第一学期大学物理复习提要

1.运动学的两类基本问题求导求导积分积分

一由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；

二已知质点的加速度以及初始速度和初始位置,可求质点速度及其运动方程.例1、已知质点作直线运动，其速度求质点在0～4s时间内的路程。解：在求解本题中要注意，在0～4s时间内，速度有时大于零，有时小于零，因而使运动出现往返。先求出质点在任意时刻的位移，由得再求出速度为零的时间，由知t=3时，v等于零。例2、已知（1）t=1s时及t=2s时的位矢；（2）t=1s时到t=2s时的位移；（3）t=1s时和t=2s时的速度；（4）t=1s时和t=2s时的加速度；解：（1）（m);（m);(2）位移（m);（3）速度（4）加速度例3、如右图所示，湖中有一只船，系于一绳上，岸上有一人在高于水面H处，通过滑轮拉船靠岸，当岸上拉纤人以速度v匀速行进时：（1）船靠岸的速度u与v相比谁大？解：将坐标原点选在滑轮处。船的运动方程为y船的运动速度为例4、已知一质点的运动加速度为，式中b,k均为常数，且v0=r0=0,求该质点的运动方程。解：由得即所以又由得所以例5、一质点在半径为0.10m的圆周上运动，其角位置为＝2+4t3(1)求在t=2.0s时质点的法向加速度和切向加速度。（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，值为多少？（3）t为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？解（1）由于＝2+4t3，则角速度在t=2s时，法向加速度＆切向加速度的数值分别为：（2）当有即解得t=0.29s.此时的角位置为＝2+4t3＝3.15rad（3）要使an=at,则有r(12t2)2＝r(24t),t=0.55s2.牛顿运动定律A、第一定律：每个物体继续保持其静止或作匀速直线运动的状态，除非有力加于其上迫使它改变这种状态。B、第二定律或C、第三定律：例:一细绳跨过光滑的定滑轮，一端挂M，另一端被人用双手拉着，人的质量m=M/2，若人相对于绳以加速度a0向上爬，则人相对于地的加速度（向上为正）是：

（2a0+g)/3解:画受力图，建立坐标系mgTMgTa0aMam对每一隔离体写出牛顿运动方程M:T-Mg=MaMm:T-mg=mam末知量T、aM和am共三个,多于方程数由加速度变换式am=a0-aM把此式与上面二式联立后，am=(2a0+g)/3解得：a绳地=aM

方向如图所示.a绳地所以分量式为(1)(2)oy3.动量守恒和能量守恒定律。xyABovAvB例1、质量为m的小球在外力的作用下，在水平面内作半径为R，速率为v的匀速圆周运动，如图所示。小球自A点逆时针运动到B点的半周内，动量的增量为设作用在质量为1kg的物体上的力F=6t+3(SI)。如果物体在这一力的作用下，由静止开始运动，在0到2.0s的时间内，这个力作用在物体上的冲量大小————————例2:一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着,绳的下端刚好触到水平桌面上.如果把细绳上端放开,绳将落到桌面上.试证明,在绳下落的过程中,任意时刻作用于桌面的压力,等于己落到桌面上的绳重量的三倍.证:取如图所示坐标.Lxx0设在时刻t已有x长的柔绳落至桌面,此时质点系(柔绳)的总动量为mv[其中m=λ(L-x)].根据质点系动量原理的微分形式(1)代入(1)式得而正是已落到桌面上的绳重量,证毕.例3、一长为l、密度均匀的柔软的链条，其单位长度的质量为。将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若手握链条的一端，以匀速v将其上提，当链条一端被提离地面为y时，求手的提力。yy0Fv解：取地面为惯性参考系，地面上一点为坐标原点o，竖直向上的轴为oy正向。如图所示。以整个链条为一系统。设在时刻t，链条一端离原点的距离为y，其速率为v.由于地面部分的链条的速度为零，故在时刻t，整个链条的动量就是提离地面部分的动量。即由于和v均为常数，故链条的动量随时间的变化率为：(1)作用于整个链条上的力，有手的提力重力：和以及地面对(l-y)长链条的支持力由牛顿第三定律知与大小相等、方向相反，所以系统受到的合外力为：(2)由式(1)和式(2),有：即有：例4

