第6章 一次函数（压轴必刷30题2种题型专项训练）（解析版）

第6章一次函数（压轴必刷30题2种题型专项训练）一．一次函数的应用（共5小题）1．（2022秋•江都区期末）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过240度时，其中的240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费．设每个家庭月用电量为x度时，应交电费为y元．具体收费情况如折线图所示，请根据图象回答下列问题：（1）“基础电价”是0.5元/度；（2）求出当x＞240时，y与x的函数表达式；（3）小石家六月份缴纳电费132元，求小石家这个月用电量为多少度？【分析】（1）由用电240度费用为120元可得；（2）当x＞240时，待定系数法求解可得此时函数解析式；（3）由132＞120知，可将y＝132代入（2）中函数解析式求解可得．【解答】解：（1）“基础电价”是＝0.5元/度，故答案为：0.5；（2）当x＞240时，设y＝kx+b，由图象可得：，解得：，∴y＝0.6x﹣24（x＞240）；（3）∵y＝132＞120∴令0.6x﹣24＝132，得：x＝260答：小石家这个月用电量为260度．【点评】本题主要考查一次函数的图象与待定系数求函数解析式，分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，理解每个区间的实际意义是解题关键．2．（2022秋•泗阳县期末）A、B两家旅行社推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均为每人90元，但优惠的办法不同．A旅行社的优惠办法是：全家有一人购全票，其余的人半价优惠；B旅行社的优惠办法是：全家每人均按票价优惠．设某一家庭共有x人，A、B两家旅行社的收费分别是y1元，y2元．（1）请直接写出y1，y2与x之间的函数关系式．（2）若小红家共有5人一起去旅游，请通过计算说明小红家选择哪家旅行社费用较低．（3）请根据不同家庭的人数情况，说明选择哪家旅行社费用较低．【分析】（1）A方案的费用＝90+45（x﹣1），化简即可，B方案的费用＝×90x，化简即可；（2）把x＝5代入代数式求值即可；（3）分情况讨论，或A＜B，或A＝B，或A＞B，解不等式即可．【解答】解：（1）A：y1＝90+45（x﹣1）＝（45x+45）元；B：y2＝×90x＝60x（元）；（2）A：当x＝5时，45x+45＝270（元）；B：当x＝5时，60x＝300（元）；故应选择A旅行社；（3）若45x+45＜60x时，即当家庭人数大于3时，A旅行社收费较低；若45x+45＝60x时，即当家庭人数等于3时，A、B旅行社收费一样；若45x+45＞60x时，即当家庭人数小于3时，B旅行社收费较低．【点评】本题主要考查一次函数的应用，给出具体数值能代入代数式求值是截图的关键．3．（2022秋•盱眙县期末）A、B两码头相距150千米，甲客船顺流由A航行到B，乙客船逆流由B到A，若甲、乙两客船在静水中的速度相同，同时出发，它们距A的距离y（千米）与航行时间x（时）的关系如图所示．（1）求客船在静水中的速度及水流速度；（2）一艘货轮由A码头顺流航行到B码头，货轮比客船早2小时出发，货轮在静水中的速度为10千米/时，在此坐标系中画出货轮航程y（千米）与时间x（时）的关系图象，并求货轮与客船乙相遇时距A码头的路程．【分析】（1）由图象中路程与时间的关系可得客船在静水中的顺水，逆水速度，由于两客船在静水中的速度相同，又知水流速度不变，进而可得到关于速度的关系，可求解静水中的速度及水速；（2）货轮顺风行驶，可得其速度，由有时间关系可得货轮行驶的函数关系式，进而可求解客轮与货轮之间距离的问题．【解答】解：（1）由图象知，甲船顺流航行6小时的路程为150千米，所以顺流航行的速度为（千米/时）乙船逆流航行10小时的路程为150千米，所以逆流航行的速度为（千米/时）（2分）由于两客船在静水中的速度相同，又知水流速度不变，所以设客船在静水中的速度为v1千米/时，水流的速度为v2千米/时，列方程组得解得（4分）答：客船在静水中的速度为20千米/时，水流速度为5千米/时（5分）（2）由题意知，货轮顺流航行的速度为10+5＝15（千米/时）又知货轮提前出发两小时，所以该图象过（0，30），（8，150）两点，图象如图线段DE（6分）设DE的解析式为y＝k1x+b1所以，解得所以DE的解析式为y＝15x+30（7分）设BC的解析式为y＝k2x+b2所以，解得所以BC的解析式为y＝﹣15x+150（8分）解方程组得（9分）答：货轮与客船乙相遇时距A码头的路程是90千米（10分）【点评】此题涉及船速，水速，顺风，逆风问题，解答时一定要考虑是顺风还是逆向行驶，不能把净水速误认为是船速，另外会求解函数的解析式，会画简单的函数图形．4．