热点06 方程组与不等式的7种题型（解析版）

热点06方程组与不等式的7种题型方程组与不等式：掌握解二元一次方程组的两种方法——代入消元法和加减消元法，掌握解一元一次不等式（组）的一般步骤；期末试卷中通常会考察3道小题和1道大题，大多数情况下，解答题第4题为解方程组与解不等式（组）的拼接题；（1）解二元一次方程组时，部分题可能会涉及整体思想，可以适当化简运算；（2）解三元一次方程期末考得较少，但也必须自行复习，以防万一；（3）对于不等式的性质，要注意两点：一是在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向，二是当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母进行分类讨论，分三种情况——字母大于0、等于0、小于0；（4）解一元一次不等式时，在系数化为1这个步骤，一定要仔细确认不等号的方向是否要改变，若涉及解集的数轴表示，则需要注意区分实心点与空心圈。【题型1二元一次方程的定义与解】1．（2022·连云港·期末）下列各方程中是二元一次方程的是A． B． C． D．【详解】解：、本方程符合二元一次方程的定义，故本选项正确；、本方程是三元二次方程，故本选项错误；、本方程是二元二次方程，故本选项错误；、本方程不是整式方程，是分式方程．故本选项错误．故本题选：．2．（2022·淮安·期末）如果是二元一次方程，那么、的值分别是A．3、1 B．3、2 C．2、1 D．2、【详解】解：由题意得：，解得：．故本题选：．3．（2022·如皋·期末）如果，是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为A． B． C． D．【详解】解：把代入方程得：，解得：，故本题选：．4．（2022·淮安·期末）写出二元一次方程的一个非负整数解．【详解】解：，，当时，；时，；时，；则方程的非负整数解为，，．故本题答案为：（答案不唯一）．5．（2022·连云港·期末）已知，，用含的代数式表示，可得．【详解】解：，，代入得：，即．故本题答案为：．【题型2由实际问题抽象出二元一次方程组】1．（2022·苏州·期末）一辆汽车从地驶往地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，汽车从地到地一共行驶了．设普通公路长、高速公路长分别为、，则可列方程组为A． B． C． D．【详解】解：设普通公路长、高速公路长分别为、，依题意得：．故本题选：．2．（2022·常州·期末）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组为A． B． C． D．【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊，根号题意得：．故本题选：．3．（2022·海门&海安·期末）《孙子算经》中记载：“今有木、不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文：“用一根绳子量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，结果比长木短1尺，问木长多少尺？”设绳长尺，木长尺，可列方程组为．【详解】解：由题意可得：．故本题答案为：．4．（2022·南通&如皋&靖江·期末）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为，乙持钱数为，可列方程组为．【详解】解：由题意可得：．故本题答案为：．【题型3解二元一次方程组】1．（2022·泰兴·期末）解下列二元一次方程组：（1）；（2）．【详解】解：（1）将代入另一方程得：，解得：，，方程组的解为；（2）方程组整理得：，①②得：，解得：，把代入①得：，解得：，方程组的解是．2．（2022·丹阳·期末）若是关于、的二元一次方程组的解，则．【详解】解：是关于、的二元一次方程组的解，，①②得：，解得：，①②得：，解得：，．故本题答案为：．3．（2022·靖江·期末）关于，的方程组的解满足，则．【详解】解：，①②得：，，，解得：．故本题答案为：7．4．（2022·宿迁·期末）解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么，，的值是A．不能确定 B．，， C．、不能确定， D．，，【详解】解：根据题意可得：，解得：，根据题意可得：，①②可得：，把代入①，解得：，，，．故本题选：．5．（2022·泰兴·期末）已知中，当时，；当时，．则．【详解】解：中，当时，；当时，，，②①得：，解得：，把代入①得：，解得：，．故本题答案为：24．6．（2022·苏州·期末）已知关于，的方程组（1）请直接写出方程的所有正整数解；（2）若方程组的解满足，求的值；（3）无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？（4）若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值．【详解】解：（1）方程，，解得：，当时，，当时，，方程的所有正整数解为：，；（2）由题意得：，解得：，把代入，解得：；（3），，当时，，即固定的解为：；（4），①②得：，，，恰为整数，也为整数，是1的约数，或，或．