基于递推最小二乘的水工模型参数在线辨识

基于递推最小二乘的水工模型参数在线辨识

1离散模型辨识在造船厂的许多工业对象中，有几种类型的纯延迟率的过渡模型。对这些对象进行辨识时往往不直接对纯迟延时间进行辨识,而是采用高阶模型来近似,比如附加分子多项式的方法和有理近似方法都是不直接辨识迟延时间的方法。这种近似存在着很多弊端:对输入信号要求高;需要对噪声模型进行辨识;被辨识参数的收敛速度慢;有理传递函数与采样时间有关,系统的动态特性不能反映纯迟延时间;采用有理近似的方法得到的近似模型往往是非最小相位系统,这样会产生不稳定的零点;纯迟延时间会使近似模型的阶次很高,不符合实际情况。本文介绍了将二阶惯性加纯迟延的连续时间模型离散化的方法,通过对离散模型进行辨识来得到连续模型的参数。对于给定的采样周期,连续系统的小数部分迟延在离散化时将会产生一个负实零点,因此可以离散零点引起的相位增益来估计小数部分迟延,这就要求离散的零点只与小数部分迟延有关。但是连续系统的有限的零点在离散化过程中也将产生离散零点,这里需要辨识的典型的热工对象的离散零点只与小数部分迟延有关。对于离散化后的模型采用固定模型的变回归估计FMVRE。FMVRE方法是Elnaggar提出来的一种适合估计工业工程,过阻尼和逼进为二阶惯性加延迟环节的延迟方法。FMVRE方法比起其它的延迟的估计方法有许多优点,应用起来非常简单且收敛非常快。FMVRE法是从估计其它的过程延迟参数里推导出来的,这使得它收敛非常快也很容易实现。具体的辨识算法如下:①直接应用递归最小二乘法和最小化损失函数辨识离散模型参数;②由辨识出的离散模型得到连续系统模型,其中连续模型的小数迟延由离散零点计算得到;③此算法可以将连续系统的有理传递函数以及整数和小数迟延一起辨识得到。2采样系统的q=-/1-对于一个采样数字系统,一阶惯性环节如下:G(s)=μΤs+1e-τs‚Τ＞0(1)G(s)=μTs+1e−τs‚T＞0(1)式中:τ=dh+εh;h是采样周期;d是非负的整数。当0<ε<1,得到u和y之间脉冲传递函数y(z)u(z)=z-dμ1-pz-p(1-α)z+αzy(z)u(z)=z−dμ1−pz−p(1−α)z+αz,小数部分数延迟εh在Z平面里产生一个在原点的极点和一个在负实轴的零点q=-α/(1-α),(0<α<1);当-1<ε<0,有y(z)u(z)=z-dμ1-pz-p[(1-β)z+β]‚εhy(z)u(z)=z−dμ1−pz−p[(1−β)z+β]‚εh在Z平面里产生一个在负实轴的q=-β/(1-β),(0<β<1)。现假设延迟时间τ是不确定的,τ=dh±εh,-1<ε<1,那么整个采样控制系统对于任何的ε∈[-1,1]可以表示成如下的脉冲传递函数:Η(z)=z-(d+1)b1z2+b2z+b3z-p(2)H(z)=z−(d+1)b1z2+b2z+b3z−p(2)其中:b1=0和b2/b3=(1-α)/α时,0<ε<-1,零点z″=-b3/b2;b3=0和b1/b2=(1-β)/β时,-1<ε<0,零点z″=0或z′=-b2/b1。对于小的采样间隔,式(2)的零点(z′,z″)在实际情况下总是在负实轴上,有如下的性质:σ:=11-z´+11-z˝=(1-ε)(3)其中,σ是频率响应(ejυ-z′)(ejυ-z″)的幅角在υ=0处的级数展开的第一项。计算ε时,不必求出离散系统的零点,而利用方程b1z2+b2z+b=0根与系数间的关系得到。如果b1≠0,得到两个零点z′,z″。从而z′+z″=-b2/b1,z′·z″=b3/b1(4)由式(3)、式(4)得到ε=b3-b1b3+b2+b1(5)如果b1=0,得到z″=-b3/b2,可以认为z′=∞,由式(3)、式(4)得ε=b3b3+b2,也可以写成式(5)的形式;如果b3=0,即Η(z)=z-(d+1)b1z2+b2zz-p,得到z″=-b2/b1,z′=0,则由式(3)、(4)计算ε=-b1b2+b1,同样可以写为式(5)的形式,从而得到纯迟延:dd=(d+1)+ε=d+1-b1b2+b1=d+b2b2+b1;b3=0时,也得到,则dd=d+X=d+b2b2+b1。