第十三章3节统计与案例

第三节

统计与统计案例

✎考纲解读1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.3.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画出频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.4.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.5.能从样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.6.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.7.会作两个有关联变量的数据的散点图，利用散点图认识变量间的相关关系.8.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线

性回归方程.

9.了解常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.

（1）独立性检验

了解独立性检验（只要求

列联表）的基本思想、方法及其简单应用.

（2）回归分析

了解回归的基本思想、方法及简单应用.✎知识点精讲

一、抽样方法.

3种抽样方式的对比如表13-4所示类别共同点各自特点相互关系使用范围简单随机抽样每个个体被抽到的机会均等，总体样本

每个个体被抽到的概率从总体中随机逐个抽取总体中的个体个数较少系统抽样总体均分几段，每段

个第一段取第二段取第三段取…第一段简单随机抽样总体中的个体个数较多分层抽样将总体分成

倍，每层按比例抽取每层按简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成表13-4二、样本分析

①样本平均

；②方差三、频率分布直方图的解读（1）频率分布直方图的绘制①由频率分布表求出每组频数；②求出每组频率

（

为样本容量）；③列出样本频率分布表；④画出样本频率分布直方图，直方图横坐标表示各

组分组情况，纵坐标为每组频率与组距比值，各长方形面积即为各组频率，

长方形面积总和为

（2）样本估计总体步骤：总体抽取样本频率分布表

频率分布直方图

估计总体概率分布.样本容量越大，估计越精细，样本容量无限增大，直方图无限趋近概率分布

密度曲线.（3）用估计总体期望

，用

估计总体方差，

估计总体标准差.

公式四、线性回归

线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系——相关关系的方法.

对于一组具有线性相关关系的数据

其回归方程的求法为

其中，

，

，

称为样本点的中心.

步骤：画散点图，如散点图中的点基本分布在一条直线附近，则这条直线叫这两个变量的回归直线，直线斜率

，称两个变量正相关；

，称两个变量负相关.五、独立性独立性检验是判断两个分类变量是否存在相关关系的案例分析方法.步骤为列出

列联表（如表所示），

求出，并判断：合计合计表13-5题型161抽样方式——用样本估计总体【例13.16变式1】某地区有小学

所，中学

，大学

，现采用分层抽

样的方法从这些学校中抽取

所学校对学生进行视力调查，应从

小学中抽取_____所学校，中学抽取_____所学校.【解析】本地区共有学校

（所），所以从小学中应抽取

（所），从中学中应抽取

（所）.【例13.16变式2】

故选C.【解析】

题型162样本分析——用样本估计总体【例13.17】在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）甲地：总体均值为3，中位数为4乙地：总体均值为1，总体方差大于0

C.丙地：中位数为2，众数为3D.丁地：总体均值为2，总体方差为3【分析】依题意知所给条件的整体要求，样本方差不大，样本平均值也不大，只有选项D具有这一条件，选项A,B,C则可举反例排除，对选项D则加以证明.解法一：甲地构造反例要“满足𝑥=3，中位数为4，且至少一数不少于8的10个数的数组”如:,排除选项A；【解析】乙地因为方差大于0很容易满足，故只要𝑥=1即可，取反例:,排除选项B；故排除C.丙是最容易举反例的，如:.

解法二：也可以证明丁地的数据一定符合标志，

即此数据符合标志.故选D.【评析】

【例13.17变式1】从甲乙两个城市分别随机抽取

台自动售货机，对其销售

额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图

所示），设甲乙两

组数据的平均数分别为，中位数分别为，则（）.

【解析】直接利用公式求解：

所以，又

，所以图13-15甲乙【例13.17变式2】

标准差（或方差）的大小反映的是数据在平均值左右的分布是集中还是分散,越集中，标准差越小;越分散，标准差越大.甲、乙、丙数据平均值都是8.5，在8.5左右，丙分布最集中，方差最小；乙分布最散，方差最大，【解析】

故选D.

【例13.17变式3】甲，乙两人在一次射击比赛中各射靶

次，两人成绩的

条形统计图如图所示，则（

）.

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差频数环数345678910（甲）频数环数345678910（乙）图13-17【解析】由条形统计图知：甲射靶次的成绩分别为：

乙射靶次的成绩分别为：

（1）

故，选项不正确；

（2）甲的中位数为

，乙的中位数为

，故

选项不正确；

（3）

所以

故正确.

（4）甲的成绩极差为；乙的成绩极差为

故不正确.综上，故选题型163线性回归方程

【例13.19】(1)请画出表示数据的散点图；

(1)由题设所给的数据，可得散点图（如图所示），【解析】散点图上的点基本在一条直线附近，数据正相关，存在回归方程.由表所示可知，32.251.52.540.250.25350.50.250.25462.251.514.5

为了调查某地区老年人是否需要参加志愿者提供帮助，用简单随机抽样调查了500位老人，结果如下表所示.【例13.20】性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人比例；(2)能否有99%把握认为该地区的老年人是否需要志愿者帮助与性别有关？(3)根据（2）结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老人的比例？并说明理由题型164独立性检验

性别是否需要志愿者男女合计