2023届丹东市重点高三（最后冲刺）数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平

台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门

进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展

有显著效果的图形是()

不«及

不R共辜

2.设全集U={xeZh+l)(x—3)<0卜集合A={0,1,2},贝！|(7精=()

A.{-1,3}B.{-1,0}C.{0,3}D.{-1,0,3}

3.设。为坐标原点，。是以尸为焦点的抛物线V=4x上任意一点，例是线段Pb上的点，且PM=MF,则直线

OM的斜率的最大值为()

A.1B.-C.—D.立

222

4.已知m,n为异面直线，m_L平面a,n_L平面口，直线1满足l_Lm,1_Ln,/<Z。，民则

()

A.a〃p且/〃aB.a_Lp且/JLp

C.a与(J相交，且交线垂直于/D.a与0相交，且交线平行于/

5.已知集合4={幻入<。,4€用，3={幻2*<16},若A5,则实数"的取值范围是()

A.0B.RC.(-oo,4]D.(-oo,4)

x+2y>2

6.已知实数x,y满足约束条件>—xKl，若z=2x—y的最大值为2,则实数"的值为（）

y+l>kx

57

A.1B.-C.2D.-

33

7.过抛物线C：V=4x的焦点尸，且斜率为百的直线交C于点在x轴的上方），/为C的准线，点N在/上且

MNLI,则M到直线NF的距离为（）

A.>/5B.2及C.26D.3上

8.在AABC中，D为BC中点,且通=g应5,若巫=4福+〃/，贝！M+〃=（）

213

A.1B.C.—D.

334

9.在AABC中，H为BC上异于B,C的任一点，M为的中点，若亚=之通+〃而，则丸+〃等于（）

10.设。，》，c分别是AABC中NA,DB,NC所对边的边长，贝!|直线sin-c=（）与/zx+sin3-y+sinC=0

的位置关系是（）

A.平行B.重合

C.垂直D.相交但不垂直

11.已知函数/（x）=lnx,g（x）=（2〃?+3）x+〃，若对任意的xe（0,+oo）总有/（x）«g（x）恒成立，记（2〃?+3）“

的最小值为./（，〃,〃），则/（根,〃）最大值为（）

111

A.1B.-C.-vD.-7=

ee~

12.已知圆f+V_4x+2y+1=0关于双曲线C：+-1=l（a>Q,b>0）的一条渐近线对称，则双曲线C的离心率

为（）

A.J5B.5C.2D.-

24

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知两个单位向量满足,+可=恒|,则向量£与日的夹角为.

x+2y<l

14.设x,丁满足条件2x+yN—l,则z=2x-3y的最大值为.

x-y<0

211

15.假设10公里长跑，甲跑出优秀的概率为一，乙跑出优秀的概率为一，丙跑出优秀的概率为一，则甲、乙、丙三

324

人同时参加10公里长跑，刚好有2人跑出优秀的概率为.

16.在边长为4的菱形ABCD中，A=60。,点p在菱形ABCZ)所在的平面内.若PA=3,PC=C，贝！J

PBPD^-----•

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在某社区举行的2020迎春晚会上，张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击鼓”游戏，每轮游戏中张

明和王慧各蒙眼击鼓一次，每个人击中鼓则得积分100分，没有击中鼓则扣积分50分，最终积分以家庭为单位计分.

32

已知张明每次击中鼓的概率为一，王慧每次击中鼓的概率为一；每轮游戏中张明和王慧击中与否互不影响，假设张明

43

和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏.

(1)若家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，问张明和王慧他们家庭可以领取一台全

自动洗衣机的概率是多少？

(2)张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和J的分布列和数学期望E记).

18.(12分)在A"。中，A、B、C的对应边分别为b、c,已知。=2,c=26,cosC=-g.

(1)求A；

(2)设加为8c中点，求AM的长.

19.(12分)已知函数〃x)="(ax+l),a&R.

