电磁场与电磁波第7章、导行电磁波

第7章、导行电磁波7.1电磁波沿均匀导波系统传播的一般解7.2矩形波导7.3圆波导7.4同轴线7.5波导中的传输功率与损耗7.6谐振腔第7章、导行电磁波沿一定的途径传播的电磁波称为导行电磁波，传输导行波的系统称为导波系统。

常用的导波系统有双导线、同轴线、带状线、微带、金属波导等。本章仅介绍同轴线和金属波导。尤其是矩形金属波导的传播特性。这些导波系统的结构如下图示。7.1电磁波沿均匀导波系统传播的一般解7.1.1横向场分量与纵向场分量之间的关系首先设导波系统是无限长的，根据导波系统横截面的形状选取直角坐标系或者圆柱坐标系，令其沿z

轴放置，且传播方向为正z

方向。以直角坐标为例，则该导波系统中的电场与磁场可以分别表示为，。而且应该满足下列矢量亥姆霍兹方程为传播常数

由前获知，上式包含了六个直角坐标分量及，它们分别满足齐次标量亥姆霍兹方程。根据导波系统的边界条件，利用分离变量法即可求解这些方程。但是实际上并不需要求解六个坐标分量，因为它们不是完全独立的。根据麦克斯韦方程，可以求出x分量及y分量和z分量的关系为式中这种方法称为纵向场法。7.1.2电磁波沿均匀导波系统传播的一般解

TEM波、TE波及TM波的电场方向及磁场方向与传播方向的关系如下图示。TEM波EHesTE波EHesTM波EHes可以证明，能够建立静电场的导波系统必然能够传输TEM波。根据麦克斯韦方程也可说明金属波导不能传输TEM波。名称波形电磁屏蔽使用波段双导线

TEM波

差>3m同轴线TEM波好>10cm带状线TEM波差厘米波微带准TEM波差厘米波矩形波导TE或TM波好厘米波、毫米波圆波导TE或TM波好厘米波、毫米波光纤TE或TM波差光波几种常用导波系统的主要特性在直角坐标系下，矢量拉普拉斯算符可分解为与横截面坐标有关的和与纵坐标有关的两部分，即代入波动方程得即对于TEM波，当表明传播TEM波的导波系统中，电场必须满足横向拉普拉斯方程。证明：对于沿Z方向均匀一致的导波系统，因此已知静电场在无源区域中满足拉普拉斯方程，即比较式（7-10）与式（7-12）可见，TEM波电场所满足的微分方程与同一系统处在静态场中其电场所满足的微分方程相同，又由于它们的边界条件相同，因此，它们的场结构完全一样，由此得知：任何能建立静电场的导波系统必然能够维持TEM波。平行双导线、同轴线以及带状线等能够建立静电场，因此他们可以传播TEM波。金属波导中不可能存在静电场，因此金属波导不可能传播TEM波。7.2.1矩形波导中的场量表达式矩形波导形状如下图示，宽壁的内尺寸为a，窄壁的内尺寸为b。

azyxb

,

已知金属波导中只能传输TE波及TM波，现在分别讨论他们在矩形波导中的传播特性。若仅传输TM波，则Hz=0。按照纵向场法，此时仅需求出Ez分量，然后即可计算其余各个分量。已知电场强度的z

分量可以表示为7.2矩形波导它应满足齐次标量亥姆霍兹方程，即

其振辐也满足同样的齐次标量亥姆霍兹方程，即为了求解上述方程，采用分离变量法。令代入上式，得式中X"表示X对x的二阶导数，Y"表示Y对y的二阶导数。由于上式中的第二项仅为y函数，而右端为常数，因此，若将此式对x

求导，得知左端第一项应为常数。若对y

求导，得知第二项应为常数。现分别令这里，kx

和ky

称为分离常数。利用边界条件即可求解这些分离常数。显然由上可见，原来的二阶偏微分方程，经过变量分离后变为两个常微分方程，因此求解简便。两个常微分方程的通解分别为式中常数C1，C2，C3，C4取决于导波系统的边界条件。已知Ez

