2023年高考数学大招4等差数列前

大招4等差数列前〃项和秒杀

大招总结

等差数列中，有S2,i=(2〃-l)a,，此公式在选填中对偶数项也适用，公式拓展如下：

="3

2

证明：与1=3+%；)(2〃T)=2%(j—

将2〃-1换元为〃即可

运用：S7=7%,56=6/5,你没看错,选填里面可以出现％5,我们通过几个例子来看

看.

典型例题

例1.若等差数列｛a„｝的前5项和S5=25,且%=3,则为=()

A.12

B.13

C.14

D.15

解：

方法1：设｛%｝的公差为凡首项为％,由题意得a；-'解得

q+d=3,1”=2，

a7=1+6X2=13,故选B.

方法2:S$=5%=25,/.a3=59a2=3,/.d=%-4=2,%=%+4d=5+8=13,故选B.

例2.(2021秋•番禺区期末)记S〃为等差数列｛〃“｝的前〃项和，若

%+为=24,§6=48,则｛4｝的公差为()

A.1

B.2

C.4

D.8

解：

方法1Sn为等差数列｛%｝的前〃项和，4+%=24,S6=48,

14+34+4+4d=24,

.-.J+6X5八48解得4=-21=4,；.｛。“｝的公差为4.故选。

方法2:4+%=24,a45=12,S6=6a35=48,a35=8,d=a45-a35=4,故选C.

例3.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若机〉1,且

%+4+1-dT=o,s2m_,=39,则m等于

A.39

B.20

C.19

D.10

解：

数列｛4｝为等差数列，则+限=2am，则成-1=0可化为

2册一%T=°，解得=1.XS2m_]=（2m~r）altl=39,则机=20.故选B.

例4.（2021-东非市一模）设等差数列｛%｝前〃项和为S“，若4+$5=2,S7=14,则

a\o=

A.12

B.14

C.16

D.18

解:

$7=14=7a4,即4=2,又q+S5=2=2+5%,所以。3=。，所以公差

d=%一%=2,《0=%+64=2+12=14.故选B.

例5.(2021秋•拉萨期末)已知等差数列｛4｝的前〃项和为5“，且

%+%=22,S”=143,若S“>195,则n的最小值为()

A.13

B.14

C.15

D.16

解：

方法1：等差数列｛4｝的前"项和为S“，且为+%=22,%=143,

4+2"+q+6d=22

11x10,…解得，4=3,d=2,,

114H------d—143,

2

n(n-\\

S.=3〃H--------x2=〃9~+2n,

t2

a〉195,/.n2+2/7>195,解得〃〈一15或〃>13,.〃£n的最小值为14.故选B.

方法2:%+%=2a5=22,a5=11,Su=1\a6=143,牝=13,

d=牝一。5=13-11=2,4=%-4d=3,后面过程同方法1

例6.(2021秋•北海期末)在等差数列｛q｝中，若S”为其前〃项和，若S”(0,Sj0,则

使S“最小的〃的值为()

A.14

B.13

C.8

D.7

解:

方法1：由题意知，兀=(①)=13%<0,兀=14色产.)=7(%+%)>(),所以

/(0,小｝0.所以当〃=7E1寸，S“取得最小值.故选D.

方法2:几=13%(0,%(0,几=，所以当”=7时，5,取得最小值.故选

D.

例7.(2021秋•隆德县期末)已知等差数列｛4｝的前"项和为S.,若

§9=54,Q[[+62+々13=27,贝|JS]6=()

A.120

B.60

C.160

D.80

解：

方法1:「等差数列｛4｝的前几项和为5〃,$9=54,即+/+%=27,

3q+33d=27

Anza3()3.3016x153A

解得a,——,d——=16x--------1----------------x—=120.故选A.

16

'77727

方法2:S9=9a$=54,a5=6,61+an+«13=3a,2=27,a%=9,

(…)16=(…)16=[20,故选A.

1622—

例8.(2021秋•替楼区校级期末-多选)记S“为等差数列｛〃”｝的前几项和,若

§5=0,。6=6,则()

A.%=2〃-6

B.an-3n-12

2

C.SH=n-5n

解:

5x4

寸54+h4=°,解得

方法1：S„为等差数列｛4｝的前〃项和，S5=0,a6=6,.-.

&=q+5d=6

n(n-\\

4=-4,d=2,a”———4+(”—1)x2=2〃—6,S——4〃+-------x2=n~9-5n.

n2

故A和C正确，B和D错误。故选AC.

方法2:*=5%=0,。3=°.。6=6,d—9"3"’=2,=%+(〃—3)d=(〃—3)x2=2〃—6,

riln—\]

s=-4n+-^——^x2=〃2-5〃.故A和C正确,B和D错误.故选AC.