（2022•扬州模拟）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如表：x/元…152025…y/件…252015…已知日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式；（2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？【分析】（1）根据题意可以设出y与x的函数关系式，然后根据表格中的数据，即可求出日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式；（2）根据题意可以计算出当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润．【解答】解：（1）设日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式是y＝kx+b，，解得，，即日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式是y＝﹣x+40；（2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是：（35﹣10）（﹣35+40）＝25×5＝125（元），即当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是125元．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．5．（2022秋•大丰区月考）如图1，一条笔直的公路上有A、B、C三地，甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B、A两地．甲、乙两车到C地距离y1、y2（千米）与行驶时间x（时）的部分函数图象如图2所示．（1）M点的坐标是（，0）；（2）经过多长时间两车相遇；（3）在图2中补全甲车到C地的距离y1（千米）与行驶时间x（时）的函数图象；（4）两车行驶多长时间时到C地的距离相等？【分析】（1）由图象可知AC＝60，CB＝120，从而求得AB的距离，进而求出两车的速度，求出乙到达C的时间；（2）用总路程除以甲、乙速度之和即可得解；（3）设出直线的解析式，根据待定系数法求出解析式画出图形；（4）由图象分别解出当1＜x＜1.2时和x＞1.2时甲、乙的解析式，令其相等，从而解出时间．【解答】解：（1）由图象可知AC＝60，BC＝120，∴AB＝60+120＝180（km）；∵甲乙两车匀速运动，∵AC＝60，BC＝120，∴v甲＝＝60（千米/小时），v乙＝＝90（千米/小时），∴乙到达C的时间为：t＝＝（小时），∴M点坐标为（，0）；故答案为：（，0）；（2）180÷（60+90）＝1.2（小时），答：经过1.2小时两车相遇；（3）当x＞1时设y1＝ax+b，∵甲还要走120km到B处，∴用时t＝＝2，∵函数过点（1，0）、（3，120），代入y1＝ax+b得：，解得：∴y1＝60x﹣60，如图：（4）由图可知，当1＜x＜时，甲车经过C点，乙车还未到达C点，可得：y＝﹣90x+120＝60x﹣60，解得x＝1.2，当x＞时，y＝90x﹣120＝60x﹣60，解得x＝2，∴两车行驶1.2或2个小时到C地距离相等．【点评】本题主要考查一次函数的应用以及动点问题的函数的图象，解答本题的关键是结合图形进行求解．二．一次函数综合题（共25小题）6．（2023秋•武进区期中）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B．（1）根据图象，求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；（2）将直线AB向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值；（3）P（0，a）为y轴上的一动点，当△ABP的面积为15时，求a的值．【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）求得平移后的直线的解析式，代入点（m，﹣5），即可求得m的值；（3）根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：（1）由图象可知，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，6）、B（﹣4，﹣3），∴，解得，所以一次函数的表达式为：y＝x+3；（2）将直线AB向下平移5个单位后得到y＝x+3﹣5，即y＝x﹣2，∵经过点（m，﹣5），∴﹣5＝m﹣2，解得m＝﹣2；（3）在y＝x+3中，令x＝0，则y＝3，∵P（0，a）为y轴上的一动点，当△ABP的面积为15时，∴，解得a＝13或﹣7．【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．7．（2022秋•广陵区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点C（m，5）．