分量与波导四壁平行，因此在x=0,a及y=0,b

的边界上Ez

=0。由此决定上述常数，再根据这些结果求出分离常数为代入前式即可求出矩形波导中TM波的各个分量为式中由式（7-32）可见：（1）m和n可以取不同的值，因此，和每取一组值，式（7-32）就表示波导中TM波的一种传播摸式，以表示，所以波导中可以有无限多个TM模式。（2）m表示场量在波导宽边上变化的半个驻波的数目，n表示场量在波导窄边上变化的半个驻波的数目。由的表达式可以看出和不能取为零，所以矩形波导中最低阶的TM模式是波。（3）波导中的电磁波沿x、y方向为驻波分布，沿z方向为行波分布。类似地可以导出矩形波导中TE波的各个分量为 与TM波一样，TE波也具有前述多模特性，但此时m及n不能同时为零。因此，TE波的最低模式为TE01波或TE10波。所对应的频率（波长）称为截止频率（波长）7.2.2矩形波导中的电磁波传播特性

由得到矩形波导中的传播常数为即当时，为实数，因子代表向正z方向传播的波。当时，为虚数，因子此式表明时变电磁场没有传播，而是沿正Z方向不断衰减的凋落场。电磁波在波导中传播的条件是。相应的截止波长为电磁波在波导中的相速度为电磁波在波导中传播时所对应的波长称为波导波长，式中为电磁波在参数为，的无限大媒质中的波长，也称为工作波长。

TM波的波阻抗为。TE波的波阻抗为在矩形波导中下标m和n（）相同的和模具有相同的截止波长，截止波长相同的模式称为简并模，所以和模简并。波导中的横向电场与横向磁场之比定义为波导的波抗。时，传播多个模式的波，称为多模工作区。7.2.3矩形波导中的主模具有最低截止频率的模式称为主模，所以波是矩形波导的主模。截止区TM11TE01TE20TE100a2a

c时，全部模式被截止，是截止区。时，只能传播波，是单模工作区。要求矩形波导工作在单模工作区。波导宽壁尺寸应满足，窄壁尺寸应满足。工程上常取，。主模的场结构令，求得矩形波导中的常用模式TE10波方程为

其余分量为零。瞬时表达式为

gHzHxEyzyyHxEyHzxa下图给出了t=0

时刻，矩形波导中TE10波场强沿z方向及x方向的场分布。

沿x方向为驻波，沿z方向为行波。Hz的振辐沿x

按余弦分布，Hz及Ez

的振幅沿x

按正弦分布，但三者振幅均与y无关。根据理想导体表面仅可存在法向电场及切向磁场的边界条件，即可理解这些分布规律的必然性。主模的管壁电流当电磁波在波导中传播时，在波导内壁表面上将产生感应电流，称之为管壁电流。在微波频率下，由于趋肤效应使管壁电流集中在波导内壁很薄的表面上流动，所以这种管壁电流可视为表面电流。绘出波导的管壁电流分布，如下图xzyxyz

gba磁场线电场线

zyx内壁电流在上下两宽壁内的管壁电流由x方向分量和z方向分量合成。在波导宽壁中央的面电流只有z方向分量，如果在波导宽壁中央沿z方向开一个纵向窄缝，不会切断高频电流的通路，因此波的电磁能量不会从该纵向窄缝辐射出来，波导内的电磁场分布也不会改变，在微波技术中正是利用这一特点制成驻波测量线的。几种高次模的场分布TE10TE11TE20TE21TM21TM11电场线磁场线圆波导的惟一尺寸是内半径a。为了求解圆波导中的电磁场分布，应该选用圆柱坐标系，取圆波导的轴线为z轴，如左图示。圆波导中电场和磁场可分别表示为与矩形波导类似，可以采用纵向场法，即先求出纵向分量Ez

或Hz，然后再导出其余分量。圆波导为单导体系统，因此波导中只能传播TE、TM波。xyza

,

7.3圆波导7.3.1横向场分量与纵向场分量之间的关系式中同样可以根据波动方程推导出圆波导中电磁场纵向分量所满足的方程7.3.2圆波导中的场量表达式对于TM波，Hz=0，先求出Ez

分量，然后再计算各个横向分量。在无源区中，Ez

分量满足下列标量亥姆霍兹方程将其在圆柱坐标系中展开，再将Ez

分量的表示式代入，得采用分离变量法，令代入上式，得式中及分别为R对r的二阶和一阶导数，为

对

的二阶导数。

类似以前步骤，首先求出函数满足的方程为此方程的通解为由于波导中的场分布随角度

的变化应以2

为周期，因此上式中m一定为整数，即圆波导具有轴对称性，的坐标平面可以任意确定。那么，总可以适当地选择坐标平面，使上式中的第一项或第二项消失，因此，

的解可以表示为求得令，则上式变为标准的贝塞尔方程，即此式的通解为式中为第一类m阶柱贝塞尔函数，为第二类m阶柱贝塞尔函数。当时，，而波导中心处的场量应该为有限值，所以常数将式（7-62）以及代入式（7-51），并加上因子，得圆波导中TM波沿Z方向传播的场量表达式。

