小学数学课程与教学 课件 8小学图形与几何的教学、9 小学统计与概率的教学

8.小学图形与几何的教学情境导入学习了角的定义，教师出示三角形、平行四边形等，让学生数一数每个图形中各有几个角。学生回答，“三角形中没有角，因为三角形的三边是线段，不是射线”。角有哪些常见的定义？两条线段能组成角吗？三角形的面积计算公式、梯形的面积计算公式有几个，是怎么来的？8.1第一学段图形与几何的教学第一学段“图形的认识与测量”，包括简单立体图形和平面图形的认识、图形的分类、简单图形的拼图、度量单位的统一、长度单位米和厘米的认识、物体长度的估测和测量。学生经历由形到数量的形成过程，理解和掌握形的概念，经历估测和实际测量的探索过程，理解测量单位统一的重要性，形成空间观念和量感。8.1.1第一学段图形与几何的课程要求知识重点是简单立体图形和平面图形的认识、图形的分类、简单图形的拼图、度量单位的统一、长度单位米和厘米的认识、物体长度估测和实际测量。能力重点是能对图形分类，会用简单图形拼图，能估测一些物体的长度，并进行测量，形成初步空间观念和量感。情感态度与价值观重点是让学生积极参与数学学习活动，主动与他人交流，体会数学与现实生活的联系，培养好奇心和探究欲。8.1.2第一学段图形与几何的内容理解长度线段公理：两点之间，线段最短。两点之间形成线段的长度叫作两点之间的距离。几何思维水平理论荷兰数学教育家范·希尔（VanHiele）夫妇根据完形心理学的结构理论以及皮亚杰的认知理论，提出几何思维水平理论。采用范希尔的说法，将这五个水平从低到高依次称为视觉水平、描述水平、理论水平、形式逻辑水平和逻辑法则本质水平。水平１视觉水平学生借助观察各种具体事物的外形轮廓来分辨图形，能学习词汇及辨认或再造出一个与指定图形相同的图形，但无法利用图形的性质或构成要素来分析图形。处于这个水平的学生的推理能力受到视觉的影响，只要图形的外表特征稍有变化，学生就无法分辨异同。例如，将椭圆形看作圆，把长方形看作正方形。水平２描述水平学生能够辨别各种图形的特征，能够通过观察图形的构成要素与这些要素之间的关系来分析几何概念。但是他们无法说出图形之间有无关系存在，如正方形、长方形、菱形、平行四边形之间有什么关系存在。处于这个水平的学生无法通过推理的方式得知道理，比如他们不一定知道当图形边长不相等时面积有可能相等。水平３理论水平学生能够了解和运用图形的构成要素，并且能够探索各种几何图形之间的内在属性和各图形之间的包含关系。例如，四个边等长的四边形是菱形，所以正方形是菱形的一种。水平４形式逻辑水平学生能够通过抽象的推理来证明几何问题，而且方法可能不止一种，知道几何图形的充分条件与必要条件。例如，正五边形每一边及每一个内角都相等，但边长相等的五边形不一定是正五边形。学生能发现正逆命题之间的差异，也能清楚地说出题目中已知的条件为何以及要证明的是什么，还能使用许多技巧来证明对称、旋转、坐标平移、向量等，或能用逻辑去思考、分析和解决问题。水平５逻辑法则本质水平学生能够在不同的公理体系中建立定理，并且能比较不同的公理系统，同时也能了解抽象的几何概念。一般人很难达到这个层次，所以连范希尔本人也认为这个层次只有理论的价值。8.1.3第一学段图形与几何的教学建议

该学段学生大致处于范希尔几何思维水平的第一阶段——视觉水平，即大多数学生能够借助观察各种具体事物的外形轮廓来分辨图形，能辨认或再造出一个与指定图形相同的图形，但无法利用图形的性质或构成要素来分析图形。教学需要充分考虑学生在幼儿园所形成的活动经验和生活经验，引导学生在具体活动中感知图形和认识图形，并根据特点将图形进行分类。在具体活动中感知和认识图形，经历实物到图形的抽象过程，形成初步的空间观念。经历统一测量单位和选择适当单位进行测量等过程，在实际测量和估测活动中发展空间观念和量感。例如，长度单位的教学要让学生经历一把尺子的形成过程，加深对长度单位的理解。“认识厘米”的教学就可以这样进行：①意识到需要统一长度单位；②认识到仅用一个单位进行测量比较困难；③自制一把尺子进行测量；④引入标准单位厘米。8.2第二学段图形与几何的教学