(1)求曲线y=/(x)在点/(O,/(O))处的切线方程；

(2)求函数/(x)的单调区间；

(3)判断函数/(x)的零点个数.

20.(12分)设函数/(x)=x—Lg(x)=flnx,其中xe(0,l),f为正实数.

(1)若/(x)的图象总在函数g(x)的图象的下方，求实数/的取值范围;

(2)设"(x)=(lnx-x2+e'+(xT)-,证明：对任意xe（O,l）,都有”（x）>0.

21.（12分）一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本》（万元）与该月产量x（万件）之间有如下一组数据:

X1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.87

y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26

（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合,与x的关系，请用相关系数厂加以说明；

（2）①建立月总成本）'与月产量》之间的回归方程；②通过建立的）'关于x的回归方程，估计某月产量为1.98万件

时，产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）

1010riorio

附注：①参考数据：=14.45,=27.31,。0.850,柩上一10尸。1042,月=1.223.

<,=1<=1v^l

«_n

2>，,一呵，-rixy

，=l

②参考公式：相关系数厂=丁==vw---------r,B=*------------,a=y-bx.

小卒一同J悟牙"2

x=2cosc

22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系X"）'中，曲线G：\3.（a为参数），在以平

y=2sina

面直角坐标系的原点为极点、X轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy取相同单位长度的极坐标系中，曲线。2：

Psin（e-£）=1.

（I）求曲线G的普通方程以及曲线G的平面直角坐标方程；

（2）若曲线G上恰好存在三个不同的点到曲线C2的距离相等，求这三个点的极坐标.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

根据四个列联表中的等高条形图可知,

图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，

它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D.

2.A

【解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合A的补集.

【详解】

由(x+l)(x—3)40解得—l«xW3,故。={-1,0,1,2,3},所以=,故选A.

【点睛】

本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.

3.A

【解析】

22

设P(粤,y0)，M(x,y),因为得到x=§+粤,y=亭，利用直线的斜率公式，得到

2p44P2

A

,~22

k°M=-^-r=-―结合基本不等式，即可求解.

£+A.2+%

44p%P

【详解】

由题意，抛物线y2=4x的焦点坐标为%,0),

2

设P(普,％),M(x,y),

2P

2

〃+焉V-)'。

因为即M线段PE的中点，所以x=—।-----,y——

44〃2

%

,_T_22

所以直线OM的斜率J=-~彳=—~<r——

3+生2+及2£•比

44〃%PV%p

当且仅当e=&,即%=。时等号成立，

%P

所以直线的斜率的最大值为1.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运

算能力，属于中档试题.

4.D

【解析】

试题分析：由〃平面a,直线/满足/_Lm,且/aa,所以〃/a,又〃，平面4，/±n,/（ZZ?,所以〃/夕，由

直线加，〃为异面直线，且加，平面a,〃，平面/，则a与£相交，否则，若二〃4则推出机〃〃，与机,〃异面矛盾,

所以。，尸相交，且交线平行于/,故选D.

考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论.

5.D

【解析】

先化简3={X[2'<16}={X|X<4},再根据A={x|x<a,aeH},且A8求解.

【详解】

因为8={x[2"<16}={x|x<4},

又因为A={x|e/?},且AB,

所以a<4.

故选：D

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

6.B

【解析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解，转化求解%即可.

【详解】

可行域如图中阴影部分所示，B「■,广；•+1,。占一^^不，要使得z能取到最大值，则%>1,当1<&〈2

K-1）12Z+12k+\）

时，x在点8处取得最大值，即2（言）一（言+1）=2,得&=1;

当4>2时，z在点C处取得最大值，即

4]7

=2,得k)(舍去).

2k+i)[2k+\)6

故选:B.

【点睛】

本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想，分类讨论是解题的关键,属于中档题.

7.C

【解析】

联立方程解得M(3,2&),根据得|MN|=|Mf|=4,得到△MN厂是边长为4的等边三角形，计算距离得到答

案.

