()A． B． C． D．【即学即练】半径为6的圆弧的度数为，则它的弧长为（

）A． B． C． D．【典例2】把长度为的一根铁丝弯成圆心角是的一条弧，那么这条弧所在圆的半径是（）A．1 B．2 C．3 D．4【即学即练】已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（

）A．12 B． C．24 D．考法02求规则与不规则图形的面积【典例3】如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【即学即练】如图是某商品的标志图案，与是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点得到四边形．若，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【典例4】如图，正六边形内接于，若的半径等于2，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【即学即练】如图，正方形的边长为4，分别以为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．考法03动态路线问题【典例5】如图，在中，，将绕点B逆时针旋转到的位置，使A，B，三点在同一直线上，则点A运动的路径长为（）A． B． C． D．【即学即练】一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么点从开始至结束所走过的路径长度为（）A． B． C． D．【典例6】如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（

）A．3 B． C． D．4【即学即练】如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（）A．3 B．4 C． D．2分层提分分层提分题组A基础过关练1．下列图形中，称为扇形的是（

）A． B． C． D．2．圆锥的底面半径为4，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（）A．36π B．48π C．72π D．144π3．已知半径为的扇形的圆心角为，则该扇形的面积为（

）A．4 B．6 C．4π D．6π4．如图，正方形的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以C为圆心，为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．5．道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（

）A． B． C． D．6．【阅读理解】在求阴影部分面积时，常常会把原图形的一部分割下来补在图形中的另一部分，使其成为基本规则图形，从而使问题得到解决，这种方法称为割补法．如图1，C是半圆O的中点，欲求阴影部分面积，只需把弓形BC割下来，补在弓形处，则．【拓展应用】如图2，以为直径作半圆O，C为的中点，连接，以为直径作半圆P，交于点D．若，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．7．一段弧所在的圆的半径为60，这段弧的长是157，那么这弧所对的圆心角是_________度．8．如图，是的直径，弦交于点，且是的中点，，，则阴影部分面积为______．9．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高，求截面上有水部分的面积．10．如图，在Rt中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且．(1)求证：是⊙的切线；(2)若，，求的长．题组B能力提升练1．如图，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为120°，则两把扇子扇面面积较大的是（）A．折扇 B．圆扇 C．一样大 D．无法判断2．如图，四个三角形拼成一个风车图形，若，当风车转动，点B运动的路径长度为（

）A． B． C． D．3．如图，半径为10的扇形中，，C为弧AB上一点，，垂足分别为D，E．若图中阴影部分的面积为，则＝（）A． B． C． D．4．在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的弧多次复制并首尾连接而成，现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2023秒时点P的纵坐标为（）A．1 B．0 C． D．-25．如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为的正三角形，母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是（）．A． B．4 C． D．66．如图，与外切于点，它们的半径分别为和，直线与它们都相切，切点分别为，，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．7．如图，已知圆锥的底面半径为3，圆锥的母线与高的夹角θ为30°，则圆锥的侧面展开图的面积是_____．8．如图，扇形的半径，，分别以、的中点C、D为圆心，、为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_________平方厘米．9．已知C、D两点在以AB为直径的半圆周上且把半圆三等分，若已知AB长为10，求阴影部分的面积．（结果保留）10．如图，在中，，，以点O为圆心，为半径的圆交于点C，交于点D．(1)若，则弧的度数为______，弧的长度为______；(2)，求的长．题组C培优拔尖练1．图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条和的夹角为，的长为，贴纸部分的宽为，则弧的长为（

）A． B． C． D．2．如图，在扇形中，，，若以点C为圆心，为半径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积和是（

）A． B． C． D．3．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图．有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形；②在图1中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为；③在图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等；④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动；上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④4．如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．5．如图，在中，，，斜边的两个端点分别在相互垂直的射线和上滑动，给定下列命题，其中正确命题的序号是（）．①若、两点关于对称，则；②、两点距离的最大值为；③若平分，则；④斜边的中点运动路径的长为．A．①③④ B．②③④ C．①④ D．①②6．如图，在锐角三角形中，分别以三边为直径作圆，记三角形外的阴影面积为，三角形内的阴影面积为，在以下四个选项的条件中，不一定能求出的是（

）A．已知的三条中位线的长度B．已知的面积C．已知的长度及D．已知的长度，以及的长度和7．如图，把一个含30°的直角三角板的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到位置．设，则顶点A运动到点的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是___________．8．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；…；按此规律，则的值为_____．9．如图，，分别是的直径和弦，半径于点．过点作的切线与的延长线交于点，，的延长线交于点．(1)求证：是的切线；(2)若，