令为第一类阶贝塞尔函数的第个根，则式中为柱贝塞尔函数的一阶导数。常数决定于边界条件。根据理想导体边界条件，可以得到。式中下标，。表7-1列出了部分的值。如下表7-1贝塞尔函数的根nm1234

02.4055.5208.65411.792

13.8327.01610.17313.324

25.1368.41711.62014.796

36.3709.76113.01516.223对于TE波，Ez=0。采用上述同样方法，先求出Hz

分量，然后再计算各个横向分量，其结果为：

再根据边界条件，求得常数kc为式中为第一类贝塞尔函数的一阶导数根，其数值如下表。表7-2贝塞尔函数的根nm1234

03.8327.01610.17313.324

11.8415.3318.53611.706

23.0546.7069.96513.170

34.2018.01511.34614.5867.3.3圆波导中的电磁波传播特性其截止频率和截止波长分别为由左图可见，TE11波具有最长的截止波长，其次是TM01波。

截止区0a2aTE01TE21TM01TE113a4a

c对于TE11及TM01由此可见，若工作波长

满足，即可实现主模TE11波的单模传输。

反之，若工作波长

给定，为了实现TE11波单模传输，圆波导半径a必须满足和矩形波导一样，圆波导中也存在简并现象，一种是E-H简并，另一种是极化简并。7.3.4圆波导中的三种常用模式（1）圆波导中的主模模场量表达式为圆波导模的场结构与矩形波导模的场结构相似，因此圆波导模很容易通过矩形波导模过渡得到。图7-10圆波导中模的场结构分布图由于模具有极化简并，即使这样也不能保证圆波导的单模传播，所以在实用中不用圆波导传输信号。（2）圆波导中的模场量表达式为：式中，

TE01圆波导中模的场结构分布图电场线磁场线（1）电磁场沿方向不变化，场分布具有轴对称，不存在极化简并；（2）电场只有分量，电力线在横截面内是一些同心圆，在波导中心和波导壁附近为零；（3）在管壁附近只有分量，所以管壁电流只有分量；（4）模的导体损耗功率随频率的升高而单调下降，适合远距离传输。(3)圆波导中的模场量表达式为

式中

TM01

圆波导中模的场结构分布图电场线磁场线（1）电磁场沿方向不变化，场分布具有轴对称，不存在极化简并；（2）磁场只有分量，磁力线在横截面内是一些同心圆，处，，管壁电流只有分量。7.4同轴线同轴线的结构如下图示，其主要尺寸是内导体的半径a和外导体的内半径b。内外导体之间可以填充介质或为空气，电磁波在内外导体之间传播。同轴线是一种性能良好的微波传输线，它具有与波导一样完全电磁屏蔽的优点，而且工作频带较宽。同轴线中电场线为沿半径方向的径向线，磁场线为沿角度方向的闭合圆，同轴线是一种典型的TEM传输线。yzabx电场线磁场线

TEM波在横截面上的场分布与同一结构中的相应静态场分布一致。根据高斯定律，可以求得两导体间的电场只有径向分量,得到场解为左图为同轴线中TEM波的场结构

TEM波存在的条件是，这就意味着TEM波的截止波长为无穷大，同轴线不存在截止现象。传播常数相速度波导波长波阻抗同轴线也可看作为一种圆波导，除了传输TEM波以外，还可存在TE波及TM波。同轴线中非TEM波的波型分析方法与圆波导类似。但是由于同轴线具有内导体，变量的范围是，所以或的解必须包括第一类和第二类贝塞尔函数。对于TM波及TE波，利用边界条件即可求出传播常数kc，计算各个模式的截止波长。几种模式的截止波长分布如左图示。0TE10TM01TE11