一细软的绳长为l，质量为m，如图所示，放于桌面上，水平桌面与绳之间的摩擦系数为，在重力作用下绳由静止开始下滑，求在下滑的过程中，绳刚完全脱离桌面时的速度。ox解：选绳子为研究对象，绳受到的外力有重力、桌面对其支持力和摩擦力，其中支持力不作功。由于绳不伸长，内力不作功。设绳完全脱离桌面的速度为v,由动能定理，有：（1）式（1）中代入式（1）得解二，用功能原理选择绳、桌面和地球为系统，该系统不受外力作用，只受保守内力和非保守内力作用，而作功的非保守内力仅有摩擦力即系统的初始机械能为系统的末机械能为选桌面为零机械能。由功能原理得解得如图所示，一质量为M的木块置于倔强系数为k的弹簧上，系统处于静止状态，一团质量为m的粘土块自木块上方高h处由静止自由落下，并与木块粘在一起运动。试求：（1）碰后系统的瞬时速度。（2）木块的最大位移。hMmk解：整个过程可分为三个阶段①m自由下落；②m与M碰撞后而具有共同的速度V；③M+m碰后压缩弹簧，直至静止，而弹簧被压缩最大长度xm（1）对于第一阶段对于第二阶段（2）第三阶段，选择（M+m)、弹簧及地球为系统，该系统的机械能守恒。取弹簧原长时弹性势能为零，(M+m)在最低位置处，重力势能为零，有式中代入上式，可得将代入上式并解得hMmk4.刚体的转动定律和角动量守恒定律例1、一轻绳跨过两个质量均为m，半径均为r的均匀圆盘状的定滑轮，绳的两端分别挂着质量分别为m,和2m的重物，如图所示。绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr2/2。将由两个定滑轮以及质量为m和2m的重物组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力。m2mm,rm,rm2mm,rm,r解：受力如右图所示mgT22mgT1T2TT1T列如下方程组：例2、在光滑的水平桌面上有一小孔0，一细绳穿过小孔，其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉绳，开始时小球绕孔运动，速率为v1

，半径为

r1

，当半径变为r2

时求小球的速率v2f拉解：小球受力：f拉因f拉为有心力例3、一质量为20.0kg的小孩，站在一半径为3.00m、转动惯量为450kg·m2的静止水平转台边缘上，此转台可绕通过台中心的竖直轴转动，转台与轴间的摩擦不计，如果此小孩相对转台以1.00m·s-1速率沿转台边缘行走，问转台的角速度多大？解：人与转台这一系统没有外力矩作用。系统的角动量守恒。设人和转台的角速度分别为，0，转动惯量分别为J1,J0则＝0+1＝0+v/R由于系统初始是静止的，根据系统角动量守恒定律，有例4、在光滑的水平面上有一木杆，其质量m1=1.0kg,长L=40cm,可绕通过其中点并与之垂直的轴转动。一质量m2=10g的子弹，以v=2.0×102m•s-1的速度射入杆端，其方向与杆及轴正交。若子弹陷入杆中，试求所得到的角速度。解：若将杆与子弹视为一系统，因系统不受外力作用，系统的角动量守恒。设杆的转动惯量为J1，子弹的转动惯量为J2子弹陷入杆前的角速度为，陷入杆后的角速度为1，由角动量守恒定律有考虑到解得例5、一转台绕其中心的竖直轴以角速度

0＝（s-1)转动，转台对转轴的转动惯量为J0＝4.0×10-3kg•m2。现有砂粒以Q＝2tg•s-1流量竖直落至转台，并粘附于台面形成一圆环，若圆环的半径为r=0.10m,求砂粒下落t=10s时，转台的角速度。解：在时间0～10内落至台面的砂粒的质量为根据系统的角动量守恒定律，有则t=10s时，转台的角速度例6、质量m=5kg，长度l＝1m的细金属棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴O无摩擦地转动，在细金属棒的另一端再装上一个质量为m/5的半径可以忽略的小铅球。先把此刚体拉到水平位置，然后由静止状态释放，到达最低点时对心地碰撞一与弹簧（劲度系数k=2×103N/m）相连、质量M＝1kg的钢块，碰后刚体的角速度