“图形的认识与测量”包括：线段、射线和直线的认识，角的初步认识，角的度量，分米、毫米和千米的认识，平方厘米和平方分米的认识，三角形和四边形的认识，长方形和正方形的周长和面积的计算公式的推导。“图形的位置与运动”包括对平移、旋转、轴对称现象的感知。8.2.1第二学段图形与几何的课程要求第二学段“图形与几何”包括“图形的认识与测量”和“图形的位置与运动”两个主题。知识重点是线段、射线和直线的认识，角的初步认识，角的度量，分米、毫米和千米的认识，平方厘米和平方分米的认识，三角形和四边形的认识，长方形和正方形的周长和面积的计算公式的推导。能力重点是会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，会用量角器量角，能进行简单的长度和面积单位换算，能恰当地选择单位估测一些物体的长度和面积，会根据图形特征对三角形和四边形进行分类，探索并掌握长方形、正方形的周长和面积的计算公式。

情感态度与价值观重点是让学生积极参与数学学习活动，主动与他人交流，体会数学与现实生活的联系，培养好奇心和探究欲。例如，让学生通过直观认识不同图形，说出图形的共性，知道这些共性与图形命名的关系。知识重点是对平移、旋转、轴对称现象的感知。能力重点是能在实际情境中，辨认出生活中的平移、旋转和轴对称现象，直观感知平移、旋转和轴对称的特征，能利用平移或旋转解释现实生活中的现象，形成空间观念。情感态度与价值观重点是学生积极参与数学学习活动，体会数学与现实生活的紧密联系，增强学好数学的信心。8.2.2第二学段图形与几何的内容理解角的静态定义，具有公共端点的两条不重合的射线组成的平面图形叫作角。这个公共端点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边。角的动态定义，一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的平面图形叫作角。所旋转射线的端点叫作角的顶点，开始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边。但在大多数情况下，角的两条边都是线段，而不是直线。我们常把有公共端点的两条线段构成的平面图形也叫作角。只不过两条线段在非公共端点的一段可以无限延伸。因为角的两端可以无限延伸，所以角的大小不是按照角所占面积来衡量的，而是用张开的程度来衡量。三角形三条线段首尾连接形成的图形叫作三角形。三角形按边来分，可以分为等腰三角形和非等腰三角形。按最大内角来分，可分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。三角形的存在性：三角形的任意两边之和大于第三边。三角形的唯一性：三角形具有稳定性。三角形的特征：三角形的内角和为180°。8.2.3第二学段图形与几何的教学建议第二学段是学生小学学习的中期阶段，重在养成良好的学习习惯。该学段学生大致处于范希尔几何思维水平的第二阶段——描述水平，即儿童能够辨别各种图形的特征，能够通过观察图形的构成要素与这些要素之间的关系来分析几何概念，但是他们无法说出图形之间有无关系存在。从观察现实生活中的物体出发，逐渐抽象出几何图形，帮助学生建立几何图形的直观概念。从现实情境出发，建立周长和面积的概念，归纳发现长方形和正方形的周长和面积的计算公式，发展几何直观和推理意识。图形的位置与运动的教学要从熟悉的情境中让学生认识平移、旋转和轴对称现象，感悟图形的运动特征，发展空间观念。8.3第三学段图形与几何的教学“图形的认识与测量”包括多边形的面积、圆的认识与测量、体积、长方体和圆柱的认识与测量等主要内容。“图形的位置与运动”包括物体位置的确定、有序数对（限于自然数）表示点的位置、比例尺、图形放大或缩小、简单图形的平移和旋转以及轴对称图形等主要内容。8.3.1第三学段图形与几何的课程要求“图形与几何”是义务教育小学数学课程第三学段的重要内容。2022年版数学课程标准将其分为“图形的认识与测量”和“图形的位置与运动”两个主题。知识重点是三角形任意两边之和大于第三边，三角形内角和，圆和扇形的认识，圆规画圆，圆周率的认识，圆的周长和面积的计算公式，面积单位平方千米、公顷的认识，平行四边形、三角形和梯形面积的计算公式，体积的意义及度量单位，认识长方体、正方体和圆柱体积和表面积的计算公式，简单立体图形的三视图。能力重点是会用圆规画圆，探索圆的周长和面积的计算公式，探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式，会估计不规则图形的面积，探索并掌握长方体、正方体和圆柱的体积和表面积的计算公式，能辨认不同方向的形状，能解决简单的实际问题，进一步形成量感、空间观念和几何直观。