【详解】

依题意得尸(1,0),则直线产M的方程是尸百(X-1).由'「"一得或x=3.

y=4x3

由M在x轴的上方得M(3,26),由MN_U得|MN|=|MF|=3+1=4

又NNMF等于直线FM的倾斜角，即NNMf=60。，因此AMNF是边长为4的等边三角形

点M到直线NF的距离为4x1=2百

2

故选：C.

【点睛】

本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.

8.B

【解析】

选取向量而，恁为基底，由向量线性运算，求出而，即可求得结果.

【详解】

BE^AE-AB^-AD-AB,AO=-(A8+AC),

32

：.BE^--AB+-AC^AAB+uAC,

66

,512

・'.4=-94=­，.,.X+M=—.

663

故选：B.

【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.

9.A

【解析】

根据题意，用血，女表示出说,8万与彳而，求出九〃的值即可.

【详解】

解：根据题意，设Bii=xR(j，则

AM=-AH=-(AB+BH)=-(AB+xBC)=-AB+-x(AC-AB)=-(1-x)AB+-xAC,

2222222

又W=4而+〃宿

,1八、1

A——(1-X),JLl=—X9

,I,11

z+//=—(1-x)x+—X=—,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题.

10.C

【解析】

试题分析：由已知直线《114》一胡一。=0的斜率为吧/,直线乐+sin8-y+sinC=0的斜率为———,又由正

asinB

弦定理得史上=亘且，故里-上，=史坦乂(一上，=一1,两直线垂直

aba<sin5Jb(sm5J

考点：直线与直线的位置关系

11.C

【解析】

对任意的XW(O,+R)总有/(x)Wg(x)恒成立，因为lnx〈(2/w+3)x+〃，对XG(0,+OO)恒成立，可得2根+3>0,

令y=lnx—(2m+3)x-〃，可得_/='—(2m+3),结合已知，即可求得答案.

x

【详解】

对任意的xe(O,+。。)总有f(x)<g(x)恒成立

Inx<(2m+3)x+n,对％£(0,+oo)恒成立,

-**2m+3>0

令y=Inx—(27n+3)x—H,

可得y=l-(2/H+3)

X

令y'=。，得工=---

2m+3

1

当x>y<o

2/77+3

1

当0<x<y>o

2/72+3

1

x=--------In——-----1-H<0,2m+3>e~'~n

2m+32m+3

故(2m+3)〃>—=/(m,n)

e

•••

令工^=0，得n=\

e

，当〃>1时，f'(m,n)<Q

当〃<1,7'（，〃,〃）>0

二当〃=1时，/（加,〃）,皿=4

e

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考

查了分析能力和计算能力，属于难题.

12.C

【解析】

将圆f+V-4x+2y+l=0,化为标准方程为，求得圆心为（2,-1）.根据圆/+y?-4x+2y+1=0关于双曲线

0：4—£=1（。>0/>0）的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，?=；.再根据e=5=j+（3）求解.

【详解】

已知圆f+_/-4x+2y+l=0,

所以其标准方程为：（x—2『+（y+l）2=4,

所以圆心为（2,-11

因为双曲线0：+-2r=l（a＞0力＞0）,

ab“

所以其渐近线方程为y=±2x,

a

22

又因为圆丁+丁-4"2尸1=0关于双曲线0：=一方=1（4〉0力＞0）的一条渐近线对称，

则圆心在渐近线上,

【点睛】

本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13,2

3

【解析】

由|£+川=|£|得cos&,B〉=-；,即得解.

【详解】

由题意可知121=1由=1,贝U|：+&2=2+O=I.

—1--1

解得。力=一一，所以cos〈a,b〉=一一，

22

向量£与B的夹角为2胃7r.

故答案为：---

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积的计算和夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

1

14.-

3

【解析】

2z2z

作出可行域，由z=2x-3y得y=平移直线y=数形结合可求工的最大值.