7．（2022·盐城·期末）若，则的值是A．5 B．0 C．15 D．【详解】解：，，①②得：，．故本题选：．8．（2022·苏州·期末）阅读下列材料：解方程组：解：由①得：③，将③代入②得：，解这个一元一次方程得：，从而求得．这种思想被称为“整体思想”．请用“整体思想”解决下面问题：（1）解方程组：；（2）在（1）的条件下，若，是两条边的长，且第三边的长是奇数，求的周长．【详解】解：（1）由①得：③，将③代入②得：，即，将代入③得：，则方程组的解为；（2）两条边长是7和4，第三边长小于11并且大于3，第三边的长是奇数，第三边长是5或7或9，的周长是或或．9．（2022·泰州·期末）【情境呈现】：在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：令、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为．【灵活运用】：（1）若方程组的解为，则方程组的解为；（2）若方程组的解为，其中为常数．①求方程组的解：②是否存在负整数，使得①中方程组的解满足，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【详解】解：（1）根据题意得：，解得：；故本题答案为：；（2）①由题意可得：，解得：，②由①得：，，，，又为负整数，不存在负整数使得①中方程组的解满足．【题型4不等式的性质】1．（2022·常州·期末）若，则（用“”或“”填空）．【详解】解：，（不等式性质，，（不等式性质．故本题答案为：．2．（2022·如皋·期末）若，下列不等式不一定成立的是A． B． C． D．【详解】解：、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故正确，不合题意；、不等式的两边都乘以，不等号的方向改变，故正确，不合题意；、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故正确，不合题意；、如，，，，故错误，符合题意．故本题选：．3．（2022·南京·期末）下列不等式变形正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【详解】解：，，选项符合题意；若，则选项不符合题意；若，则，选项不符合题意；，时，，选项不符合题意．故本题选：．4．（2022·连云港·期末）若，则下列不等式不一定成立的是A． B． C． D．【详解】解：．，，原变形正确，故不合题意；．，，原变形正确，故不合题意；．，，原变形正确，故不合题意；．，不妨设，，，原变形错误，故符合题意．故本题选：．【题型5由实际问题抽象出一元一次不等式】1．（2022·淮安·期末）“的3倍与1的差为负数”用不等式表示为．【详解】解：依题意得：．故本题答案为：．2．（2022·海门·期末）把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是A．每人分8本，则剩余5本 B．每人分8本，则恰好可多分给5个人 C．每人分5本，则剩余8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分5本【详解】解：由不等式可得：把一些书分给几名同学，若每人分8本，则恰好可多分给5个人，若每人分12本，则有剩余．故本题选：．【题型6解一元一次不等式】1．（2022·扬州·期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来，并写写出所有的非正整数解．【详解】解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并得：，解得：，表示在数轴上，如图所示：，不等式的非正整数解为，0．2．（2022·扬州·期末）规定，若、满足，，则的取值范围是．【详解】解：根据题中的新定义化简得：①，②，由①得：③，把③代入②得：，解得：．故本题答案为：．3．（2022·如皋·期末）若方程组中的，满足，则的取值范围A． B． C． D．【详解】解：，两式相加得：，则，，，解得：．故本题选：．4．（2022·淮安·期末）若的解集为，则关于的不等式的解集为．【详解】解：将看作整体，则，解得：．故本题答案为：．5．（2022··期末）不等式的解集是，则的取值范围是．【详解】解：不等式的解集是，，解得：．故本题答案为：．6．（2022·盐城·期末）已知关于的不等式只有三个负整数解，求的取值范围．【详解】解：去分母得：，去括号得：，化简整理得，因为关于的不等式只有三个负整数解，所以，即．【题型7解一元一次不等式组】1．（2022·海安·期末）解不等式组：并在数轴上表示不等式组的解集，并写出所有的整数解．【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为，将不等式组的解集表示在数轴上如下：，不等式组的整数解为，0，1，2．2．（2022·高邮·期末）解不等式组，请结合题意完成本题的解答．