专题13 相似三角形应用举例-原卷版

专题13相似三角形的应用举例★知识点1：利用影长测量物体的高度典例分析【例1】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米．

(1)图中与是否相似？为什么？(2)求信号发射塔的高度．【例2】（2022秋·福建宁德·九年级统考期中）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为m．

(1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子；(2)若小明测得此刻旗杆落在地面的影长m，请求出旗杆的高度．【即学即练】1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着方向移动米至的位置（），此时测得其影长为米，求灯杆的高度．

2．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部，颖颖的头顶及亮亮的眼睛恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D．然后测出两人之间的距离，颖颖与楼之间的距离（C，D，N在一条直线上），颖颖的身高，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离．求住宅楼的高度是多少米．

★知识点2：利用相似测量河流、池塘等物体的宽度，典例分析【例1】（2023春·云南昭通·八年级统考期末）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表：课题测量河流宽度工具测量角度的仪器，标杆，皮尺等小组第一小组第二小组第三小组测量方案观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上．观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得．观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上．测量示意图

(1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度．(2)第二小组测得米，则______．(3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．【例2】（2022秋·福建三明·九年级统考期末）下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度．题目测量河流宽度目标示意图测量数据，，即学即练1.（2023春·全国·九年级专题练习）如图，为了估算池塘的宽度，在池塘边不远处选定一个目标点C，在近河边分别选N，M．使得B，N，C三点共线，A，M，C三点共线且．经测量，求池塘的宽度．2．（2021秋·河南平顶山·九年级统考期中）阅读下面材料，完成学习任务：数学活动：测量树的高度在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB，测量和计算的部分步骤如下：①如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时．测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛E到地面的距离米；②将平面镜从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离米；③计算树的高度AB：设米，米．∵，∴∴……任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．★知识点3：利用标杆或直尺测量物体的高度典例分析【例1】（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1），如图2，在地面上取，两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察A点，A，，三点成一线；从标杆后退到处，从处观察A点，A，，三点也成一线，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．

【例2】（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）为测量一建筑物的高度，如图，小明站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到建筑物的顶端的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为米；然后，小刚在处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和建筑物顶端在一条直线上，此时测得为6米，为4米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算建筑物的高度（平面镜大小忽略不计）．

即学即练1．（2023·陕西宝鸡·统考三模）某校九年级一班的兴趣小组准备测量学校外一栋建筑物的高度，出于安全考虑，他们不得离开校园，于是便利用所学知识制定了如下的测量方案：如图所示，首先，王磊站在点，并在正前方米的点放置一平面镜，通过平面镜王磊刚好可以看到建筑物的顶端点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为米；然后，刘慧在建筑物的影子顶端点竖立了一根高米的标杆，此时测得标杆的影子长为米，而王磊与刘慧之间的距离为米，已知，，，点，，，，在一条直线上，请根据以上数据，计算目标建筑物的高度平面镜大小忽略不计．2．（2023·陕西渭南·统考二模）数学是一门与生活联系比较紧密的学科，它源于生活、启于生活，又应用于生活，为了让学生感受到数学与实际生活的紧密联系，从而激发学生学习数学的兴趣，进而帮助学生理解数学、掌握数学，应用数学，某校组织了一次课外实践活动，活动主题是测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用a、b、c…表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含a、b、c…的式子表示）．

★知识点4利用镜子的反射测量物体的高度典例分析【例1】（2023春·山东威海·八年级校联考期末）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上．求灯泡到地面的高度．

