第一章基本概念

利息理论

TheoryofInterest深圳大学经济学院EconomicsschoolShenzhenuniversity教材指定教材利息理论刘占国中国财政经济出版社2006.11参考资料Kellison,S.G.，TheoryofInterest，2ndEdition,SOA，1991.菲歇尔著，陈彪如译《利息理论》，上海人民出版社，1999年版王晓军等，保险精算学，中国人民大学出版社，2003。考核方法成绩计算方法：平时成绩40%，包括出勤率、作业（抽查）、课堂讨论、课堂回答问题。期末考试60%课程结构基础利息/利率的度量/年金核心收益率分期偿还计划偿债基金拓展债券利息理论应用金融分析第一节

利息的基本概念汉英名词对照积累值现实值实质利率单利复利名义利率贴现率利息效力AccumulatedvaluePresentvalueEffectiveannualrateSimpleinterestCompoundinterestNominalinterestDiscountrateForceofinterest利息的定义及其度量定义：利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。

影响利息大小的三要素：本金利率时期长度利息产生的原因延迟消费预期的通胀代替性投资投资风险流动性偏好利息的度量累积函数总量函数贴现函数第N期利息0t1------------------------------K-----------------------------------------------------------1利息的度量-四种常见的累积函数利息度量一——计息时刻不同期末计息——利率第N期实质利率期初计息——贴现率第N期实质贴现率例1.1实质利率/贴现率某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求分别等于多少？例1.1答案

利息度量二——积累方式不同线形积累单利单贴现指数积累复利复贴现单复利计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。如何证明？单复利增长形式单利：在同样长的区间内增长的绝对金额为常数，与期间无关。复利：增长的相对比率为常数，与期间无关。除非另有声明，本书所用利率均为复利而不是单利。练习实际贴现率贴现的定义。请复习01-11a(1)a-1(1)idd和i之间是什么关系？如何转换？贴现和利率都是对利息的两种度量，因此具有等价关系想想如何解释？复贴现复贴现考虑贴现因子a-1(t)，在复利情况下，a-1(t)=1/a(t)=1/(1+i)t=(1-d)t

这种情况下的贴现方式叫做“复贴现”。v=a-1(1)=1-d于是，在复贴现的情况下，a-1(t)=(1-d)t=vt在实务中，通常在涉及贴现率的场合，可以将利息金额称为贴现金额，也就是说，在包含贴现率的场合，“利息金额”和“贴现金额”这两个词是通用的。等价关系式i=d/(1-d)i-id=d

d(1+i)=id=i/(1+i)d=ivd=i/(1+i)=1-1/(1+i)=1-vv=1-d

d=iv=i(1-d)=i-idi-d=id单贴现考虑贴现函数：a-1(t)=1-dt0≤t<1/d

称这种贴现函数对应的贴现方式为单贴现，其中d为常数的单贴现率。这里，要求0≤t<1/d是为了保证a-1(t)>0。单贴现单贴现和单利具有类似但反向的关系：1．当投资时期加长时，常数的单利利率意味着实质利率递减，而常数的单贴现意味着实质贴现率(以及利率)递增。2．单贴现和复贴现对单个时期产生的结果相同。对较长时期，单贴现比复贴现产生较小的现值，而对较短的时期则相反。单贴现仅在短期业务中使用以及用作复贴现在非整数时期内的近似。例题例1-7设0<d<1，证明：(1-d)t<1-dt，如果0<t<1；(1-d)t=1-dt，如果t=1；(1-d)t>1-dt，如果t>1。例某人存5000元进入银行，若银行分别以2%的单利计息、复利计息、单贴现计息、复贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少积累值？例1.2答案

练习对于8%的复利，确定d4对于8%的单利，确定d41-5名义利率和名义贴现率

“实际”利率：利息在每个计息期（度量期）支付一次。如果在每个计息期（度量期）支付多次，或者多个计息期才支付一次，告示的利率就变成了名义利率。用i(m)记每一计息期付m次利息的名义利率。所谓名义利率i(m)，是指每1/m个度量期支付利息一次，而在每1/m个度量期上的实质利率为i(m)/m。也就是说，某度量期上的名义利率为i(m)的意思是每1/m个度量期上的实质利率为i(m)/m。例如：若一年为一个度量期，i(4)=8%的名义利率指的是每季度的实质利率为2%，称作每年计息4次的年名义利率8%或季度转换名义利率8%。等价关系图(1-1)名义利率图名义贴现率用符号d(m)记每一度量期付m次利息的名义贴现率。所谓名义贴现率d(m)，是指每1/m个度量期支付利息一次，而在每1/m个度量期上的实质贴现率为d(m)/m。如d是对每个度量期初支付的利息的度量一样，名义贴现率d(m)是一种对1/m个度量期初支付的利息的度量。等价关系图(1-2B)名义贴现率图名义利率和名义贴现率的关系例1-9（1）求与实质利率8%等价的每年计息2次的年名义利率以及每年计息4次的年名义贴现率；（2）已知每年计息12次的年名义贴现率为8%，求等价的实质利率；例1-10