2

例9.(2021秋•运城期末)若等差数列｛叫的前〃项和为S,$=52,4+/=50,则

解：

方法1:设等差数列｛",｝的公差为d,由S4=52,4+%=50,得

4a14x31=52

<12，解得q=7,d=4,,所以。”=4〃+3,所以

4+3d+4+6〃=50

%%=43x47=2021;故答案为:2021.

方法2:=4^2,5=52,a=13,%+%=2%5=50,a=25,d=a55~a25=4,

25553

4=出5—L5d=7,c1n=4〃+3,4O〃H=43x47=2021,故答案为2021.

例10.（2021秋•邯郸期末）设等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若

%+%=m~2a4,S9=36,则加=

解：

%+为=2%吗+%=根一2々4，「・相=2（%+4）=4。5・

S9=36=9。5，・二%=4・

加=16.故答案是:16.

例11.(2021秋•常州期末)已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且4=3,S7=28.

⑴求｛a,,｝的通项公式；(2)若%,10<a…求Sm的值.

解：

(1)由S7=28可彳生：7a4=28,即2=4，又％=3,

...公差〃=幺二七4-3]_

4-22

/_\._n_2〃+4

4=4+(〃-2)d=3+—=

(2)%例0<册+1,:."：410<，解得：15<〃&16,m&N*,

20]

i,,s-曳守=.

例12.(2021秋一天期末)在⑴3%+打+々=0,⑵4=4,⑶$3=-27这三个条件

中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的九存在,求实数九的取值范围;若问题中

的X不存在,请说明理由.设等差数列｛4｝的前几项和为5„,数列｛〃｝的前"项和为

却为="4(=3d-1(〃eN*),是否存在实数4,对任意neN*都有4,Sn?

解：

设等差数列｛4｝的公差为d,当“=1时，47；=34-1,得4=-1,从而％=-1,当几.2

时,他=4『4h=(3仇-1)-(3%-1)=32-3%,得a=-3%,所以数列同是

首项为-1,公比为-3的等比数歹％所以a=-(-3)"，由对任意〃eN*,都有4,S“，当

等差数列｛4｝的前"项和S,存在最小值时,假设〃=攵时，S“取最小值.

(1)若补充条件是(1)3%+b2+b4=0,因为a=3也=27,从而

a2=一；("+“)=一10，由4=。2+34得4=3,所以

an=4+(〃-1)1=。2+(〃-2)d=-10+3(〃-2)=3〃-16,由等差数列｛〃〃｝的前n项和

S“存在最小值，则，得葭领Jt与，又4eN*,所以％=5,所以4,55=-35,故实数4

的取值范围为(-。,-35〉

(2)若补充条件是(2)a4=b4,由。4=27,即％=27，又。5=4=-1,所以

d=%-%=-1-27=—28;所以

an=4+(〃一l)d=a5+(〃-5)4=-1-28(〃-5)=-28〃+139,由于该数列｛□〃｝是递减

数列,所以不存在攵，使得S〃取最小值,故实数X不存在.

(3)若补充条件是(3)S3=一27,由S3=3%=-27，得。?=一9,又%=4=-1=%+3d,

所以d=43&=g,所以=4+-l)d=。2+("一2)〃=-9+[(〃-2)=[及一F，

由等差数列｛4｝的前〃项和S“存在最小值,贝加得至领Jt空，又女eN*,所以％=5,

88

所以存在k=5,使得S,取最小值,所以九,S5=-y,故实数X的取值范围为

(_95'

自我检测

1.(2021秋•南岗区校级期末)已知数列｛4｝为等差数列，前〃项和为S“，且％=5,则

59=

答案：

根据题意，数列｛4｝为等差数列，则S9=9%=45.故答案是：45.

2.已知S,,为等差数列｛«„｝的前〃项和，S产28,»=66,则S9的值为

A.47

B.45

C.38

D.54

答案:

7%+三1=28,

12

方法1：设公差为d,由S7=28,5,,=66得，-即

「11x1()-

1la,H-------aJ—66,

2

解得｛1=：折以Sg=gx2

9x1+----x1=45.故选B.

2

方法2:S7=28,74=28,%=4,S”=66,11%=66,%=6,%=5,S9=9x5=45.故选

B.

3.已知等差数列｛afl｝的前〃项和是S〃,S3=9,$6=36,则公差d为

A.6

B.-2

C.9

D.2

答案：

方法1:S3=9,§6=36,/.34+3；2d=9,64+‘；5d=36,解得公差d=2.故

选D.

方法2:S3=9,34=9,a2=3,S6=36,6a35=36,=6,d=——―=2.

