热点04 幂的运算与整式乘法的7种题型（解析版）

热点04幂的运算与整式乘法的7种题型幂的运算：熟记同底数幂的乘法、除法、幂的乘方与积的乘方法则，理解零指数幂、负整数指数幂的意义；期末试卷中通常会考察2~3道小题和1道大题，大多数情况下，选择题第1题为幂的四种运算，解答题第1题为幂的混合运算（涉及幂的四种运算以及零指数幂、负整数指数幂），选择题和填空题中会有1道小题考察科学记数法——表示较小的数；（1）对于零指数幂，要注意任何不为0的数的0次方都等于1，0的0次方是不存在的；（2）对于负整数指数幂，要严格根据负整数指数幂的意义计算，若底数是分数，则只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数；（3）对于幂的混合运算，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似。整式乘法：熟记多项式与多项式相乘的法则，牢记完全平方公式和平方差公式；期末试卷中通常会考察2道小题和1~2道大题，大多数情况下，解答题第3题为整式的混合运算——化简求值题（涉及完全平方公式和平方差公式）；（1）对于多项式×多项式的题，必须按一定的顺序进行，做到不重不漏；（2）对于涉及完全平方公式和平方差公式的题，要注意灵活变通，公式中的字母可以是单项式，也可以是多项式，部分题目中可能会涉及“整体”思想，即需要将复杂单项式或多项式看作一个整体使问题简单化，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来；（3）对于整式的混合运算——化简求值题，必须先化简后求值，化简时，要按照先乘方后乘除的顺序运算，且能用公式的优先用公式展开。【题型1幂的运算及逆用】1．（2022·临沂·二模）下列计算错误的是A． B． C． D．【详解】解：．，不合题意；．，符合题意；．，不合题意；．，不合题意．故本题选：．2．（2022·南京·期末）下列运算中，正确的是A． B． C． D．【详解】解：选项，原式，不合题意；选项，原式，不合题意；选项，原式，不合题意；选项，原式，符合题意．故本题选：．3．（2022·宿迁·期末）已知，且，则的最小值为A．9 B．10 C．11 D．12【详解】解：，，，，．，，，解得：，，的最小值为：．故本题选：．4．（2022·南通·期末）已知，，则的值为A． B． C．432 D．216【详解】解：．故本题选：．5．（2022·灵宝·期末）若，，则可表示为．（用含、的代数式表示）【详解】解：，，．故本题答案为：．6．（2023·无锡·期中）计算：．【详解】解：原式．故本题答案为：．7．（2022·扬州·期末）小明和小红在计算时，分别采用了不同的解法．小明的解法：，小红的解法：．请你借鉴小明和小红的解题思路，解决下列问题：（1）若，求的值；（2）已知满足，求的值．【详解】解：（1），，原式；（2），，，，，．【题型2零指数幂、负整数指数幂】1．（2022·泰兴·期末）的值为A．1 B． C．2022 D．【详解】解：的值为1．故本题选：．2．（2022·盐城·期末）为整数，则下列运算结果不是1的为A． B． C． D．【详解】解：由于是整数，，不合题意；由于是整数，是偶数，所以，不合题意；由于，所以，不合题意；由于是整数，是奇数，所以，符合题意．故本题选：．3．（2023·渭南·一模）若代数式：的值等于1，则的值等于．【详解】解：当时，解得：，此时；当时，解得：，此时（不合题意）；当时，解得：，又，则，此时；综上，或．故本题答案为：3或．4．（2022·连云港·期末）算式可以表示为A． B． C． D．【详解】解：．故本题选：．5．（2022·镇江·期末）我们知道：，，，，那么接近于A． B． C． D．【详解】解：，，，．故本题选：．【题型3科学记数法——表示较小的数】1．（2022·南通·期末）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为A． B． C． D．【详解】解：．故本题选：．2．（2022·南京·模拟）某种病毒颗粒平均直径约为0.000000125，数据0.000000125用科学记数法表示为A． B． C． D．【详解】解：0.000000．故本题选：．【题型4幂的混合运算】1．（2022·徐州·期末）计算：（1）；（2）．【详解】解：（1）；（2）．2．（2022·南京·模拟）计算：（1）；（2）．【详解】解：（1）；（2）．【题型5整式的乘法运算——多项式×多项式】1．（2022·苏州·期末）若的结果中不含项，则的值为A．0 B．2 C． D．【详解】解：，结果中不含项，，解得：．故本题选：．2．（2022·连云港·期末）若的积中不含的二次项，则的值是A． B． C．1 D．2【详解】解：，积中不含的二次项，，．故本题选：．3．若，则．【详解】解：，，，，解得：，，．故本题答案为：15．【题型6整式的乘法运算——乘法公式及变形】1．（2022·盐城·期末）图1，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为A． B． C． D．【详解】解：方法一：图2中四个长方形的面积的和图1的长方形的面积，图2的大正方形的面积，图2中阴影部分的面积图2的大正方形的面积图2中四个长方形的面积的和．