情感态度与价值观重点是让学生积极参与数学学习活动，主动与他人交流，体会数学与现实生活的联系，培养学生的好奇心和探究欲。例如，通过估计不规则图形面积的活动，培养学生有规划做事的习惯和判断结论的能力。知识重点是物体位置的确定、有序数对表示点的位置、有序数对与方格纸上点的对应关系、比例尺的认识、简单图形放大或缩小、简单图形的平移和旋转、轴对称图形和对称轴的认识。能力重点是能根据参照点的方向和距离确定物体的位置，理解有序数对与方格纸上点的对应关系，能在方格纸上进行简单图形的平移、旋转和放缩，能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，能借助方格纸设计简单图案，感受数学美，形成空间观念。情感态度与价值观重点是学生积极参与数学学习活动，体会数学与现实生活的紧密联系，增强学好数学的信心。例如，通过还原图形的活动体会平移和旋转的趣味，发展学生的空间想象能力。8.3.2第三学段图形与几何的内容理解平行四边形的基本性质有：对边平行，对边相等；对角相等，邻角互补；对角线相互平分；一条对角线将平行四边形分成两个全等三角形。平行四边形的面积公式不止一个，常用的是“面积＝底×高”。三角形的面积计算公式不止一个，常用的是“面积＝底×高÷２”。梯形的面积计算公式“面积＝（上底＋下底）×高÷２”。

圆平面内与一个定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。圆的周长和直径的比值是一个常数，叫作圆周率，通常用希腊字母π表示。8.3.3第三学段图形与几何的教学建议第三学段是学生小学学习的后期，处在小学与初中的过渡阶段，在一定程度上为中学做准备。该学段部分学生处于范希尔几何思维水平的第二阶段，也有部分学生处于第三阶段——理论水平，即儿童能够了解和运用图形的构成要素，并且能够探索各种几何图形之间的内在属性和各图形之间的包含关系。图形的认识与测量的教学图形的认识与测量的教学要引导学生通过对立体图形的测量，从度量的角度认识立体图形的特征；理解长度、面积、体积都是相应度量单位的累加；通过对平面图形性质的认识，感知数学说理（证明）的过程。第一，沿着“观察猜想证明”的路线，发现图形的基本性质、面积计算公式和体积计算公式，发展空间观念和推理意识。例如，引导学生经历基于给定线段用直尺和圆规画三角形的过程，首先发现“三角形任意两边之和大于第三边”的结论，然后再根据“两点间线段最短”的基本事实说明“三角形任意两边之和大于第三边”这一结论的正确性。第二，通过图形折叠与展开的活动，认识立体图形的特征，发展空间观念和空间想象能力。首先，借助现实生活中的实物，引导学生通过观察、操作等活动，认识长方体、圆柱、圆锥等立体图形。在此基础上理解立体图形的元素和特征，形成空间印象，建立图形表象。其次，沟通立体图形之间的联系，如圆柱和圆锥的相同点和不同点，以及平面图形和立体图形之间的联系，如长方体与长方形之间的联系，增强空间想象能力。正方体的侧面展开第三，深入挖掘数学历史文化，灵活运用数学史料，帮助学生学习图形与几何，增强数学课程的人文底蕴。圆的教学列举生活中的实例，引导学生概括圆的特点，出示《墨子》中对圆的记载，帮助理解圆的概念。引导学生经历探索周长与直径之比是一个常数的过程，认识圆周率。理解不同时期的圆周率计算方法和数值，认识古人的智慧。