3.5—2

4.设等差数列｛a,｝的前n项和为S“，若，2=288,S9=162,则S6=

A.18

B.36

C.54

D.72

答案:

方法1：设等差数列｛«„｝的公差为d,由题意可得

IOX11QxQ

=12a+-^-^(7=288,S9=9a.+^J=162,解得

22

4=2,6?=4,S6=6qH----d=72,故选D.

方法2：Sl2=12a6.5=288,%.5=24,S9=9%=162,%=18,.a65+a35=2%,

。35=2%-〃6.5=12,§6=6〃35=72,故选D.

5.（2021秋•临沂期末）设等差数列｛4｝的前〃项和为=4,Sg=45,电021=

A.2022

B.2021

C.2019

D.2018

答案：

q+3d=4

方法Ik等差数列｛%｝的前〃项和为SW,^4=4,S9=45,/J9X8，

9。］+---d=45

I12

解得a.=l,^=l,/.a2021=1+2020=2021.故选B.

方法2:Sq=9a5=45,a5=5,d=a5—a4=1,q=%—4d=1^021=1+2020=2021.故

选B.

6.（2021秋•泰州期末）已知等差数列｛4｝前10项的和是310,前20项的和是1220,

则数列｛q｝的通项公式为

A.an=6/24-2

B.an=6n-2

C.an=4n+2

D.an=4〃-2

答案：

方法1：设等差数列｛4｝的公差为d,10q+45d=310,20%+1901=1220,解

得：at-4,d-6,an-4+6（〃—1）=6"—2.故选B.

方法2：%=10阳=31（），期=31£=2（）八=1220,矶=61/=外*=6,

an=0^5+(n—10)d=61+(n—10.5)x6=6n—2故选B.

7.(2021秋•芜湖期末)已知等差数列｛4｝的前〃项和为S,，4=6,$3=0,则S=

A.0

B.15

C.20

D.30

答案：

q+3d=6

方法l：v等差数列｛a“｝的前n项和为S,a=6,S=0,.'.<3x2，解

A33a,+---d=()

I2

5x4

得——3,d=3,/.S5=5x(—3)H——x3=15.故选B.

,5x4

方法2:%=6,$3=3%=0,。2=°,解得d=3,a]——3,/.55=5x(—3)H——x3=15.

故选B.

8.(2021秋•青羊区校级期末)已知等差数列｛%｝的前〃项和为S〃,且

S?=28,生+%=7,则a6=

A.3

B.4

C.5

D.6

答案：

方法1：设等差数列｛为｝的公差为

d,邑=28,4+%=7,「・7q+21d=28,2q+4d=7.解得：=^,d=g.贝!j

tz=—+5x—=5故选C.

622

方法2：

S7-7a4=28,%=4,a,+4=2tz3=7,q=3.5,d=—.<26=%+3d—3.5+3x—=5.故选

C.

9.（2021秋•温州期末）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S,，且外国,S530,则4的最

小值是

A.-1

B.0

C.1

D.2

答案:

设等差数列｛4,｝的首项为d,且S5=5a3W,O36,则

%+<7®2at+2d6

%+24京6'；1一4一2"-则的最小值是0,故选B.

10.（2021秋•烟台期末）已知等差数列｛%｝的前"项和为S"，若S9=52,S4=22,则

A.4

B.5

C.6

D.7

答案：

方法1:已知等差数列｛«„｝的前〃项和为S”,若S9=52,S4=22,设等差

数列的首项为公差为d,由，

$9=4+&+/+&+。5+4+%+融+/=52,=q++。3+4=22,由两式减

可得(S9-S4)=火+4+/+4+%=5%=52-22,即%=6,故选C.

方法2：

S()=9a5=52,a5=—,S4=4a25=22,%5=",d=———=—,a7=a5+2d=6,故选

922.59

C.此题用大招计算较复杂，优势不明显.

11.（2021秋•沙依巴克区校级期末）已知等差数列｛a,J的前〃项和为

S„,a3=7,S4=20,贝！］a10=

A.25

B.32

C.35

D.40

答案:

丁＜、＞12d=7

方法1：二等差数列｛«„｝的前n项和为S„,a3=7,54=20,.-J

=4%+64=20'

联立解得=—l,d=4,.*.al0=a,+9d=—1+36=35,故选C.

方法2：

tz3=7,S4—4a25=20,tz,5=5,d=305*5=4,4=%—Id=—1am=q+9d=—1+36=35

故选C.

12.（2021秋•南关区校级期末）已知等差数列｛4｝的前〃项和为s,，且

'Sg=9,则%=

A-?

B.1

c-4

D.2

答案:

9（4+3_9（生+%）2V

方法1：由题设知S=9=

g2

a.=—,故选C.