【详解】

作出可行域如图所示

由z=2x-3y得,y=-x-j,则J是直线在>'轴上的截距.

9z

平移直线y=当直线经过可行域内的点“时，最小，此时二最大.

[2x+y=—\'-3（1

解方程组｛,,得｛,：.M\.

x-y=0_1I33）

故答案为：—.

3

【点睛】

本题考查简单的线性规划，属于基础题.

15.-

8

【解析】

分跑出优秀的人为：甲、乙和甲、丙和乙、丙三种情况分别计算再求和即可.

【详解】

刚好有2人跑出优秀有三种情况：其一是只有甲、乙两人跑出优秀的概率为|小其二是只有甲、丙

2

两人跑出优秀的概率为其三是只有乙、丙两人跑出优秀的概率为1-|三种情

2J412

况相加得.即刚好有2人跑出优秀的概率为I.

4122488

故答案为：：

O

【点睛】

本题主要考查了分类方法求解事件概率的问题,属于基础题.

16.-1

【解析】

以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，再设尸(％V)，根据PA=3,PC=421求出P的坐标，进而求得PBPD

即可.

【详解】

解：连接AC,80,设AC,8。交于点。，以点。为原点,

分别以直线OC,OD为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,

贝！|：A(—26,0),C(26,0),5(0,-2),0(0,2),

设P(x,y)

PA=3,PC=V21,

1+2G『+y2=9

1-2可+y2=21

①-②得,8百x=—12,

A/3

解得X=V

显然得出的丽・丽是定值,

V33、

，取P-

、

则所0，-_Z

T27

_3_

:.PBPD

44

故答案为：一1.

【点睛】

本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.(1)-(2)详见解析

【解析】

(1)要积分超过200分，则需两人共击中4次，或者击中3次，由此利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概

率.

(2)求得J的所有可能取值，根据相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.

【详解】

(1)由题意，当家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，所以要想领取一台全自动洗衣

机，则需要这个家庭夫妻俩在两轮游戏中至少击中三次鼓.设事件A,为“张明第i次击中“，事件修为“王慧第i次击中”,

i=l,2,由事件的独立性和互斥性可得P(张明和王慧家庭至少击中三次鼓)

3322门3223312、2

=XXX+2XXXX+XXX，所以张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概

74473^3^147473^3^474373OJT3=W

2

率是丁

(2)4的所有可能的取值为一200,-50,100,250,400.

111

P(^=-200)=-x-x3-3-一

处

111231115

P(^=-50)=2x—X—X—X--1--X—X—X—

4433443372

131233111122_37

PC=100)=4x—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X

443344334433-144

5

(4433443312

P(^=400)=^3-x3^x2-x2-36

1444

二自的分布列为

-200-50100250400

15375

P

14472144n4

153751

/.E(^)=-200x—+(-50)x—+100x—+250x—+400x-=225(分)

【点睛】

本小题考查概率，分布列，数学期望等概率与统计的基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数据处理，应用

意识.

18.(1)30°;(2)近.

【解析】

(1)直接根据特殊角的三角函数值求出C,结合正弦定理求出A；

(2)结合第一问的结论以及余弦定理即可求解.

【详解】

IcCI

解：(1)VcosC=一一，且OvCv",・・・C=120。，由正弦定理——=--

2sinAsinA

22也...1

-------=------------,..sinA=一,

sinAsin12002

VC=120°

•'.A锐角，AA=30°

(2)TA=30°,C=120°

:.3=30°

••b=a=1

...在△AMC中，由余弦定理得AM?=AC2+CN2_2AC.CA/.COSC

=7

:.AM=不

【点睛】

本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.考查了学生对三角函数基础知识的综合运用.