（1）填空：m＝3，b＝6；（2）求△ACD的面积；（3）在线段AD上是否存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（4）点P在线段AD上，连接CP，若△ACP是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标．【分析】（1）由C（m，5）是一次函数y1＝x+2与y2＝﹣x+b的图象的交点，即可解出；（2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到AD的长，从而算出△ACD的面积；（3）由已知条件可得△ABM的面积，进而得出AM的长，即可得点M的坐标；（4）由△ACP是直角三角形、∠CAP是锐角，分∠APC＝90°和∠ACP＝90°两种情况讨论，利用勾股定理即可求解．【解答】解：（1）∵C（m，5）是一次函数y1＝x+2与y2＝﹣x+b的图象的交点，∴m+2＝5，解得m＝3，∴﹣×3+b＝5，解得b＝6，故答案为：3，6；（2）一次函数y1＝x+2中，当y1＝0时，x＝﹣2；当x＝0时，y1＝2，∴A（﹣2，0），B（0，2），一次函数y2＝﹣x+6中，当y2＝0时，x＝18，∴D（18，0），∴AD＝18﹣（﹣2）＝20，∴S△ACD＝×20×5＝50，∴△ACD的面积为50；（3）如图：在线段AD上存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21，∵△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21，∴S△ABM＝S△ACD＝×50＝8，∴AM•OB＝8，即AM×2＝8，∴AM＝8，∵点M在线段AD上，∴点M的坐标为（6，0）；（4）点P在线段AD上，∠CAP是锐角，若△ACP是直角三角形，则∠APC＝90°或∠ACP＝90°，设点P（p，0），∵A（﹣2，0），C（3，5），∴AC2＝（3+2）2+52，AP2＝（p+2）2，PC2＝（p﹣3）2+52，当∠APC＝90°时，AP2+PC2＝AC2，∴（p+2）2+（p﹣3）2+52＝（3+2）2+52，整理得，p2﹣p﹣6＝0，解得p＝3或﹣2（舍去），∴点P坐标为（3，0）；当∠ACP＝90°时，AC2+PC2＝AP2，∴（p+2）2＝（3+2）2+52+（p﹣3）2+52，解得p＝8，∴点P坐标为（8，0）；解法二：当∠APC＝90°时，CP⊥x轴．∴P（3，0）．当∠ACP＝90°时，△ACP是等腰直角三角形，可得P（8，0）．综上所述，所有符合条件的点P坐标为（3，0）或（8，0）．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．8．（2022秋•兴化市月考）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，且满足AC＞AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“从属点”．已知点A的坐标为（0，1）．（1）如图1，若点B为（2，1），在点C1（0，﹣2），C2（2，2）．C3（1，0），C4（0，3）中，线段AB的“从属点”是C1，C2；（2）如图2，若点B为（1，0），点P在直线y＝﹣2x﹣3上，且点P为线段AB的“从属点”，求点P的坐标；（3）点B为x轴上的动点，直线y＝4x+b（b≠0）与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，直接写出b的取值范围．【分析】（1）分别按照“从属点”的定义对三个点进行分析即可；（2）分∠ABP＝90°和∠BAP＝90°两种情况，借助等腰直角三角形的判定和性质求解；（3）画出图象，分b＞0和b＜0两种情况，分别求出边缘值，从而得到b的取值范围．【解答】解：（1）C1（0，﹣2），则AC1＝3＞2＝AB，且△ABC为直角三角形，故C1是线段AB的“从属点”；C2（2，2），则AC2＝＞2＝AB，且△ABC为直角三角形，故C2是线段AB的“从属点”；C3（1，0），则AB不是直角边，故C3不是线段AB的“从属点”；C4（0，3），AC4＝2＝AB，故C4不是线段AB的“从属点”；故答案为：C1，C2．（2）设点P的坐标为（a，﹣2a﹣3），∵点P为线段AB的“从属点”，①当∠ABP＝90°时，由题意可知：OA＝OB＝1，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠ABO＝45°，∴∠OBP＝45°，过点P作PF⊥y轴，垂足为F，BP交y轴于点E，可知△OBE和△PEF为等腰直角三角形，∴OE＝OB＝1，PF＝EF＝﹣a，∴OF＝1﹣a，则1﹣a＝2a+3，解得：a＝﹣，∴点P的坐标为（﹣，﹣），此时AP＞AB；②当∠BAP＝90°时，过点P作PG⊥x轴，垂足为G，AP交x轴于点H，同理可知：∠OAP＝45°＝∠AHO＝∠PHG，∴△AOH和△PHG为等腰直角三角形，∴AO＝HO＝1，PG＝HG＝2a+3，∴OG＝2a+4，则﹣2a﹣4＝a，解得：a＝﹣，∴点P的坐标为（﹣，﹣），此时AP＝AH+HP＞AB；综上，点P的坐标为：（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．