第一章 矢量分析(lsf)

第一章矢量分析本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基础内容。

矢量代数常用正交坐标系标量场的梯度矢量场的散度矢量场的旋度拉普拉斯运算

亥姆霍兹定理本章内容矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示

矢量的几何表示矢量可表示为：其中为模值，表征矢量的大小；为单位矢量，表征矢量的方向；

说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如。教材上的矢量符号即采用印刷体。1.1矢量代数1.1.1标量和矢量标量与矢量标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等）矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电场强度、磁场强度）矢量的代数表示矢量用坐标分量表示zxy1.1.2矢量的运算矢量的加法和减法说明：1、矢量的加法符合交换律和结合律：

2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解：矢量的乘法矢量与标量相乘标量与矢量相乘改变矢量大小，方向由k的正负定。矢量的标积（点积）说明：1、矢量的点积符合交换律和分配律：

2、两个矢量的点积为标量矢量的矢积（叉积）说明：1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：

2、两个矢量的叉积为矢量3、矢量运算恒等式qsinABq

三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的交点来确定。在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交坐标系；三条正交线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。1.2三种常用的正交坐标系1.2.1直角坐标系位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐标系

x

yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元

odzdydx《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析在直角坐标系中矢量的表示例如：12/15/2023《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析位置矢量与距离矢量场点坐标源点坐标场点矢径源点矢径12/15/2023《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析位置矢量与距离矢量位置矢量——由坐标原点出发引向空间某一点的有方向线段，称为该点的位置矢量或矢径。距离矢量——由源点出发引向场点的矢量称为距离矢量。12/15/20231.2.2圆柱坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：加减：标积：矢积：1.2.3球面坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量说明：球面坐标系下矢量运算：

加减：标积：矢积：1.2.4坐标单位矢量之间的关系

直角坐标与圆柱坐标系圆柱坐标与球坐标系直角坐标与球坐标系oφxy单位圆

直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系φoθrz单位圆

柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系θθ《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-18广义坐标系——（方向单位矢量）广义柱坐标系——（方向单位矢量）不同坐标系中的长度元、面积元和体积元。线积分或、面积分或和体积分。不随位置坐标而改变。

随着位置坐标的改变而改变。三种常用的正交坐标系的相互转换（坐标的转换和方向矢量的转换）。几点说明：12/15/2023三种坐标系有不同适用范围：1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。2、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解，如无限长线电流产生磁场分布。3、球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解，如点电荷产生电场分布。《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-20物理量的分类标量场矢量场12/15/20231.3标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。

例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。

例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：

确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：12/15/20231.3.1标量场的等值面标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若标量函数为，则等值面方程为：在空间中，每一点对应着也仅对应着一个确定的函数值，因此它必属于也仅属于一个等值面。空间中所有的点均有等值面通过，所有的等值面均互不相交。1.3.2方向导数方向导数表征标量场空间中，某点处场值沿特定方向变化的规律。方向导数定义：方向导数与选取的考察方向有关。方向导数物理意义：，标量场

在

处沿方向增加率；，标量场

在

处沿方向减小率；，标量场

在

处沿方向为等值面方向（无改变）方向导数的计算——的方向余弦。

式中：

分别为与x,y,z坐标轴的夹角。

梯度的定义式中：为场量最大变化率的方向上的单位矢量。

梯度的性质

标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数

标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率标量场梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影1.3.3标量场的梯度

梯度的运算直角坐标系：哈密顿算符矢量和微分性球面坐标系：柱面坐标系：

梯度运算相关公式式中：

为常数；为坐标变量函数；例1.2.1试证明：①；②。式中，和分别表示对场点坐标和源点座标的哈密顿算符。《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-28证明：①《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析②依梯度的基本公式1.4矢量场的通量与散度1.4.1矢量线（力线）矢量场的通量

矢量线的疏密表征矢量场的大小矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向

若矢量场分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则定义：为矢量沿有向曲面S的通量。1.4.2矢量场的通量矢量线OM

问题：如何定量描述矢量场的大小？

引入通量的概念。

1)面元矢量定义：面积很小的有向曲面。：面元面积，为微分量，无限小：面元法线方向，垂直于面元平面。说明：2)面元法向的确定方法：对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定；对闭合曲面：闭合面外法线方向若S为闭合曲面

物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。

若，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发出矢量线的正通量源；

若，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负通量源；

若，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无通量源。

通过闭合面S的通量的物理意义：1.4.3、矢量场的散度

散度的定义在场空间中任意点M处作一个闭合曲面，所围的体积为，则定义场矢量在M点处的散度为：即流出单位体积元封闭面的通量。（通量源密度）

散度的物理意义矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性(体密度)；矢量场的散度是标量；矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度值表征空间中某点处通量源的密度。(正源)