方法二：图中阴影部分是正方形，且四个边长都是，阴影部分的面积．故本题选：．2．（2022·无锡·期末）下列各式运算正确的是A． B． C． D．【详解】解：，故错误，不合题意；，故错误，不合题意；，故错误，不合题意；，故正确，符合题意．故本题选：．3．（2022·苏州·期末）若，那么代数式的值为A． B． C．1 D．3【详解】解：，，，原式．故本题选：．4．（2022·苏州·期末）若是完全平方式，则的值等于A．2 B．4或 C．2或 D．8或【详解】解：，，解得：或．故本题选：．5．（2022·泰兴·期末）已知，，则的值为A．8 B．16 C．20 D．40【详解】解：，，①，②，①②得：，．故本题选：．6．（2022·南京·模拟）若，，则代数式的值是．【详解】解：，，．故本题答案为：13．7．（2022·扬州·期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值；解：因为，所以，即：，又因为，所以．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若，，求的值；（2）填空：①若，则；②若，则．（3）如图，在长方形中，，，点．是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．【详解】解：（1），；（2）①令，，则，，，，故本题答案为：6；②令，，则，，，，故本题答案为：17；（3）由题意得：，令，，则：，，，，所以阴影部分的面积和为500平方米．8．（2022·海安·期末）如图，我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”，如图揭示了为非负整数）展开式中各项系数的有关规律，请你猜想的展开式中含项的系数是．【详解】解：根据题意得：，，所以的展开式中含项的系数是15．故本题答案为：15．【题型7整式的混合运算——化简求值】1．（2022·成都·期末）先化简，再求值：，其中，．【详解】解：原式，当，时，原式．2．（2022·天津·模拟）先化简，再求值：，其中，．【详解】解：原式，当，时，原式．3．（2022·海安·期末）定义：对于形如的多项式，，为常数，其中，若取两个不相等的数值，时，该多项式的值相等，则称数值和为多项式的一组“等值元”，记作，．例如多项式，当取0和4时，多项式的值均为5，则称0和4为多项式的一组“等值元“，记作，．（1）下列各组数值中，是多项式的“等值元“的有（填写序号）①和；②0和；③和．（2）若，是的一组“等值元”，求的值；（3）若，和，是多项式的两组“等值元“，求的值．【详解】解：（1）当时，，当时，，所以和是多项式的一组“等值元“，因此①符合题意；当时，，当时，，所以和不是多项式的“等值元”，因此②不合题意；当时，，当时，，所以和是多项式的一组“等值元”，因此③符合题意；故本题答案为：①③；（2），是的一组“等值元”，，解得：；（3），是多项式的两组“等值元”，，，，即，又，是多项式的“等值元”，，，即，或，．1．（2022·盐城）下列计算，正确的是A． B． C． D．【详解】解：．与不是同类项，所以不能合并，不合题意；．，不合题意；．，不合题意；．，符合题意．故本题选：．2．（2022·宿迁·期末）若，，．【详解】解：，，，即．故本题答案为：81．3．（2022·南京·期末）若，，则．【详解】解：，，．故本题答案为：．4．（2022·淮安·期末）计算：（1）；（2）．【详解】解：（1）原式；（2）原式．5．（2022·常州·期末）已知，且，则的取值范围是．【详解】解：，，则，，，即．故本题答案为：．6．（2022·南京·期末）石墨烯是目前世界上最薄、最坚硬的纳米材料，单层石墨烯的厚度仅为．用科学记数法表示0.00000000034是A． B． C． D．【详解】解：．故本题选：．7．（2022·连云港·期末）如果的乘积中不含项，则为．【详解】解：原式，不含项，，解得：．8．（2022·扬州·期末）计算：（1）；（2）．【详解】解：（1）原式；（2）原式．9．（2022·南京·期末）计算：（1）；（2）．【详解】解：（1）；（2）．10．（2022·启东·期末）能够用如图中已有图形的面积说明的等式是A． B． C． D．【详解】解：如图，由题意得：长方形③与长方形②的面积相等，正方形④的面积为，于是有，所以．故本题选：．11．（2022·启东·期末）如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是．【详解】解：二次三项式是一个完全平方式，，，解得：或．故本题答案为：4或．12．（2022·南京·期末）若，，则．【详解】解：，，，，．故本题答案为：．13．（2022·扬州·期末）已知，，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）．【详解】解：（1）；（2）；（3）．14．（2022·镇江·期末）（1）从图中任意选择一个，通过计算图中阴影部分的面积，可得到关于、的等量关系是；（2）尝试解决：①已知：，，则；②已知：，，求的值；③已知：，求的值；（3）填数游戏：如图4，把数字填入构成三角形状的9个圆圈中，使得各边上的