22

方法2：〃3=9%=9,%=1，。3+%=2〃5，「.%=一g，故选C.

13.(2021•十二模拟)已知等差数列也｝总是其前〃项和，若品)=q。=10,则

A.%=2

B.%=—2

C.S5=18

D.S5=-20

答案：

、d«、nw2kl(\八%、r,口S=10^,+—X1()X9^/=1()

万法1：设数列｛4｝的公差为d,由题意可得p°in12,

4o=a｝+9d=1()

解得a,=-S,d=2,:.a5=q+4d=0,S5=枣詈^=一2(),故选D.

方法2:S=10«=10,a=1,a=10,J=――=2,a=«-9d=-8,后面同法

1055551010—5.5A10

1

14.(2021秋•龙湖区校级期末)设S“是等差数列｛4｝的前〃项和，若59=184=30,

则%=

答案：

方法1：设等差数列｛a,,｝的公差为d,由等差数列的性质得，

Sg=—(12~~~—9^5=18,解得a5=ax+4d=2,(1)又a”=4+10d=30,(2)

所以联立(1)(2),可得d=-,a]=--f所以S|5=15x[—竺]+受辿

33V3J2

14,

X—=240.故答案为：240.

3

、、上(a,+ae)xl5(a.+a.)xl5

:

方法2:S9=9a5=18,Q5=2,S15=-----------=—------=240.

15.（2021•十二模拟）己知等差数列｛4｝的前〃项和为S”，且q+生=16,%=260,则

5"=

答案：

根据题意，设等差数列｛%｝的公差为d,则有％+%=24=16,即

%=8,S[3=13%=260,即%=20,则有d=—~=3则

-mi门,n（3n+l],,Mn（3n+\]

a、=a12d=2,贝！]Sn-na｝+-~-~~~d，故答案为：---.

16.（2021秋•海南期末）已知等差数列｛4｝的前〃项和为5,,%=738=-4,则当S,

最大时，n

答案：

方法1：设｛%｝的公差为d,则q+d=7,8q+28d=-4,解得

4=10/=-3,所以4=13-3%所以4>°，。5<°，所以当S“最大时，

〃=4.故答案为：4.

方法2:a=7,S=8a=-4,«=--,d=—~=-3,q=%一</=10,剩下同法

2s454524.5—2

1.

17.（2021秋•海珠区期末）（1）%+%=-4,（2）4+%=-6,（3）S,=14这三个条件中

任选一个,补充在下面的问题中，若问题中的攵存在，求攵的值;若攵不存在,说明理

由.问题:等差数列｛%｝前“项和为S”%=3,若,是否存在女，使得SQ>“且

s«<Sg?

答案:

若存在3使得Sk7>Sk且S«<S“则以设等差数列｛4｝首项

为％,公差为d,若选择条件⑴：由1%为可得卜64：3解

aA+a5=-A[2q+7d=-4

得9,所以a”=-9+2(〃-l)=2"-ll,"eN*,,<+^,人，解得

[d=2v7[2<2,+6d=-6

q=l

q=—9q+6d=3

d=2'17q+21d=14，可得1

d=—

方法2:57=7%—14,%=2,d=-=§，G=%—6d=1,所以

117

=14--(n-l)=-n+—,/?€N\易知an>0恒成立，所以不存在满足条件的

k.

18.(2021秋•昌江区校级期中)等差数列包｝的前〃项和为S“，已知4=7,S5=5

求｛4｝的通项公式；

求s〃，并求S"的最大值.

答案：

⑴方法1：设等差数列｛”“｝的公差为d,a,=7,S5=15,.-.5X7+^XJ=15,

解得d=-2.:q=1-2(n-1)=9-2〃.

方法2:S.5=5%=15,%=3,d=%2"=一2，后面同法1(2)

〃(7+9-2〃)=_〃2+8〃=_5_4产+16.可得：当〃=4时，S,,取得最大值

2

S4=16.

19.(2021秋•密云区期中)已知等差数列｛4｝的前〃项和为S，，，满足$7=%.

若生=2,求数列｛«,｝的通项公式及前〃项和S”；

若4<0,且S.,,4,求〃的取值范围.

答案：

⑴方法1：设等差数列｛4｝的公差为

7x6/

d,S7二%，，？。]+^—"=4+3d,/.4=一3乩a3=2,/.ax+2d=2,解得

/、z、n(n-\\

L

q=6,d=-2,/.an-q=-2〃+8,(〃=1,2,3,•),/.Sn-四~d=

6〃一〃(〃-1)=一〃24-771.

方法2:S7=7a4,又题中S7=a4,.\la4=a4,a4=0,J=a4-a3=-2,