负源)(无源）

若处处成立，则该矢量场称为无散场

若，则该矢量场称为有散场，为源密度讨论：在矢量场中，《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-35直角坐标系中的散度表示式12/15/2023

在直角坐标系下：

在圆柱坐标系下：

在球面坐标系下：

散度的计算1.4.4散度定理（矢量场的高斯定理）该公式表明了矢量场的散度在体积V内的积分等于矢量场穿过包围该体积的边界面S的通量。

散度运算相关公式矢量的散度代表的是其通量的体密度,矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量.散度定理的证明：从散度定义，可以得到：则在一定体积V内的总的通量为：体积的剖分VS1S2en2en1S例1.1

点电荷q在离其r处产生的电通量密度为求任意点处电通量密度的散度▽·D，并求穿出r为半径的球面的电通量[解]12/15/202312/15/2023可见，除点电荷所在源点（r=0）外，空间各点的电通量密度散度均为零。它是球形场。这证明在此球面上所穿过的电通量的源正是点电荷q。12/15/2023例1.2

球面S上任意点的位置矢量为试利用散度定理计算［解］12/15/20231.5矢量场的环流旋度磁感应线要么穿过曲面磁感应线要么同时穿入和穿出曲面磁感应线磁场的环流：1.5.1矢量的环流在场矢量空间中，取一有向闭合路径

，则称沿

积分的结果称为矢量沿

的环流。即：

线元矢量：长度趋近于0，方向沿路径切线方向。

环流意义：若矢量场环流不为零，则矢量场中存在产生矢量场的漩涡源。反映矢量场漩涡源分布情况讨论：1.5.2矢量的旋度

环流面密度称为矢量场在M点处沿方向的漩涡源密度。定义：空间某点M处单位面元边界闭合曲线的环流：1)环流面密度大小与所选取的单位面元方向有关。2)任意取向面元的环流面密度与最大环流面密度的关系：

矢量场的旋度矢量场在M点的旋度为该点处环流面密度最大时对应的矢量，模值等于M点处最大环流面密度，方向为环流密度最大的方向，表示为，即：式中：

表示矢量场旋度的方向；

旋度的物理意义

矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数

矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-47直角坐标系中的旋度的推导12/15/2023《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-48直角坐标系中的旋度表示式12/15/2023

旋度的计算

直角坐标系：

柱面坐标系：

球面坐标系：矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零

旋度计算相关公式：证明证明讨论：散度和旋度比较

1.5.3斯托克斯定理由旋度的定义对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有斯托克斯定理的证明：＝得证！意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。曲面的剖分方向相反大小相等抵消例1.3

自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为求任意点处(r≠0)电场强度的旋度▽×E。12/15/2023[解]12/15/2023可见,向分量为零;同样,向和向分量也都为零。

故这说明点电荷产生的电场是无旋场。因12/15/2023《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析梯度、散度、旋度的比较一个标量函数的梯度是一个矢量函数，它描述了空间各点标量位的最大变化率及其方向；一个矢量函数的散度是一个标量函数，它描述了空间各点场矢量与通量源之间的关系；一个矢量函数的旋度是一个矢量函数，它描述了空间各点场矢量与旋涡源之间的关系。只有当场函数具有连续的一阶偏导数时，梯度、散度、旋度的定义才是有意义的。在某些场量不连续的交界面上，就不可能定义梯度、散度和旋度。12/15/2023《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析矢量场的“源”有两种，建立散度的通量源和建立旋度的旋涡源。若要使一个矢量场是非零场，则必须存在产生这种场的一种源。一个非零的矢量场不可能既是无源场又是无旋场。若一个矢量场的散度处处为零，就不存在通量源，则该矢量场称为无源场（恒定磁场）。若一个矢量场的旋度处处为零，就不存在旋涡源，则该矢量场称为无旋场（静电场）。存在通量源的矢量场称有源场。在源区，该矢量场的散度不为零；而在非源区，该矢量场的散度仍然可以为零。存在旋涡源的矢量场称为有旋场，但这个场的旋度仅在存在旋涡源的空间点上不为零，在其它的点上仍然可以为零。12/15/2023

若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场为无旋场。1.6无旋场与无散场1.6.1无旋场结论：无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零(无漩涡源)。重要性质：无旋场的旋度始终为0，可引入标量辅助函数表征矢量场，即例如：静电场1.6.2无散场

若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场为无源有旋场。结论：无散场通过任意闭合曲面的通量等于零（无散度源）。重要性质：无散场的散度始终为0，可引入矢量函数的旋度表示无散场例如，恒定磁场（3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无散场部分1.7拉普拉斯运算标量场的拉普拉斯运算对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：式中：称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中：在圆柱坐标系中：在球面坐标系中：(1.7.3)矢量场的拉普拉斯运算在直角坐标系中：1.7.2格林定理