2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案7.1《空间几何体及其表面积、体积》 (原卷版)

PAGEPAGE1第七章立体几何第一节空间几何体第1课时系统知识牢基础——空间几何体知识点一空间几何体的结构特征1．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点，但不一定相等侧面形状平行四边形三角形梯形2．特殊的棱柱和棱锥(1)侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．[提醒](1)棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱．(2)棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台．(3)注意棱台的所有侧棱相交于一点．3．旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形旋转图形矩形直角三角形直角梯形半圆形旋转轴任一边所在的直线任一直角边所在的直线垂直于底边的腰所在的直线直径所在的直线母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环[重温经典]1．(教材改编题)下列命题中正确的是()A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥B．棱锥的高线可能在几何体之外C．仅有一组相对的面平行的六面体一定是棱台D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥2．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．33.如图，长方体ABCD­A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是()A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．简单组合体4．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E，F，G(不与顶点重合)，过此三点作长方体的截面，那么这个截面的形状是()A．锐角三角形B．矩形C．平行四边形D．正方形5.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A．①②B．①③C．①④D．①⑤6．在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填序号)知识点二直观图1．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．2．直观图与原图形面积的关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：(1)S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形．(2)S原图形＝2eq\r(2)S直观图．[重温经典]1．一个几何体有6个顶点，则这个几何体不可能是()A．三棱柱B．三棱台C．五棱锥D．四面体2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2eq\r(2)cm2，则原平面图形的面积为()A．4cm2B．4eq\r(2)cm2C．8cm2D．8eq\r(2)cm23．以钝角三角形的较小边所在直线为轴，其他两边旋转一周形成的面所围成的几何体是()A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥4．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正三角形，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形解析：选C由直观图还原平面图形，易知△ABC为钝角三角形．5.一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC的面积为________．知识点三空间几何体的表面积与体积1．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)S底h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR32．几何体的表面积和侧面积的注意点(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．3．柱体、锥体、台体侧面积间的关系(1)当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥，则S正棱柱侧＝ch′eq\o(←,\s\up7(c′＝c))S正棱台侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′eq\o(→,\s\up7(c′＝0))S正棱锥侧＝eq\f(1,2)ch′.(2)当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，则S圆柱侧＝2πrleq\o(←,\s\up7(r′＝r))S圆台侧＝π(r＋r′)leq\o(→,\s\up7(r′＝0))S圆锥侧＝πrl.4．柱体、锥体、台体体积间的关系如图所示[重温经典]1．已知圆柱O′O的底面半径为r，母线长是底面直径的2倍，则圆柱O′O的表面积是()A．4πr2B．10πr2C．8πr2D．6πr22．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为eq\r(2)，则此球的体积为()A．4eq\r(3)πB．6eq\r(3)πC.eq\r(6)πD．4eq\r(6)π3.如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为()A.eq\f(\r(3),12)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12)D.eq\f(\r(6),4)4．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________．5．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．第2课时精研题型明考向——空间几何体及其表面积、体积一、真题集中研究——明考情1．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.eq\f(\r(5)－1,4)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,4)D.eq\f(\r(5)＋1,2)2．已知△ABC是面积为eq\f(9\r(3),4)的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为()A.eq\r(3)B.eq\f(3,2)C．1D.eq\f(\r(3),2)3．已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．4．已知直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，eq\r(5)为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．5．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3.6．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．[把脉考情]常规角度1.几何体体积和表面积的计算：主要考查棱柱、棱锥或不规则几何体的体积与表面积的计算．2.球的切、接问题：主要考查几何体与球的组合体的识辨，球的体积、表面积的计算创新角度几何体的体积与表面积的计算与空间线面位置关系、数学文化、实际生产生活的应用交汇命题二、题型精细研究——提素养题型一空间几何体的结构特征[典例](1)(多选)下列命题中，正确的是()A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱D．存在每个面都是直角三角形的四面体(2)已知圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，有以下结论：①l∶r＝4∶3；②圆锥的侧面积与底面积之比为4∶3；③圆锥的轴截面是锐角三角形．其中正确的结论为()A．①②B．②③C．①③D．①②③[方法技巧]辨别空间几何体的2种方法定义法紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定反例法通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可[针对训练]1．已知圆台上、下两底面与侧面都与球O相切，圆台的侧面积为16π，则该圆台上、下两底面圆的周长之和为()A．