数理方程练习题

数理方程练习题第二章定解问题与偏微分方程理论习题2.11.密度为ρ均匀柔软的细弦线x=0端固定，垂直悬挂，在重力作用下，于横向拉它一下，使之作微小的横振动。试导出振动方程。2.长为L，均匀细杆，x=0端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b静止后（在弹性限度内）突然放手，细杆作自由振动。试写出振动方程的定解条件。3.长为L、密度为ρ的底半径为R的均匀圆锥杆（轴线水平）作纵振动，锥的顶点固定在x=0处。导出此杆的振动方程。4.一根长为L、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L端，使之获得冲量I。试写出定解问题。习题2.21.一半径为r，密度为ρ，比热为c，热传导系数为k的匀质圆杆，如同截面上的温度相同，其侧面与温度为u1的介质发生热交换，且热交换的系数为k1。试导出杆上温度u满足的方程。4.设有一根具有绝热的侧表面的均匀细杆，它的初始温度为)(x?，两端满足下列边界条件之一：（1）一端（x=0）绝热，另一端（x=L）保持常温u0；（2）两端分别有热流密度q1和q2进入；（3）一端（x=0）温度为u1(t)，另一端（x=L）与温度为)(tθ的介质有热交换。试分别写出上述三种热传导过程的定解问题。习题2.41.判断下列方程的类型：（1）04=+++++ucubuauauauyxyyxyxx；（2）02=+++++ucubuauauauyxyyxyxx；（3）02222=+++++uaubuauauauyxyyxyxx；（4）0=+yyxxxuu。2.求下列方程的通解（1）0910=++yyxyxxuuu；（3）0384=++yyxyxxuuu。第三章分离变量法习题3.12.求解下列定解问题（1）???????-====><<=====)(,00)0,0(,0002xLxuuuutLxuautttLxxxxtt3.求下列边值问题的固有值和固有函数：（1）???===+''==0,000LxxXXXXλ（3）???0,0012===+'+''==exxyyyyxyxλ习题3.21.求定解问题：-===><<====)(0,0)0,0(,002xLxuuutLxuautLxxxxt习题3.52.求解定解问题：===><<=+-===-00020,0)0,0(,0TuuutLxAeuautLxxxtxxα0T是常数。3.求解定解问题：2000cossin,(0,0)0,00,0ttxxxxxxLtttxuauAtxLtLuuuuπω====?=+<<>??==??==??习题3.62.求解定解问题：?????====><<+=====)(),(,)0,0(),(002102xuxuMuMutLxxfuautttLxxxxttψ?其中，1M和2M为常数。5.求解定解问题：====+=0),0(,),0()(,),(,0)0,()(,xuExxuEELtutugguutxxxtt为常数为常数第四章行波法习题4.11.求下列波动方程柯西问题的解：(1)?????=====2002,sinxuxuuautttxxtt(2)?????=====xuuuautttxxtt002,56.求下列强迫振动的柯西问题的解（1）?????==+===2002,5)exp(xuuxuautttxxtt；（2）?????==+===0,sin)exp(002tttxxttuxutxuau习题4.21.求解半无界弦定解问题：2000,0,0sin,cos0ttxxtttxuauxtuxuxu===?=<<+∞>?==??=?5.求解下列定解问题：==>+∞<<-∞=-++==)(),()0,(,020022xuxutxuauuutttxxtttψ?εε[提示：作代换tweuε=。]第五章积分变换习题5.11．若)()]([ωfxgF=，求证：)(2)]([ωπ-=gxfF。3．求函数的付里叶变换（1）|)|exp()(xxf-=；（2）)exp()(2xxfπ-=；（3）2cos)(xxfω=第六章格林函数法1．求区域上的格林函数（1）求上半圆域的格林函数；（2）求上半球域的格林函数。2．求解圆域上的Dirichlet问题=≤==)(),(1,01θ?θrruru?（1）θθ?cos)(a=；（2）θθ?cos)(ab+=。第七章1．设有静电场的圆柱域的上下底（半径为a）接地，侧面电位为u0。求域内电位分布。即问题的定解问题为：===<<<=++===000)0,(