求1万元按每年计息4次的年名义利率6%投资三年的积累值。例1-11以每年计息2次的年名义贴现率10%，在六年后支付5万元，求其现值。练习1、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值。2、如以6%年利，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。例1.3答案1、2、3、1-6利息强度实际利率和实际贴现率度量一个度量期内的利息名义利率和名义贴现率则用来度量1/m个度量期内的利息在无穷小的时间区间上（时刻）的利息度量，即为利息强度。利息强度的解释解释：在利息强度下，资金A(0)在0~n区间内积累的利息额例1-12

如果δt=0.01t,0≤t≤2，确定投资1000元在第1年末的积累值和第二年内的利息金额。常数的利息强度如果利息强度在某区间为常数，则为常数利息强度。例1-13

如果实质利率在头3年为10%，随后两年为8%，再随后1年为6%，求一笔投资1000元在这六年中所得总利息。常数的利息强度=常数的实际利率如果某区间是常数的利息强度，必然有常数的实际利率。反过来成立吗？在利息强度(从而实质利率)为常数的情况下，如果在区间上有恒定的利息强度δ，那么有利息强度的极限定义例1-14

已知年度实质利率为8%，求等价的利息强度例1-15

一笔业务按利息强度6%计息，求投资500元，经8年的积累值。例1-16图(1-3)中曲线是数学函数a(t)=(1+i)t的曲线图。图中允许自变量t为负数。图中A1、A2、A3、A4

分别为曲线a(t)=(1+i)t上对应t=-1、1/2，1/2，1的点；B1

、B2、B3、B4则分别为高度为1的水平线上对应t=-1、1/2，1/2，1的点；C1、C2、C3、C4分别为横轴上对应t=-1、1/2，1/2，1的点；E1、E2、E3、E4为曲线a(t)=(1+i)t过（0，1）点的切线上的对应t=-1、1/2，1/2，1的点；试分别解释图中线段A1B1、A2B2、A3B3、A4B4、A1C1、A2C2、A3C3、A4C4和E4B4长度的含义。图(1-3)函数a(t)的图象例1-17

假设i(m)、d(m)、d、i、δ是相互等价的名义利率，名义贴现率、实质贴现率、实质利率和利息强度，m>1，试比较它们的大小。例1.4确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值1、2、例1.4答案例1.51、如果，试确定1在n年末的积累值。2、如果实质利率在头5年为5%，随之5年为4.5%，最后5年为4%，试确定1000元在15年末的积累值。3、假定一笔资金头3年以半年度转换年利率6%计息，随之2年以季度转换8%的年贴现率计息，若5年后积累值为1000元，问这笔资金初始投资额应该为多少？例1.5答案第二节利息问题求解利息问题求解四要素原始投资本金投资时期长度利率及计息方式期初/期末计息：利率/贴现率积累方式：单利计息、复利计息利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效力本金在投资期末的积累值

利息问题求解原则本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题工具：现金流图方法：建立现金流分析方程（求值方程）原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。现金流时间坐标02.1求本金例1.6：求本金某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利率复利计息，问X=？例1.6答案以第7年末为时间参照点，有以第8年末为时间参照点，有以其他时刻为时间参照点（同学们自己练习）例1.7：求利率（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元，问季度计息的名义利率等于多少？（2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元，问实质利率=？2.2投资期的确定投资期的确定常常会遇到小数期间小数区间的单利计算年数=投资期天数/基础天数1．严格单利方法这种方法严格按日历计算天数，并将具体年份的日历天数作为一年的天数，即基础天数，这样投资期的时间长度为实际投资天数除以对应年份的一年实际总天数。这里之所以提及一年实际总天数，是考虑了闰年的影响，因为一般年份的实际天数为365天，而闰年为366天。因此，这里一年的总天数可能为365天，也可能为366天。严格单利方法主要在英国使用，故有时又被称为英国法，又由于它严格按日历计算生息天数和基础天数，因此又常记为“实际/实际”。2．常规单利法该法把一年中各个月份的天数都视为30天，而不管各月份实际的天数是多少，并将一年的天数视为360天，这时，天数=360×(Y2-Y1)+30×(M2-M1)+(D2-D1)其中：M1为第一日期的月份，M2为第二日期的月份D1为第一日期的日期，D2为第二日期的日期Y1为第一日期的年份，Y2为第二日期的年份这样，相应的投资年数=天数/360这种方法在欧洲大陆的许多国家流行，因此，常叫做大陆法，由其计算基础，又常记为“30/360”。3．银行家规则这是一种混合型的方法，它用投资期的实际天数作为投资天数，但用360天作为一年，这种方法常记为“实际/360”。由于360比实际一年的天数要小，因此，算出的投资时期往往比其他算法要长，从而投资人总更愿意使用此法。这种方法也叫做欧洲货币法，它也是使用范围最广的一种方法。投资期的确定例1-17一项投资从美国参加第二次世界大战之日，即1941年12月7日开始，到战争结束之日，即1945年8月8日终止，问一共投资了多少天？（1）按实际/实际计算;（2）按30/360计算。投资期的确定例1-18

某项投资从2010年3月13日开始，到同年的11月27日结束，利率为单利8%，投资金额为100000元。试确定该项投资的利息金额。（1）按英国法；（2）按银行家规则。2.3未知时间问题等时间法例1-19预定在今后10年内，每年末付款1000，并在第10年末另外付款10000（即第10年末总共付款11000），假设实质年利率为6.75%，试确定一个一次付款20000元的时刻，使这次付款与上面四次付款之和等价。（