由上可知当b3=0时,用两种方法推导的纯迟延时间是相同的,从而可确定在参数估计中,小数部分迟延离散化后可以统一设为b1z2+b2z+b3的形式,这样就可以在模型阶次已知的情况下进行离散模型的参数辨识,再根据ε=b3-b1b3+b2+b1得到连续传递函数的小数部分迟延。3[et二乘优化算法对于连续系统采样离散化得到脉冲传递函数的一般形式:G(z)=b1z-(d+1)+b2z-(d+2)+⋯+bmz-(d+m)1+a1z-1+a2z-2+⋯+1+anz-n采用基于离散系统的最小二乘辨识算法,写出上述模型的最小二乘形式:y(t)=φ(t)θ+e(t)φ(t)=[-y(t-1),…,-y(t-n),u(t-d-1),…u(t-d-m)]Tθ=[a1,a2,…an,b1,b2,…,bm]T其中,参数向量θ是各个参数的函数,输入输出观测向量是纯迟延时间d的函数,残差e(t)=y(t)-ˆφ(t)ˆθ取决于各参数的拟和误差,最小二乘估计是使目标函数J(θ‚d)=L∑t=1[e(t)]2值最小的参数估计,即J(ˆθ‚ˆd)=min(J(θ‚d))。由于d为离散值,当已知纯迟延时间在某一范围[dmin,dmax]时,可以采用最小化损失函数的方法将延迟时间ˆd‚和其它参数向量ˆθ一起进行辨识。具体实现方法可以分为两步来进行:①假设纯迟延时间已知,利用最小二乘法对其它参数进行估计J(ˆθ‚d)=min(J(ˆθ‚d));②对关于纯迟延的损失函数进行优化,得到纯迟延的估计值J(ˆθ‚ˆd)=min(J(ˆθ‚di))‚di∈[dmin‚dmax]。这种两步算法在具体的递推程序实现过程中,只需在标准递推最小二乘算法中加入最小化损失函数的求取。首先假设上一步迟延的估计值是正确的,计算出输入输出的观测向量ˆφ(k),利用标准最小二乘递推公式(7,8,9)得出其它参数估计值ˆθ(k);然后假设其它参数的估计值ˆθ(k)是正确的,让d从dmin变化到dmax,从而由式(6)得到dmax-dmin+1个观测向量,进而由式(10)得到dmax-dmin+1个损失函数值,第k步d的估计值就是使损失函数值最小的那一个,这个值又作为定值用于下一步的参数估计中。下面给出改进的具有最小化损失函数的递推最小二乘算法的递推公式:ˆφ(t)=[-y(k-1)‚⋯‚-y(k-n),u(k-ˆd-1)‚⋯‚u(k-ˆd-m)]Τ(6)ˆθ(k)=ˆθ(k-1)+Κ(k)[y(k)-ˆφ(k)Τˆθ(k-1)](7)Κ(k)=Ρ(k-1)ˆφ(k)[ˆφΤ(k)Ρ(k-1)ˆφ(k)+λ]-1(8)Ρ(k)=[Ι-Κ(k)ˆφΤ(k)]Ρ(k-1)/λ(9)J(k‚d)=λJ(k-1‚d)+[y(k)-φ(k‚d)ˆφ(k)]2(10)J(k‚ˆd)=minJ(k‚d)∀d∈[dmin‚dmax](11)方程(6)是输入输出的观测向量,方程(7,8,9)是标准的递推最小二乘公式,在一设定的纯迟延时间的情况下对其它参数进行估计,后两个方程(10,11)是当纯迟延时间在某一个范围内变化时用来最小化损失函数并且求取使损失函数最小的d的值,进而得到最佳的迟延时间。4确定操作员的标记4.1未来研究重点预测的参数估计算法连续传递函数在离散化后,小数部分迟延将会产生在负实轴的零点。在进行参数估计时需要先利用输入输出数据进行脉冲传递函数的参数估计,再利用脉冲传递函数的零点计算出连续传递函数的小数部分迟延,这种参数估计的方法要求原连续系统不带迟延部分的传递函数在离散化后不会产生零点,所以原传递函数应该具有标准形式ˉG(s)=e-τs/DR(s),这样离散化后的脉冲传递函数为ˉΗR(z)=ρBn(z)nΠi=1(z-exp(pih))=Bn(z)AR(z)系统的离散零点是小数部分迟延在离散化过程中产生的。