（1）解不等式①得：；解不等式②得：；解不等式③得：；（2）把不等式①、②和③的解集在下列数轴上表示出来：（3）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得到不等式组的解集为．【详解】解：（1）解不等式①得：；解不等式②得：；解不等式③得：；（2）把不等式①、②和③的解集在下列数轴上表示出来：（3）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得到不等式组的解集为；故本题答案为：（1），，；（3）．3．（2022·淮安·期末）已知．（1）请用含的式子表示；（2）当时，求的最大值．【详解】解：（1），，；（2）当时，得：，解不等式①得：，解不等式②得：，故不等式组的解集为：．4．（2022·南通·期末）已知关于，的方程组的解都为非负数，，，且，则的取值范围是．【详解】解：解方程组得：，方程组的解都为非负数，，解得：，，，，，，故，，，，，，，．故本题答案为：．5．（2022·苏州·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是A． B． C． D．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，关于的不等式组的解集是，，的取值范围是．故本题选：．6．（2022·宿迁·期末）已知关于的不等式组无实数解，则的取值范围是．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组无实数解，，解得：．故本题答案为：．7．（2022·连云港·期末）若关于的不等式组有解，且关于的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组有解，，，，解得：，方程有非负整数解，且为整数，且为整数，且为整数，且为整数，，或，符合条件的所有整数的和为．故本题答案为：．8．（2022·高邮·期末）已知关于的不等式组的解集恰好只有一个整数解，若，均为整数，则的最大值是．【详解】解：解不等式组得：，由题意得：，，解得：，，．故本题答案为：．1．（2022·南通·期末）若是方程的一个解，则的值是A． B． C．1 D．5【详解】解：把代入得：，解得：．故本题选：．2．（2022·靖江·期末）已知关于，的方程，若将方程化为的形式，则．【详解】解：，，，所以．故本题答案为：．3．（2022·宿迁）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房间，房客人，则列出关于、的二元一次方程组正确的是A． B． C． D．【详解】解：设该店有客房间，房客人，根据题意得：．故本题选：．4．（2022·扬州·期末）解方程组：（1）；（2）．【详解】解：，把①代入②得：，解得：，把代入①得：，原方程组的解为：；（2）原方程组可化简为：，①得：③，②③得：，解得：，把代入①中得：，解得：，原方程组的解为：．5．（2022·南京·期末）已知、是二元一次方程组的解，则代数式．【详解】解：原方程组变形为，，的值为10．故本题答案为：10．6．（2022·宿迁·期末）已知是二元一次方程组的解，则代数式的值为．【详解】解：把代入二元一次方程组得：，②①得：．故本题答案为：2．7．（2022·扬州·期末）已知关于、的方程组的解是请你运用学过的方法求方程组中、的值．【详解】解：设，，则方程组变形为，方程组的解是，，①②得：，，把代入①得：，，的值是2，的值是．8．（2022·扬州·期末）如果，下列各式中正确的是A． B． C． D．【详解】解：、当时，不成立，故错误；、若、异号，则，不等式两边都除以得：，所以，，故错误；、不等式两边都乘以得：，故正确；、不等式两边都除以4得：，故错误．故本题选：．9．（2022·仪征·期末）如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯子中，结果水没有满，如图2，设每颗玻璃球的体积为，根据题意可列不等式为．【详解】解：水的体积为，四颗相同的玻璃球的体积为，根据题意得：．故本题答案为：．10．（2022·连云港）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来，并写出它的最小整数解．【详解】解：去分母得：，移项得：，合并同类项得：，将不等式解集表示在数轴上如下：，不等式的最小整数解是2．11．（2022·如皋·期末）已知、满足．若，则的取值范围为．【详解】解：，，，，解得：．故本题答案为：．12．（2022·南京·期末）若关于、的方程组的解满足，则的取值范围是A． B． C． D．【详解】解：，①②得：，解得：，把代入②得：，解得：，原方程组的解为，，，解得：．故本题选：．13．（2022·泰州·期末）已知，不等式解集为．【详解】解：，，不等式的解集为．故本题答案为：．14．（2022·扬州·期末）已知关于的不等式的正整数解是1，2，3，则的取值范围是．【详解】解：，，，，不等式正整数解为1、2、3，，解得：．故本题答案为：．15．（2022·宿迁·期末）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解．【详解】解：由得：，由，得：，则不等式组的解集为，，不等式组的整数解为：3，4