（3）如图，AC＝AE＝AB，由“从属点”的定义可知：线段AB的从属点在射线CC1、EE1、BD上，当b＞0时，当点B和原点重合时，若要满足线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，则点C在线段MN上，此时点C（﹣1，1），代入y＝4x+b，得：b＝5，从而当b＞5时，总能找到点B，满足条件，故b＞5；当b＜0时，若要满足线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，如图，当点E和M重合时，∵AB＝AE，∴△ABE为等腰直角三角形，可得：AO＝EO＝1，即E（1，0），代入y＝4x+b，得：b＝﹣4，而当b＞﹣4时，四条射线CC1、DD1、EE1、FF1无法与线段MN产生两个交点，当b＜﹣4时，总能找到点B，满足条件，此时b＜﹣4，综上，b的取值范围是：b＞5或b＜﹣4．【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，直角三角形的性质，“从属点”的新定义，等腰直角三角形的判定和性质，解题时要把握好“从属点”的定义，结合一次函数图象进行分析，难度较大．9．（2022秋•江都区期末）阅读并解决下面问题：定义：把函数y＝kx+b中自变量x作为横坐标，函数值y作为纵坐标，我们把坐标（x，kx+b）叫做函数y＝kx+b的函数坐标；反过来，把坐标（x，kx+b）中的横坐标x看做自变量，纵坐标kx+b看作因变量y，得到函数y＝kx+b，我们把函数y＝kx+b叫做坐标（x，kx+b）的坐标函数．（1）坐标（m，2m+4）是函数y＝2x+4的函数坐标；（填函数表达式）（2）已知P（m，m+3），Q（n﹣1，n﹣4）两点在同一直角坐标系中，则线段PQ的最短距离是3；（3）如图，已知直线y＝﹣2x+8与两坐标轴分别交于A，B两点，与直线y＝2x交于点C，M是直线y＝2x上的动点，点M横坐标为m，过点M作y轴的平行线，交直线y＝﹣2x+8于点N，且MN＝4，求点M的坐标；（4）在（3）的条件下，点D（t﹣1，t﹣4）在△OBC的内部（不包括边界），则t的取值范围是4＜t＜．【分析】（1）直接根据定义即可得出答案；（2）由定义可得：点P（m，m+3）在直线y＝x+3上，点Q（n﹣1，n﹣4）在直线y＝x﹣3上，且PE∥QF，根据平行线间的距离即可求得答案；（3）由题意得：M（m，2m），N（m，﹣2m+8），可得MN＝|2m﹣（﹣2m+8）|＝|4m﹣8|，根据题意列方程求解即可；（4）根据点D（t﹣1，t﹣4）在△OBC的内部（不包括边界），列不等式组求解即可．【解答】解：（1）根据定义可得坐标（m，2m+4）是函数y＝2x+4的函数坐标，故答案为：y＝2x+4；（2）∵P（m，m+3），Q（n﹣1，n﹣4），∴点P（m，m+3）在直线y＝x+3上，点Q（n﹣1，n﹣4）在直线y＝x﹣3上，如图，直线PE：y＝x+3经过点E（0，3），直线QF：y＝x﹣3经过点F（3，0），则PE∥QF，∵∠OEP＝∠OEF＝45°，∴∠PEF＝90°，∴EF⊥PE，EF⊥QF，∴直线PE与直线QF的距离为线段EF的长度，即线段PQ的最短距离为线段EF的长度，在Rt△OEF中，EF＝＝＝3，故答案为：3；（3）由题意得：M（m，2m），N（m，﹣2m+8），∴MN＝|2m﹣（﹣2m+8）|＝|4m﹣8|，∵MN＝4，∴|4m﹣8|＝4，解得：m＝3或1，当m＝3时，M（3，6），当m＝1时，M（1，2），综上所述，点M的坐标为（3，6）或（1，2）；（4）如图，由（2）知：点D（t﹣1，t﹣4）是直线LG：y＝x﹣3上的动点，由题意得，解得：，∴S（，），在y＝x﹣3中，令y＝0，得x﹣3＝0，解得：x＝3，∴L（3，0），∵点D（t﹣1，t﹣4）在△OBC的内部（不包括边界），∴，解得：4＜t＜，故答案为：4＜t＜．【点评】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组及一元一次不等式之间的联系，平行线间距离等，运用数形结合与方程思想是解答本题的关键．10．（2021秋•江阴市校级月考）已知长方形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），点A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，设PC＝m，（1）已知点D在第一象限且是直线y＝2x+6上的一点，设D点横坐标为n，则D点纵坐标可用含n的代数式表示为2n+6，此时若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；（2）直线y＝2x+b过点（3，0），请问在该直线上，是否存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由点D在第一象限且是直线y＝2x+6上的一点，即可用含n的代数式表示D点纵坐标，y＝2x+6与x轴夹角＞45°，即∠DAB＞45°，故∠DAP＞45°，所以三角形APD是等腰直角的情况下，只能是∠DAP＝90°．