'=3rad/s（沿原运动方向），而钢块沿水平光滑地面滑行，致使弹簧压缩，如图所示。求弹簧的压缩量。Mo解：可分为三个物理过程来求解。（1）棒由水平位置摆至竖直位置机械能守恒。设水平位置时的重力势能为零，到竖直位置棒的角速度为，则上式中解得（2）棒与钢块碰撞过程，棒与钢块组成的系统对轴O的角动量守恒，求得钢块的速度为（3）钢块压缩弹簧的过程，机械能守恒。弹簧的压缩量为5、气体动理论和热力学（1）压强（2）温度的微观本质（3）能均分定理和理想气体的内能1三个容器A,B,C中装有同种理想气体，其分子数密度n相同，而方均根速率之比为，则其压强之比为：（A）1：2：4（B）1:4:8（C）1：4：16（D）4：2：14、理想气体分子的三种速率小结三种速率比较左边三式得vf(v)例

如图示两条曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率.20005、分子平均自由程例一定质量的理想气体，先经过等容过程使其热力学温度升高一倍，再经过等温过程使其体积膨胀为原来的两倍，则分子的平均自由程变为原来的————————————。解：2倍6、热机效率和致冷系数例1、如图所示，一定量的理想气体经历ACB过程时吸热200J，经历ACBDA过程时吸热又为多少？12341234ACBD解：由图中数据有则两状态温度相同，故ACB过程内能的变化△EACB=0,由热力学第一定律可得系统对外界作功：在等体过程BD及等压过程DA中气体作功分别为：则在循环过程中系统所作的总功为由热力学第一定律可得，系统在循环过程中吸收的总热量为负号表示系统放热。例2、图(a)所示的某理想气体循环过程的V－T图。已知该气体的定压摩尔热容Cp,m=2.5R,定体摩尔热容CV,m=1.5R,且VC＝2VA。试问(1)图中所示循环是代表致冷机还是热机？(2)若是正循环，求出循环效率。TVABCVAVC解：正逆循环来区分热机和致冷机是针对p-V图中循环曲线进行方向而言的。对于图(a)要先将其转换为p-V图。如图(b)所示，系统在循环过程中吸收和放出的热量为(a)VpABCoVAVC(b)CA为等温线，有TA=TC；AB为等压线，且因VC=2VA,则有TA=TB/2。故循环效率为

3

一定量的单原子分子理想气体，从初态A出发，经历如图循环过程，求:（1）各过程中系统对外作的功、内能的变化和吸收的热量.（2）整个循环过程系统对外作的总功及净吸热.（3）该循环的效率.V(10-3m3)1312p(105Pa)ABC0A—B解V(10-3m3)1312p(105Pa)ABC0B—C等容V(10-3m3)1312p(105Pa)ABC0C—A等压V(10-3m3)1312p(105Pa)ABC0V(10-3m3)1312p(105Pa)ABC07、静电场中电场强度和电势的求解1、有一个球型橡皮气球，电荷均匀分布在其表面，分析该球在被吹大的过程中，下列各处的场强怎样变化。（1）始终在气球内部的点（2）始终在气球外部的点（3）被气球表面掠过的点若电荷不能自动移动，求棒间静电相互作。例2、两相同的均匀带电细棒长为，线密度

，细棒间最近距离，解：先求左棒对右棒的作用力：在左棒处取，它在处产生的场是：左棒所有电荷在处产生的场：在右棒处取，受电场力：右棒所受的电场力为：R1R2Q1R3Q2例3、已知条件如图所示，求电场分布。解：当r<R1时，取半径为r的高斯面，应用高斯定理有：得当R1<r<R2时，高斯面内的电荷为故有：当R2<r<R3时，高斯面内的电荷为Q1，电场为当r>R3