由文献,可以采用最终的近似模型:Η(z)=ρz-(d+1)(z-z´)(z-z˝)(1-z´)(1-z˝)1AR(z)=z-(d+1)b1z2+b2z+b3AR(z)并且利用如下的最小二乘估计模型进行辨识Η(z-1)=z-(d+1)b1z-1+b2z-2+b3z-31+a1z-1+a2z-2+⋯+anz-n在传统的工业过程中,很大一类被控对象可以等效成以典型的一阶惯性加纯迟延环节或二阶惯性加纯迟延环节,二阶对象能更准确反映热工系统的特性,并且用二阶惯性加纯迟延来近似高阶对象精度很高,而且符合辨识模型的标准形式,所以上述算法能很好的应用于热工对象的辨识中。采用零阶保持器对连续的二阶系统进行离散化,很容易得到相应的脉冲传递函数,其中参数的求取公式很多文献中都有提及,这里没列出。G(s)=Κe-des(Τ1s+1)(Τ2s+1)=Κe-desas2+bs+1(12)式中,de=dh+εh,h是采样周期,d是非负整数。G(z)Ζ={G(s)}=z-d+1(b1z-1+b2z-2+b3z-3)1+b1z-1+a2z-2(13)从而得到:y(t)=-a1y(t-1)-a2y(t-2)+b1u(t-d-1)+b2u(t-d-2)+b3u(t-d-3)(14)根据上述推导,对文献中提到的算法进行了修改,得到带有小数部分纯迟延时间的传递函数标准形的参数估计算法步骤如下:1)初始化式(10)的被辨识参数ˆd‚ˆan‚⋯‚ˆa2‚ˆa1‚d∈[dmin‚dmax]并且使ε的估计值ˆε等于零,也就是初始化ˆb3=ˆb1=0‚ˆb2≠0;2)利用输入输出数据,通过递推最小二乘法以及最小化损失函数对未知参数an,…,a2,a1,b3,b2,b1以及d进行修正,采用上述的整数部分纯迟延估计算法;3)计算系统的零点z′和z″,并且根据公式计算ˆε=(ˆb3-ˆb1)/(ˆb3+ˆb2+ˆb1);4)如果-1＜ˆε＜1,则转到7),否则转到5);5)反复进行以下算法直到|ˆε|＜1,若ˆε＜-1则令ˆd→ˆd-1且ˆε→ˆε+1,如果ˆε＞1则令ˆd→ˆd+1且ˆε→ˆε-1;6)令γ=ˆb3+ˆb2+ˆb1‚ˆε≥0时,设ˆb1=0‚ˆb2=(1-ˆε)γ‚ˆb3=ˆεγ‚ˆε≤0时,设ˆb3=0‚ˆb2=(1+ˆε)γ‚ˆb1=-ˆεγ那么ˆτ=h(ˆd+ˆε);7)将离散模型参数转化成连续模型参数,转至2)。4.2模型参数的辨识电厂中大多数热工对象可以用一阶或二阶具有纯滞后的过阻尼模型来代表,一些典型的热工模型比如炉膛压力,过热气温,汽包水位的模型都可以近似地用二阶具有纯滞后的过阻尼模型G(s)=Κe-τsas2+bs+1来表示。为了进一步验证上述算法的正确性和适用性,这里选取两个参数差别比较大的固定模型。模型1中参数取K=20,a=1.6,b=4.4,de=5.3;模型2中选取K=50,a=16,b=44,de=7.5。采用MATLAB编程来实现以上算法,对模型的参数进行辨识,具体的辨识过程可以简单的描述为:首先进行数据的采集,输入为伪随机信号,输出为上述模型的输出,取采样周期为1s;接下来利用参考模型输入数据和输出数据,采用上述辨识算法1)～7)步,得到离散模型的参数,将离散模型的参数转化为连续模型的参数;再进行下一次数据的采集,如此一直到参数收敛结束运算。通过辨识得到离散传递函数和连续传递函数中各个参数的收敛情况。图1和图2为模型1的参数收敛曲线,图3和图4为模型2的参数收敛曲线。图中的a1,a2,b1,b2,b3,d是辨识得到的式(14)中离散模型的参数,e是小数部分纯迟延时间;a,b,de,K是计算得到的式(12)中连续模型的参数。由图中参数收敛曲线可以看出,在递推算法中,纯迟延时间的估计值不会随着其它参数估计的变化而变化,也就是说在其它参数逐渐得到修正的每一步递推中,纯迟延没有一直变化。随着辨识数据的采集和递推算法对参数的修正,纯迟延时间首先达到某一定值不再发生变化,随后参数估计值的变化越来越小并最终收敛到真值。经过60次采样计算便可以得到各个参数的收敛值。模型参数收敛值和真值间的误差较小,其中小数部分纯迟延时