【例2】（2023·陕西西安·校考一模）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧：入射角等于反射角，这就是光的反射定律．【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上，求灯泡到地面的高度．即学即练1．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．(1)求的长．(2)求灯泡到地面的高度．2．（2023春·全国·九年级专题练习）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律．【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上．(1)求的长；(2)求灯泡到地面的高度．★知识点5测量零件内部尺寸典例分析【例1】（2022秋·浙江·九年级专题练习）一块材料的形状是等腰△ABC，底边BC=120cm，高AD=120cm．(1)若把这块材料加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上（如图1），则这个正方形的边长为多少？(2)若把这块材料加工成正方体零件（如图2，阴影部分为正方体展开图），则正方体的表面积为多少？【例2】（2021春·九年级课时练习）如图，已知零件的外径为a，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）测量零件的内孔直径AB．如果，且量得，求AB以及零件厚度x．即学即练1．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形PQMN的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上．（1）当矩形的边PN=PQ时，求此时矩形零件PQMN的面积；（2）求这个矩形零件PQMN面积S的最大值．2．（2023·陕西西安·校考一模）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝12cm，高AD＝8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，且矩形的长与宽的比为3∶2，求这个矩形零件的边长．★知识点6测量地面的两个物体间的距离典例分析【例1】（2021秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，A、B、C分别表示甲、乙、丙三个物体的顶端，甲物体高3米，影长2米，乙物体高2米，影长3米，甲乙两物体相距4米．（1）请在图中画出光源灯的位置及灯杆，并画出物体丙的影子．（2）若甲、乙、丙及灯杆都与地面垂直，且在同一直线上，求灯杆的高度．【例2】．（2023·浙江衢州·校考一模）（1）如图1，若D、E分别是△ABC的边、上的中点，我们把这样的线段称为是三角形的中位线．你知道中位线与之间有什么关系吗？请同学们大胆地猜想一下，并证明你的结论．（2）如示意图2，小华家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块长且平行于公路的巨型广告牌（）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路计为．一辆以匀速行驶的汽车经过公路段的时间是，已知广告牌和公路的距离是，求小华家到公路的距离（精确到）．

即学即练1．（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第四十三中学校考期中）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，如图，他们在旗杆底部所在的平地上放置一个平面镜E来测量学校旗杆的高度，镜子中心E与旗杆的距离米，当镜子中心E与测量者的距离米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆顶部的端点A．已知测量者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米．(1)在计算过程中C、D之间的距离应是______米；(2)根据以上测量结果，求出学校旗杆的高度．2.（2021秋·浙江温州·九年级校考期中）铁路道口的栏杆如图，其A，B两端到旋转支点C的距离分别为AC＝1.2m，BC＝15m．栏杆在水平状态下到地面的距离CD为1.3m，栏杆绕点C转动，当A端下降至离地距离AE为0.9m时，求此时B端到地面的距离（BF）为多少米？★知识点7利用相似三角形解决小孔成像问题典例分析【例1】（2023春·山东潍坊·八年级统考期末）如图是小孔成像的示意图，已知物距为，像距为，则当火焰高度为时，火焰的像的高度是．

【例2】（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2：与交于点O，，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是．

即学即练1．（2023·宁夏银川·校考一模）我们都听说过“小孔成像”，下图是爱动手操作的小迪做的小实验。小迪测量蜡烛到带孔的挡板的距离是，屏幕到挡板的距离是，屏幕上火焰的高是，则火焰的实际高度为．2．（2022秋·安徽宣城·九年级统考期末）如图是小孔成像原理的示意图，，，．若物体的高度为，则像的高度是．1．（2023秋·湖南娄底·九年级统考期末）如图，已知河宽，在河的两岸各取一点，，与相交于点，于点，于点，测得，，求的长．2．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学计算桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点，分别在、的延长线上取点、，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为60米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度．3．（2023春·河南南阳·九年级淅川县第一初级中学校联考期中）“参天三柏倚高峰，武帝曾经驻六龙”讲的是嵩阳书院内的三棵古柏现存两棵，分别名为“大将军柏”和“二将军柏”，林学专家测定，古柏的树龄不低于年，是我国现存最古老和最大的柏树某中学数学课题学习小组欲测量“二将军柏”的高度，他们利用太阳光照射下的影长进行测量小西先在大树影子端点处竖立了一根长为米的木棒，并测得木棒的影长米，然后小乐在的延长线上找到点，使得点，，在同一直线上，并测得米，已知图中所有点均在同一平面内，且，，根据以上测量过程及测量数据，请你帮助该课题学习小组求出“二将军柏”的高度结果精确到米．4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，楼的层数为5层，在楼顶A处观望另一幢楼的底部D，视线正好经过小树的顶端E，又从楼的底部B处观望楼的顶部C，视线也正好经过小树的顶端E，楼的层数为9层．已知这两幢楼每层楼的高度均为3米，B、F、D位于同一水平直线上，且均与垂直．求小树的高度．（结果保留整数）

5．（2021秋·安徽安庆·九年级安庆市石化第一中学校考期中）如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6m有一棵树，在河的对岸每隔60m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．6．（2021秋·九年级课时练习）如图，为