图形的位置与运动的教学图形的位置与运动的教学要引导学生通过图形位置的表达，理解坐标的意义。通过图形运动的观察和表达，体会坐标表达的重要性，为未来学习数形结合和解析几何奠定基础。第一，利用熟悉的情境，寻找相应数学量，帮助学生感悟确定物体位置的方法，发展空间观念。第二，动手操作与动脑想象相结合，文化传承与概念建构相结合，学习图形运动，发展应用意识与创新意识。最后，在图形面积公式推导过程中，体会运用平移、旋转等图形运动的观点将未知图形转化为已知图形的过程，体会用图形运动描述转化过程的思想。实践研究搜集一些小学生学习“图形与几何”内容时出现的错误。例如，学生在计算操场周长时，加上了两条直径。又如，容易混淆面积单位和体积单位，出现单位换算错误等。分析这些错误的原因，设想你是老师，你会怎么做？请写出你的教学建议。9小学统计与概率的教学情境导入在“认识百分数”教学时，教师出示问题，“甲在某个赛季的进球率为48.96％，说明了什么？”学生回答，“甲投了100个球，进了48.96个”。有的学生认为“进了49个”。还有的学生认为“甲投了10000个球，进了4896个”我们应该怎么理解百分数的统计意义？怎样进行常见统计量和统计图表的教学？怎样培养学生的数据分析意识？9.1第一学段统计与概率的教学第一学段“统计与概率”的学习主题是“数据分类”。“数据分类”的本质是根据信息对事物进行分类。学生经历从事物分类到数据分类的过程，感悟如何根据事物的不同属性确定标准，依据标准区分事物，形成不同的类。9.1.1第一学段统计与概率的课程要求知识重点是，了解分类与分类标准的关系，会对物体、图形、数据进行适当分类。能力重点是用语言描述分类过程，基于数据感知事物的共性与个性，形成初步的数据意识。情感态度与价值观重点是，根据给定标准或者自行制订标准对事物进行分类，感受数据蕴含的信息，在分类过程中进行积极的数学活动，培养数学学习兴趣。请按照你的观点把这些图形进行分类，并说明分类的理由。9.1.2第一学段统计与概率的内容理解分类，又称为概念的划分，是把一个属概念按照一定的标准分成若干个种概念，以明确概念外延的逻辑方法。分类一般由分类母项、分类子项和分类标准三部分组成，分类标准就是把母项分成若干个子项的根据。分类时必须遵守以下规则每次分类只能根据一个标准子项必须互相排斥各子项外延的和应等于母项的外延划分不能越级，即母项和子项必须具有邻近的属种关系9.1.3第一学段统计与概率的教学建议第一学段是学生进入小学学习的开始，要充分考虑学生在幼儿园阶段形成的活动经验和生活经验，遵循本学段学生的思维特点和认知规律，为学生提供有趣的分类活动，帮助学生感知事物的共性和差异，进而形成初步的数据意识。基于学生的生活经验，引导学生在分类活动中领悟分类的方法，感悟分类的价值。引导学生用语言叙述分类过程，即“为何分类”“分类标准”“分类结果”，为将来学习统计中的数据分类打好基础。例如，教师可以引导学生选择不同的标准，把全班同学分为两类，记录并呈现调查的结果，讲述调查的过程。9.2第二学段统计与概率的教学第二学段“统计与概率”的学习主题是“数据的收集、整理与表达”。“数据的收集、整理与表达”包括：数据的收集，用统计图表、平均数、百分数表达数据。在学习过程中，让学生初步感受现实生活中存在大量数据，其中蕴含着有价值的信息，学生利用统计图表和统计量可以呈现和刻画这些信息，形成初步的数据意识。知识重点是会读简单统计图表、会绘制条形统计图、理解平均数的统计意义。能力目标是经历数据分析的过程，即收集、整理、描述和分析四个阶段，初步学习数据分析和呈现的简单方法，合理应用统计图表和平均数，形成初步的数据意识和应用意识。情感态度与价值观目标是，通过对数据的简单分析感受数据蕴含着信息，体会运用数据进行表达与交流的作用，感悟统计图表和平均数的应用价值，培养数学学习兴趣。数学课程标准特别重视引导学生经历调查收集数据的过程，感悟数据调查的方法，知道数据分析对于决策的作用。重点是培养学生想事情和做事情的严谨性，发展理性精神。例如，教师可以创设买水果的真实情境，即联欢会准备购买同学喜欢吃的水果，如何设计购买方案。数学课程标准还特别重视对平均数统计意义的理解，鼓励学生通过统计活动理解平均数能够表达一组数据的集中趋势。例如，两个小组在40