作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA＝∠AFP＝90°，再由三角形ADP为等腰直角三角形，得到AD＝AP，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到△ADE≌△APF，由全等三角形的对应边相等得到AE＝PF，由AE+OA求出OE的长，即为D的纵坐标，代入直线解析式求出D的横坐标，即可确定出D的坐标；（2）存在点D，使△APD是等腰直角三角形，理由为：由直线y＝2x+b过点（3，0）求出直线的解析式，分三种情况考虑：当∠ADP＝90°，AD＝PD时，根据等腰直角三角形的性质易得D点坐标；当∠APD＝90°，AP＝PD时，由全等三角形的性质表示出D点坐标为（14﹣m，m+8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；当∠ADP＝90°，AD＝PD时，同理求出D的坐标，综上，得到所有满足题意D得坐标．【解答】解：（1）如图，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA＝∠AFP＝90°，∴DE∥PF∥OC，∵四边形ABCO是矩形，∴AB∥OC，∴AB∥PF，∵△DAP为等腰直角三角形，∴AD＝AP，∠DAP＝90°，∴∠EAD+∠DAB＝90°，∠DAB+∠BAP＝90°，∴∠EAD＝∠BAP，∵AB∥PF，∴∠BAP＝∠FPA，∴∠EAD＝∠FPA，∵在△ADE和△PAF中，，∴△ADE≌△PAF（AAS），∴AE＝PF＝8，OE＝OA+AE＝14，设点D的横坐标为n，∵点D在第一象限且是直线y＝2x+6上的一点，∴D点纵坐标可用含n的代数式表示为2n+6，∴14＝2n+6，得n＝4，∴点D的坐标是（4，14）；故答案为：2n+6，点D的坐标是（4，14）；（2）存在点D，使△APD是等腰直角三角形，理由为：∵直线y＝2x+b过点（3，0），∴0＝2×3+b，解得：b＝﹣6，∴直线解析式为y＝2x﹣6，当∠ADP＝90°，AD＝PD时，如图，作DE⊥AB于E点，作DF⊥y轴于F点，∴DE＝AE＝BE＝AB＝4，AF＝DE，∵B的坐标为（8，6），∴OF＝OA﹣AF＝6﹣4＝2，∴D点坐标（4，2）；当∠APD＝90°，AP＝PD时，如图，作PE⊥y轴于E点，作DF⊥EP于F点，∵PC＝m，同（1）可得△ADE≌△PAF（AAS），∴AE＝PF＝6﹣m，PE＝DF＝AB＝8，则D点坐标为（8+6﹣m，m+8），∵点D在直线y＝2x﹣6上，∴m+8＝2（8+6﹣m）﹣6，解得m＝，∴D点坐标（，）；当∠ADP＝90°，AD＝PD时，如图，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥ED于F点，同理可求得D点坐标（，），综上，符合条件的点D存在，坐标为（4，2）或（，）或（，）．【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，本题第二问注意考虑问题要全面，做到不重不漏．11．（2022秋•镇江期末）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AB＝4，AD＝6．若动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿着BC→CD→DA的路线向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，图2是点P出发t秒后，△ABP的面积S与t的函数图象．（1）a＝，b＝7；（2）求MN所在直线对应的函数表达式；（3）运动几秒后，△ABP的面积为14？【分析】（1）根据题意可得当点P到达C点时，△ABP的面积S最大，根据三角形的面积公式求出BC＝9，即可得a的值，求出当点P到达D点时，△ABP的面积S，进而可得b的值；（2）由（1）可得M、N的坐标，利用待定系数法即可求解；（3）根据题意分3种情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，③当点P在AD上运动时，分别求解即可．