(a+b)

c

(b-a)对TM波因此，为了抑制同轴线中的非TEM波，工作波长

必须满足。TEM波0TE10TM01TE11

(a+b)

c

(b-a)由图可见，TE11波具有最长的截止波长，其值为。或者说，同轴线的尺寸应满足由此可见，为了消除同轴线中的高次模，随着频率升高，同轴线的尺寸必须相应地减小。但尺寸过小，损耗增加，且限制了传输功率。因此，同轴线的使用频率一般低于3GHz。但是，同轴线的传输频率并无下限，这也TEM波传输线的共性。7.5.1波导中的传输功率式中，为波导内的横向电场和横向磁场。当波导中填充理想介质时，波导内的横向电场与横向磁场相位相同，因此代表波阻抗和。7.5波导中的传输功率与损耗根据波导中的横向电场和横向磁场，可以得到波导中沿纵向传播的电磁波的平均能流密度矢量，再对波导横截面进行积分，即可以得到波导中的传输功率对于矩形波导以矩形波导为例。当其传输主模TE10波时，求得的传输功率为若波导中介质的击穿场强为，则矩形波导能够传输的最大功率为实际中，为了安全起见，通常取传输功率。对于圆波导7.5.2波导中的功率损耗波导中的损耗主要来自两个方面，其一是波导中的填充介质引起的损耗，其二是实际波导壁的有限电导率产生的损耗。为了计算填充介质产生的损耗，仅以有耗介质的等效介电常数代替原来的介电常数即可。波导壁引起的损耗，严格计算非常复杂，通常仍然利用理想导电壁情况下的场强公式计算波导壁的损耗。但由于波导内壁的电导率为有限值，波导内的场强沿传播方向是以衰减常数按指数规律衰减的，设其衰减常数为。电场强度为因此，传输功率可以表示为将上式对z

求导，得单位长度内的功率衰减为因此，衰减常数为此式表明，计算衰减常数必须计算单位长度的损耗功率。要严格计算损耗功率是困难的，可采用近似近似方法，即先假定波导壁为理想导体，计算波导内的场量分布，进而得到波导壁表面电流的大小和单位长度的损耗功率，再按式（7-95）便可计算出衰减常数。例计算矩形波导中传输TE10波时，衰减常数。 解已知当矩形波导传输TE10波时，波导宽壁上的电流具有x

分量及z分量，而窄壁上只有y分量。因此，单位长度内，宽壁上的损耗功率为式中，。单位长度内窄壁上的损耗功率为式中，则单位长度内总损耗功率为即可求得TE10波衰减常数为7.6谐振腔随着频率的升高，用LC振荡回路将会遇到许多问题：（1）要求LC振荡回路中的电感和电容很小，给结构加工带来困难；（2）当回路的尺寸与工作波长相近时，回路容易产生电磁辐射，品质因数下降；（3）在微波频率下，LC回路的欧姆损耗和介质损耗都很大，回路的品质因数显著下降。在微波波段可采用一段纵向两端封闭的传输线或波导（称之为谐振腔）实现高品质因数的微波谐振电路。因此，矩形波导谐振腔中TE模的纵向场可以写成7.6.1矩形波导谐振腔一、矩形波导谐振腔的场量表达式矩形波导谐振腔里的场量可以看作是由矩形波导中相应的入射波和反射波叠加而成。将边界条件代入上式得则再将边界条件，代入上式得可得代入横向场与纵向场关系式（7-5），同时将以代替类似地可以推导出矩形波导谐振腔中振荡模式的场量表达式可见：1，矩形波导谐振腔中的场量沿x、y、z方向均为驻波；2，矩形波导谐振腔中可以存在无穷多个振荡模式，用和表示；3，下标m、n、p分别表示场量沿x、y、z方向变化的半驻波数；4，对于TE振荡模式，下标m、n可以为零，但不能同时为零，p不能为零；5，对于TM振荡模式，下标m、n不能为零，p可以为零。二、矩形波导谐振腔的谐振频率金属腔中的电场及磁场在x

及z

方向上均形成驻波，但电场驻波及磁场驻波的时间相位差为。当电场能量达到最大值时，磁场能量为零；反之，当磁场能量达到最大值时，电场能量为零。电磁能量在电场与磁场之间不断地交换，而且无须外界输入能量一直存在，这种现象称为谐振。发生谐振的频率称为谐振频率，对应的波长称为谐振波长。显然，只要谐振腔的长度为均可满足边界条件，即发生谐振。当时，，，代入上式，得已知矩形波导中z向传播常数为考虑到，求得谐振波长及谐振频率分别为可见，谐振波长或谐振频率不仅与谐振腔的尺寸有关，还与波导中的工作模式有关，每组（mnl）对应于一种模式。

为了有效地设计谐振腔的耦合及调谐装置，必须了解谐振腔