2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案4.7《正弦定理和余弦定理及应用》 (原卷版)

页第七节正弦定理和余弦定理第1课时系统知识牢基础——正弦定理、余弦定理及应用举例知识点一正弦定理、余弦定理1．正、余弦定理及变形定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形形式a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝eq\f(a,2R)；sinB＝eq\f(b,2R)；sinC＝eq\f(c,2R)；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA；eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2RcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)[提醒]若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．2．谨记常用结论(1)在三角形ABC中，A＋B＋C＝π，则①sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C)．②sineq\f(A,2)＝coseq\f(B＋C,2)，coseq\f(A,2)＝sineq\f(B＋C,2).③sinA＝sinB⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).④A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cos B．(2)三角形的面积S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.[重温经典]1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(π,4)，a＝1，则b＝()A．2B．1C.eq\r(3)D．eq\r(2)2．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若2asinB＝eq\r(3)b，则角A等于()A.eq\f(π,3)B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,6)D．eq\f(π,12)3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＝eq\f(π,6)，c＝2eq\r(3)，b＝2，则C＝()A.eq\f(π,3)B．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)C.eq\f(π,4)D．eq\f(π,4)或eq\f(5π,4)4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形5．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2sinB＝sinA＋sinC，cosB＝eq\f(3,5)，且S△ABC＝6，则b＝________.6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c，△ABC的面积为5eq\r(3)，则c＝________.知识点二解三角形应用举例测量中几个术语的意义及图形表示名称意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线eq\a\vs4\al(上)方的叫做仰角，目标视线在水平视线eq\a\vs4\al(下)方的叫做俯角方位角从某点的指eq\a\vs4\al(北)方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的eq\a\vs4\al(锐)角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：[提醒](1)方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述．(2)将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况．[重温经典]1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.2．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10nmile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝________nmile.3．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3km，则B到C的距离为________km.4.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10m，则旗杆的高是________m.第2课时精研题型明考向——解三角形及应用举例一、真题集中研究——明考情1．在△ABC中，cosC＝eq\f(2,3)，AC＝4，BC＝3，则cosB＝()A.eq\f(1,9)B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)2．如图，在三棱锥P­ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝eq\r(3)，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________.3．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝eq\f(3,5)，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2.4．在①ac＝eq\r(3)，②csinA＝3，③c＝eq\r(3)b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＝eq\r(3)sinB，C＝eq\f(π,6)，________？5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.(1)若a＝eq\r(3)c，b＝2eq\r(7)，求△ABC的面积；(2)若sinA＋eq\r(3)sinC＝eq\f(\r(2),2)，求C.6．△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asineq\f(A＋C,2)＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．[把脉考情]常规角度1.三角形基本量的求解：主要考查利用正弦或余弦定理解三角形求边或角．2.三角形面积问题：主要考查求三角形的面积或由三角形的面积求边或角创新角度1.与平面几何相结合，求边角问题．2.多个条件的选择问题．3.结合“劳动教育”考查二、题型精细研究——提素养题型一三角形基本量的求解问题[典例]在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sinC和△ABC的面积．条件①：c＝7，cosA＝－eq\f(1,7)；条件②：cosA＝eq\f(1,8)，cosB＝eq\f(9,16).[方法技巧]用正、余弦定理求解三角形基本量的方法[针对训练]1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinC＝sin2B，且b＝2，c＝eq\r(3)，则a等于()A.eq\f(1,2)B．eq\r(3)C．2D．2eq\r(3)2．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝()A.eq\f(π,3)B．eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4)D．eq\f(5π,6)3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcosA＝eq\r(3)asinB．(1)求角A的大小；(2)若a＝2eq\r(2)，B＝eq\f(π,4)，求b，c的长．题型二三角形形状的判断[典例](1)在△ABC中，coseq\f(A,2)＝eq\r(\f(1＋cosB,2))，则△ABC一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．无法确定(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定[方法技巧]判定三角形形状的2种常用途径角化边利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断边化角通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断[针对训练]1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asinA＋bsinB＜csinC，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．正三角形2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋A))＋cosA＝eq\f(5,4).(1)求A；(2)若b－c＝eq\f(\r(3),3)a，证明：△ABC是直角三角形．题型三三角形面积问题[典例]在条件：①(a＋b)·(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，②asinB＝bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))，③bsineq\f(B＋C,2)＝asinB中任选一个，补充到下面的问题中，并给出解答．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＋c＝6，a＝2eq\r(6)，________，求△ABC的面积．[方法技巧]求解与三角形面积有关的问题的步骤[针对训练]1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(2\r(3),3)，A＝eq\f(π,3)，b＝1，则△ABC的面积为()A.eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(3),4)C.eq\f(1,2)D．eq\f(1,4)2．在①eq\f(b,a)＝eq\f(cosB＋1,\r(3)sinA)；②2bsinA＝atanB；③(a－c)sinA＋csin(A＋B)＝bsinB这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若________．(1)求角B；(2)若a＋c＝4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积．题型四正、余弦定理在平面几何中的应用[典例]在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1.(1)若AB＝eq\f(3,2)，求BC；(2)若AB＝2BC，求cos∠BDC.[方法技巧]平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．[提醒]做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．[针对训练]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，c＝eq\r(2)，B＝45°.(1)求sinC的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－eq\f(4,5)，求tan∠DAC的值．题型五解三角形应用举例[典例]济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2m，到达B点，又测得泉标顶端的仰角为80°.则李明同学求出泉标的高度为________m．(精确到1m)[方法技巧]解三角形的实际应用问题的类型及解题策略1．求距离、高度问题(1)选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．2．求角度问题(1)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用．[针对训练]1.如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)()(参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732，eq\r(5)≈2.236，eq\r(7)≈2.646)A．39米B．43米C．49米D．53米2.如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为________．eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、综合练——练思维敏锐度1．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，则eq\f(a,b)等于()A.eq\f(3,2)B．eq\f(4,3)C.eq\r(2)D．eq\r(3)2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝eq\r(3)b，A－B＝eq\f(π,2)，则角C＝()A.eq\f(π,12)B．eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D．eq\f(π,3)3．在△ABC中，如果cos(2B＋C)＋cosC>0，那么△ABC的形状为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形4．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，若sinA＝eq\f(2\r(2),3)，sinB>sinC，a＝3，S△ABC＝2eq\r(2)，则b的值为()A．2或3B．2C．3D．65．在△ABC中，cosB＝eq\f(1,4)，b＝2，sinC＝2sinA，则△ABC的面积等于()A.eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(15),4)6.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中有广泛的应用，《易经》的博大精深对今天的几何学和其他学科仍有深刻的影响．如图就是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边形的边长为8m，代表阴阳太极图的圆的半径为2m，则每块八卦田的面积约为()A．42m2B．37m2C．32m2D．84m27.已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD，BD＝eq\f(\r(6),2)AD，BC＝2AD，则sinC的值为()A.eq\f(\r(15),8)B．eq\f(\r(15),4)C.eq\f(1,8)D．eq\f(1,4)8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinC＋2sinCcosB＝sinA，C∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，a＝eq\r(6)，cosB＝eq\f(1,3)，则b＝________.9．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosB＝eq\f(1,3)，b＝4，S△ABC＝4eq\r(2)，则△ABC的周长为________．10．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段