【解答】解：（1）当点P到达C点时，△ABP的面积S最大为18，∴S＝BC•AB＝18，∴BC×4＝18，解得BC＝9，∵动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿着BC→CD→DA的路线向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，∴t＝，∴a＝，当点P到达D点时，t＝10﹣6÷2＝7，∴b＝7，故答案为：，7；（2）当点P到达D点时，△ABP的面积S＝AB•AD＝×4×6＝12，∴N（7，12），由（1）知M（，18），设MN所在直线对应的函数表达式为S＝kt+b，∴，解得，∴MN所在直线对应的函数表达式为S＝﹣t+（）；（3）根据题意分3种情况讨论：①当点P在BC上运动时，S△ABP＝×BP×AB＝×2t×4＝4t（0＜t＜），∵△ABP的面积为14，∴4t＝14，∴t＝；②当点P在CD上运动时，由（2）知S＝﹣t+（），∴﹣t+＝14，∴t＝；③当点P在AD上运动时，S△ABP＝×AB×AP＝×4×（10×2﹣2t）＝﹣4t+40（7＜t≤10）；∴﹣4t+40＝14，综上所述：t＝或t＝时，△ABP的面积为14．【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数的性质、三角形的面积，解决本题的关键是综合运用以上知识，利用数形结合思想以及分类思想解题．12．（2022秋•鼓楼区校级期末）（1）问题解决：①如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，点A、B的坐标分别为A（﹣3，0）、B（0，1）．②求①中点C的坐标．小明同学为了解决这个问题，提出了以下想法：过点C向x轴作垂线交x轴于点D．请你借助小明的思路，求出点C的坐标；（2）类比探究数学老师表扬了小明同学的方法，然后提出了一个新的问题，如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标（0，﹣7），点B坐标（8，0），过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y＝﹣2x+2图象上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D与点P的坐标D（1，0），P（8，2）或D（，﹣），P（8，﹣）．【分析】（1）利用坐标轴上点的特点建立方程求解，即可得出结论；（2）先构造出△ADC≌△BOA，求出AD，CD，即可得出结论；（3）同（2）的方法构造出△AFD≌△DGP（AAS），分两种情况，建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）针对于一次函数y＝x+1，令x＝0，∴y＝1，∴B（0，1），令y＝0，∴x+1＝0，∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），故答案为（﹣3，0），（0，1）；（2）如图1，由（1）知，A（﹣4，0），B（0，1），∴OA＝3，OB＝1，过点C作CD⊥x轴于D，∴∠ADC＝∠BOA＝90°，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAD+∠BAO＝90°，∴∠CAD＝∠ABO，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB，在△ADC和△BOA中，，∴△ADC≌△BOA（AAS），∴CD＝OA＝4，AD＝OB＝1，∴OD＝OA+AD＝5，∴C（﹣5，3）；（3）如图2，∵过点D作DF⊥y轴于F，延长FD交BP于G，∴DF+DG＝OB＝8，∵点D在直线y＝﹣2x+2上，∴设点D（m，﹣2m+2），∴F（0，﹣2m+2），∵BP⊥x轴，B（8，0），∴G（8，﹣2m+2），同（2）的方法得，△AFD≌△DGP（AAS），∴AF＝DG，DF＝PG，如图2，DF＝m，∵DF+DG＝DF+AF＝8，∴m+|2m﹣9|＝8，∴m＝或m＝1，∴D（1，0）或（，﹣），当m＝1时，G（8，0），DF＝1，∴PG＝1，∴P（8，﹣1），当m＝时，G（8，﹣），DF＝，∴BG＝，∴P（8，﹣），即：D（1，0），P（8，2）或D（，﹣），P（8，﹣）．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，方程的思想，构造全等三角形是解本题的关键．13．（2022秋•南京期末）小明根据学习函数的经验，对函数y＝﹣2|x﹣3|+4的图象与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小明的探究过程，请补充完成：（1）当x＝3时，y＝﹣2|x﹣3|+4＝4；当x＜3时，y＝﹣2|x﹣3|+4＝2x﹣2．当x＞3时，y＝﹣2|x﹣3|+4＝﹣2x+10．（2）在平面直角坐标系中画出y＝﹣2|x﹣3|+4的图象，并写出该函数的两条不同类型的性质．（3）直接写出关于x的方程﹣2|x﹣3|+4＝kx+6（k为常数，k≠0）解的个数及对应k的取值范围．【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可以分别写出x＞3和x＜3时的函数解析式；（2）根据（1）中的结果，可以在坐标系中画出函数y＝﹣2|x﹣3|+4的图象；根据函数图象，可以写出函数y＝﹣2|x﹣3|+4的性质；（3）结合函数图象分析，可得关于x的方程﹣2|x﹣3|+4＝kx+6（k为常数，k≠0）解的个数及对应k的取值范围．