4πB．6πC．8πD．10π2.如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1(底面是正三角形的直三棱柱)的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.题型二空间几何体的表面积与体积考法(一)空间几何体的表面积[例1](1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．12eq\r(2)πB．12πC．8eq\r(2)πD．10π(2)如图，已知正三棱锥S­ABC的高为3，底面正三角形的高为3，则该正三棱锥的表面积为()A．3eq\r(30)＋3eq\r(3)B．3eq\r(30)＋9C．12eq\r(3)D.eq\f(9,2)eq\r(10)＋eq\f(9,2)[方法技巧]求空间几何体表面积的常见类型及思路求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积提醒在求解组合题的表面积时，注意几何体表面的构成，尤其是重合部分，面积不要多加或少加考法(二)空间几何体的体积[例2](1)棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1­D1MN的体积为________．(2)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都是a，点P，Q分别为棱CC1，BC的中点，四面体A1B1PQ的体积为eq\f(\r(3),2)，则a的值为________．[方法技巧]1．处理体积问题的思路2．求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换[针对训练]1.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm，高8cm(不含杯脚)，已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变，如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠()A．98颗B．106颗C．120颗D．126颗2.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示)，下底面是边长为2的正方形，上棱EF＝eq\f(3,2)，EF∥平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，则该刍甍的体积为()A．6B.eq\f(11,3)C.eq\f(31,4)D．123.如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，则圆柱的侧面积是()A.eq\f(\r(2),3)πB.eq\f(3\r(2),4)πC.eq\f(2\r(2),3)πD.eq\f(\r(2),2)π题型三与球有关的切接问题考法(一)与球有关的内切问题[例1](1)若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．(2)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则eq\f(S1,S2)＝________.[方法技巧]处理与球有关内切问题的策略解答此类问题时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．考法(二)与球有关的外接问题[例2](1)已知正三棱锥S­ABC的侧棱长为4eq\r(3)，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是()A．16πB．20πC．32πD．64π(2)已知三棱锥P­ABC每对异面的棱的长度都相等，且△ABC的边长分别为eq\r(11)，3,4，则三棱锥P­ABC外接球的体积为________．[方法技巧]1．求解几何体外接球的半径的思路一是根据球的截面的性质，如本例(1)，利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系R2＝r2＋d2求解，其中，确定球心的位置是关键；二是将几何体补成长方体，如本例(2)，利用该几何体与长方体共有外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解．2．解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：[针对训练]1．将半径为3，圆心角为eq\f(2π,3)的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则该圆锥的内切球的体积为()A.eq\f(\r(2)π,3)B.eq\f(\r(3)π,3)C.eq\f(4π,3)D．2π2.如图，在三棱锥A­BCD中，AD⊥BD，AC⊥BC，∠DAB＝eq\f(π,6)，∠BAC＝eq\f(π,4).三棱锥的外接球的表面积为16π，则该三棱锥的体积的最大值为()A.eq\f(7,3)B.eq\f(4\r(3),3)C.eq\f(8,3)D.eq\f(14,3)3．已知三棱锥S­ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB＝2，SA＝SB＝SC＝2，则三棱锥S­ABC的外接球的球心到平面ABC的距离是()A.eq\f(\r(3),3)B．1C.eq\r(3)D.eq\f(3\r(3),2)eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、综合练——练思维敏锐度1．正三棱锥底面边长为a，高为eq\f(\r(6),6)a，则此正三棱锥的侧面积为()A.eq\f(3,4)a2B.eq\f(3,2)a2C.eq\f(3\r(3),4)a2D.eq\f(3\r(3),2)a22.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为()A．(15＋eq\r(2))πB．2(15＋eq\r(2))πC．4(15＋eq\r(2))πD．(15＋4eq\r(2))π3．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4，若“牟合方盖”的体积为18，则正方体的棱长为()A．18B．6C．3D．24．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示，已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为eq\f(14,3)πR2，设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则eq\f(V2,V1)＝()A．2B.eq\f(3,2)C.eq\f(1,2)D．15.(多选)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的底面是正方形，AA1＝2AB，E是DD1的中点，则()A．△B1EC为直角三角形B．CE∥A1BC．三棱锥C1­B1CE的体积是长方体体积的eq\f(1,6)D．三棱锥C1­B1CD1的外接球的表面积是正方形ABCD面积的6π倍6．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为()A．64πB．48πC．36πD．32π7．(多选)已知四棱台ABCD­A1B1C1D1的上下底面均为正方形，其中AB＝2eq\r(2)，A1B1＝eq\r(2)，AA1＝BB1＝CC1＝2，则下述正确的是()A．该四棱台的高为eq\r(3)B．AA1⊥CC1C．该四梭台的表面积为26D．该四梭台外接球的表面积为16π8．已知在棱长为6的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．9．已知三棱锥D­ABC的所有顶点都在球O的表面上，AD⊥平面ABC，AC＝eq\r(3)，BC＝1，cos∠ACB＝eq\r(3)sin∠ACB，AD＝2，则球O的表面积为________．10．已知一个圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面面积为________．11．已知三棱锥S­ABC外接球O的体积为288π，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，cos∠CBA＝eq\f(3,5)，则三棱锥S­ABC体积的最大值为________．12.如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．13.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：(1)该几何体的体积．(2)截面ABC的面积．二、自选练——练高考区分度1．如图，已知四面体ABCD为正四面体，AB＝1，E，F分别是AD，BC的中点．若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面