秒内跳绳的数目，自然就会提出“哪组同学跳绳水平高”。9.2.2第二学段统计与概率的内容理解常见统计图有象形统计图、条形统计图、折线统计图和扇形统计图。象形统计图是利用现象本身的象形画来显示统计数据的图形。它形象直观，便于人们一眼就能了解它所表达的信息。条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按一定的顺序排列起来。条形统计图的优点是能够显示每组中的具体数据，易于比较数据之间的差别，。扇形统计图是利用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比。优点是易于显示每组数据相对于总数的大小。折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后用线段顺次把各点连接起来。折线统计图既可以表示出项目的具体数量，又能清楚地反映事物变化趋势。统计量是统计中用来对样本数据进行分析、检验的变量。常见统计量有四类，主要用于描述研究对象的集中趋势、离散趋势、差异程度和相关程度。集中趋势反映的是一组资料中各种数据所具有的共同趋势。描述集中趋势的常用指标数有平均数、中位数和众数。9.2.3第二学段统计与概率的教学建议第二学段“统计与概率”的教学，要创设真实情境，引导学生经历简单的数据收集和整理，感悟收集数据的意义和方法。教学过程中要重视学生用数学语言表达数据所蕴含的信息，形成初步的数据意识。通过现实情境，从象形统计图入手，进一步抽象出条形统计图，经历条形统计图的绘制过程，理解条形统计图的特性和使用场景。要引导学生理解条形统计图的主要功能是直观的表达数量的多少。借助几何直观表达数量信息，化抽象数据为直观图形，让他人更好理解数据，这是描述性统计的常用手法。平均数教学要引导学生在熟悉的情境中理解平均数所具有的代表性，通过刻画一组数据的集中程度表达总体的集中状况，理解平均数的意义。教学还可以让学生经历收集体现社会发展或科技进步数据的过程，初步体会平均数的统计意义，形成初步的数据意识和应用意识。例如，平均寿命的增加，反映了社会进步等；平均每年发射人造卫星数量的增加，反映了国家科技进步等。9.3第三学段统计与概率的教学第三学段“统计与概率”的学习主题是“数据的收集、整理与表达”和“随机现象发生的可能性”。“随机现象发生的可能性”是通过试验、游戏等活动，让学生了解简单的随机现象，感受并定性描述随机现象发生可能性的大小，感悟数据的随机性，形成数据意识。知识重点是会读写统计图表、理解百分数的统计意义和感受随机现象发生的可能性。能力目标是，经历数据分析的全过程，根据情境合理选择统计图表呈现数据，使用百分数表示数据，会对一些简单随机现象发生可能性的大小做出定性描述，形成数据意识和初步的应用意识。情感态度与价值观目标是，感受数据蕴含着丰富的信息，体会数据和图表解释现实生活的具体问题，感受统计与概率的现实价值，培养数学应用意识。数学课程标准特别重视让学生经历设计方案、收集数据、整理和表达数据的全过程，并从中感受数据蕴含着信息以及如何提取信息，发展数据意识。案例分析数学课程标准还特别重视引导学生在分析数据的过程中了解百分数可以对随机数据进行刻画与表达，认识到百分数可以帮助人们做出判断和预测，感受百分数的统计意义，培养数据意识。案例分析谁的套圈水平高？9.3.2第三学段统计与概率的内容理解统计的基本过程提出明确问题制定研究方法收集数据分析数据作出结论百分数通常把两个量之间的比转化成百分之几的形式，这个百分之几叫百分数。百分数又叫百分率或百分比。百分数既可以表达确定数据，如银行利率、衣服中的含棉量等，也可以表达随机数据，如某场篮球赛中的进球率、某城市空气质量的优良率等。

随机现象可能发生也可能不发生的事件，叫