【解答】解：（1）当x＜3时，y＝﹣2|x﹣3|+4＝﹣6+2x+4＝2x﹣2，当x＞3时，y＝﹣2|x﹣3|+4＝﹣2x+6+4＝﹣2x+10，故答案为：2x﹣2，﹣2x+10；（2）当x＜3时，y＝2x﹣2过点（2，2），（0，﹣2），当x＞3时，y＝﹣2x+10过点（4，2），（6，﹣2），函数y＝﹣2|x﹣3|+4的图象如图所示，由图象可知，当x＞3时，y随x的增大而减小；当x＜3时，y随x的增大而增大；函数图象关于直线x＝3对称；（3）如图：∵关于x的方程﹣2|x﹣3|+4＝kx+6（k为常数，k≠0），令y＝kx+6，则图象过点（0，6），当y＝kx+6过点（3，4）时，3k+6＝4，∴k＝﹣，此时，关于x的方程﹣2|x﹣3|+4＝kx+6（k为常数，k≠0）有一个解；当直线y＝kx+6平行于y＝2x﹣2时，k＝2，∴k＞2时，关于x的方程﹣2|x﹣3|+4＝kx+6（k为常数，k≠0）有一个解；当直线y＝kx+6平行于y＝﹣2x+10时，k＝﹣2，∴k≤﹣2时，关于x的方程﹣2|x﹣3|+4＝kx+6（k为常数，k≠0）有一个解；∴当﹣2＜k＜﹣时，方程有两个解；当k＞2、k≤﹣2或k＝﹣时，方程有一个解；当﹣＜k＜0或0＜k≤2时，方程没有解．【点评】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．14．（2022秋•太仓市期末）如图，平面直角坐标系中，已知点A（10，0），点B（0，8），过点B作x轴的平行线l，点P是在直线l上位于第一象限内的一个动点，连接OP，AP．（1）如图1，若将△BOP沿OP翻折后，点B的对应点B'恰好落在x轴上，则△BOP的面积S△BOP＝32；（2）如图1，若OP平分∠APB，求点P的坐标；（3）如图2，已知点C是直线上一点，若△APC是以AP为直角边的等腰直角三角形，求点C的坐标．【分析】（1）将△BOP沿OP翻折后，点B的对应点B'恰好落在x轴上，则∠POB＝45°，则OB＝BP＝8，即可求解；（2）证明AP＝AO，即102＝（10﹣n）2+82，即可求解；（3）当点C在直线l的上方时，证明△PEA≌△CFP（AAS），得到AE＝PF且PE＝FC，即可求解；当点C在直线l的下方时，同理可解．【解答】解：（1）∵将△BOP沿OP翻折后，点B的对应点B'恰好落在x轴上，则∠POB＝45°，则OB＝BP＝8，则S△BOP＝＝＝32，故答案为：32；（2）设点P（n，8），∵直线l∥x轴，∴∠BPO＝∠POA，∵OP平分∠APB，∴∠BPO＝∠OPA，∴∠APO＝∠AOP，∴AP＝AO，即102＝（10﹣n）2+82，解得：n＝16或4，即点P（4，8）或（16，8）；（3）设点P（n，8）（n≠0），点C（m，m），当点C在直线l的上方时，如图，过点P作直线FE，交x轴于点E，交过点C与x轴的平行线于点F，、∵△APC为等腰直角三角形，则PA＝PC，∠APC＝90°，∴∠APE+∠FPC＝90°，∠FPC+∠FCP＝90°，∴∠APE＝∠FCP，∵∠PEA＝∠CFP＝90°，PA＝PC，∴△PEA≌△CFP（AAS），∴AE＝PF且PE＝FC，则m﹣8＝10﹣n且|m﹣n|＝8，解得：，即点C的坐标为（10，16）（不合题意的值已舍去）；当点C在直线l的下方时，如图，过点A作AM⊥l于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，同理可得：△AMP≌△ANC（AAS），∴AM＝AM且MP＝NC，∴8＝|10﹣m|或n﹣10＝m，解得：或，即点C的坐标为（2，）或（18，）（舍去），综上，点C的坐标为：（10，16）或（2，）．【点评】本题考查了一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、分类讨论及数形结合的思想．本题第三问注意考虑问题要全面，做到不重不漏．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．15．（2022秋•涟水县校级月考）如图所示，直线分别与x轴、y轴分别交于点A和点B，C是OB上一点，若将△ABC沿AC折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处．（1）求：点A，点B的坐标；（2）点B′，点C的坐标．（3）若P在x轴上运动且△PB'C是等腰三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标．【分析】（1）分别令x＝0，y＝0，求点A、B的坐标即可；（2）设C（0，t），由折叠的性质可知AB＝AB'＝5，可求B'的坐标，再由BC＝B'C，列出方程3﹣t＝，求出t的值即可．（3）设P（x，0），分别求出PC＝，B'P＝|x+1|，B'C＝，再根据等腰三角形的边的关系分类讨论即可求解．