19.(1)(a+l)x-y+l=0(2)答案见解析(3)答案见解析

【解析】

(D设曲线y=/(x)在点M(0,7(0))处的切线的斜率为3可求得&=/'(0)=。+1,/(0)=1,利用直线的点斜式

方程即可求得答案；

(2)由(I)知，r(x)=e'(or+a+l),分a=0时，。＞0,。＜0三类讨论，即可求得各种情况下的f(x)的单调区

间为；

(3)分a=0与。两类讨论，即可判断函数f(x)的零点个数.

【详解】

(1)Qf(x)=e'(ar+1),

(x)=ex(ax+1)4-aex=ex(ax+a+1),

设曲线y=/(x)在点M(0,f(0))处的切线的斜率为左，

则％=/'(0)=ex(ax+1)+ae*=e°(a+1)=a+1,

又/(0)=1,

，曲线)，=/(%)在点M(0,f(0))处的切线方程为:y—l=(a+l)x,即由+l)x-y+l=O；

(2)由(1)知，r(x)=e*3+a+l),

故当。=0时，r(x)=，>0,所以/(X)在R上单调递增；

当。>0时，xG(―<x>,-----),1(x)vO;XG(--------,+8),/r(x)>0•

aa

・•・/(X)的递减区间为(9，-竺与，递增区间为(-3，+8);

aa

当a<0时，同理可得〃x)的递增区间为(7,-空3,递减区间为(-@里，+8)；

aa

综上所述，4=0时，/(X)单调递增为(-8,+8),无递减区间；

当。>()时，“X)的递减区间为(TO,-丝3,递增区间为(-5,+8);

aa

当“<0时，f(x)的递增区间为(TO,-但)，递减区间为(-3，+8)：

aa

(3)当。=0时，/(x)=">0恒成立，所以/(%)无零点；

当OHO时，由/(x)=e*(ax+l)=O,得：X=----,只有一个零点.

a

【点睛】

本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与推理、运算能力，

属于中档题.

20.(1)(0,2](2)证明见解析

【解析】

⑴据题意可得尸(x)=/(x)—g(x)=x—：Tlnx<0在区间(0,1)上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求

e”r2—1r2—1

出满足不等式的f的取值范围；(2)不等式整理为一-——<由⑴可知当f=2时，匚」>2,利用导数判

xeA-x+1xlnxxlnx

xX

断函数一-——的单调性从而证明--——<2在区间(0,1)上成立，从而证明对任意xe(0,1),都有H(x)>0.

xe“一x+1xex-x+1'/

【详解】

(1)解：因为函数“X)的图象恒在g(x)的图象的下方，

所以〃x)—g(x)=x-，Tlnx<0在区间(0,1)上恒成立.

设/(x,ux-L—flnx,其中xe(O,l),

所以F'(x)=l+-V—，=《二2,其中△=/—4,t>0.

XXX

①当尸—4,,0,即0</,,2时，9(x)..O,

所以函数尸(x)在(0,1)上单调递增，F(x)<F(l)=0,

故"x)-g(x)<0成立，满足题意.

②当产一4〉0，即，>2时，设e(x)=f—tr+l(O<x<l),

则e(x)图象的对称轴X=(>1,。(())=1,6(1)=2T<0,

所以e(x)在(0,1)上存在唯一实根，设为M，贝6>(x)<0,F,(x)<0,

所以尸(x)在(玉,1)上单调递减，此时-x)>b(l)=(),不合题意.

综上可得，实数/的取值范围是(0,2].

qC(1吐-

(2)证明：由题意得"(x)=e1nx—(V——1+

X)X

因为当x£(。,1)时，xeA—x4-l>0>Inx<0>

丁一(/-l)(xex-x+l)e'x2-1

所以“(x)>00e*Inx〉^----------------)-0,:-----<-----.

xxe-x+1xlnx

令=e'—X—1(()<尤<1),则/z'(x)=e"—1>(),

所以M%)在(0,1)上单调递增,//(x)>/i(0)=0,即e”>x+l,

er

所以xe"-x+l>x(x+l)-1+1=犬+1,从而...-——<———・

xex-x+1x2+1

1