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），令y＝0，则x＝4，∴A（4，0）；（2）由折叠可知，BC＝B'C，AB＝AB'，∵AB＝5，∴AB'＝5，∴B'（﹣1，0），设C（0，t），∴BC＝3﹣t，∴3﹣t＝，解得t＝，∴C（0，）；（3）设P（x，0），∴PC＝，B'P＝|x+1|，B'C＝，当PC＝B'P时，＝|x+1|，解得x＝，∴P（，0）；当PC＝B'C时，＝，解得x＝±1，∴P（1，0）；当B'P＝B'C时，|x+1|＝，解得x＝或x＝﹣，∴P（，0）或（﹣，0）；综上所述：P点坐标为（，0）或（1，0）或（，0）或（﹣，0）．【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，折叠的性质是解题的关键．16．（2021秋•仪征市期末）请你用学习“一次函数”中积累的经验和方法研究函数y＝2|x|﹣2的图象和性质，并解决问题．（1）①当x＝0时，y＝2|x|﹣2＝﹣2；②当x＞0时，y＝2|x|﹣2＝2x﹣2；③当x＜0时，y＝2|x|﹣2＝﹣2x﹣2；显然，②和③均为某个一次函数的一部分．（2）在平面直角坐标系中，作出函数y＝2|x|﹣2的图象．（3）根据函数图象写出函数y＝2|x|﹣2的一条性质：函数图象关于y轴对称．（4）一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象过点（1，﹣3），若无解，结合函数的图象，直接写出k的取值范围．【分析】（1）②当x＞0时，|x|＝x，进而求解．③当x＜0时，|x|＝﹣x，进而求解．（2）分别画出x＜0，x≥0时的函数图象．（3）根据图象求解．（4）分类讨论k＞0与k＜0时，函数图象与直线无交点的情况求解．【解答】解：（1）②∵x＞0时，|x|＝x，∴x＞0时，y＝2|x|﹣2＝2x﹣2，③∵x＜0时，|x|＝﹣x，∴x＜0时，y＝2|x|﹣2＝﹣2x﹣2，故答案为：2x﹣2，﹣2x﹣2．（2）如图，（3）由图象可得，函数图象关于y轴对称，故答案为：函数图象关于y轴对称．（4）当k＞0时，如图，当直线y＝kx+b与y＝2x﹣2时，方程无解，此时k＝2，∴当0＜k≤2时，满足题意．如图，当直线经过（1，﹣3），（0，﹣2）时，将（1，﹣3），（0，﹣2）代入y＝kx+b得，解得，∴﹣1＜k＜0时满足题意，综上所述，若无解，﹣1＜k≤2且k≠0．【点评】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是掌握一次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式，通过数形结合求解．17．（2021秋•沭阳县期末）如图1所示，直线l：y＝mx+10m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）当OA＝OB时，求点A坐标及直线l的解析式；（2）在（1）的条件下，如图2所示，设Q为AB延长线上的一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM＝8，求BN的长．（3）当m取不同值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连接EF交y轴于点P，如图3，问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长度是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．【分析】（1）y＝mx+10m，令y＝0，则mx+10m＝0，所以x＝﹣10，则A（﹣10，0），可求得B（0，10），即可求得直线l的解析式为y＝x+10；（2）由∠AMO＝∠ONB＝∠AOB＝90°，得∠AOM＝∠OBN＝90°﹣∠BON，即可证明△AOM≌△OBN，由OA＝10，AM＝8，∠AOB＝90°，根据勾股定理求得OM＝6，所以OM＝BN＝6，则BN的长是6；（3）作CE⊥y轴于点C，可证明△BCE≌△AOB，得CE＝OB＝BF，CB＝OA＝10，再证明△PCE≌△PBF，得PB＝PC＝CB＝5，则PB的长度为定值，它的值为5．【解答】解：（1）y＝mx+10m，当y＝0时，则mx+10m＝0，解得x＝﹣10，∴A（﹣10，0），∵OA＝OB＝10，且点B在y轴正半轴上，∴B（0，10），将B（0，10）代入y＝mx+10m，得10m＝10，解得m＝1，∴A（﹣10，0），直线l的解析式为y＝x+10．（2）如图2，∵AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，∴∠AMO＝∠ONB＝∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠OBN＝90°﹣∠BON，在△AOM和△OBN中，，∴△AOM≌△OBN（AAS），∵OA＝10，AM＝8，∴OM＝＝＝6，∴OM＝BN＝6，∴BN的长是6.（3）PB的长度为定值，如图3，作CE⊥y轴于点C，∵△OBF和△ABE都是等腰直角三角形，且点B为直角顶点，∴OB＝BF，BE＝AB，∠OBF＝∠ABE＝90°，∴∠PCE＝∠PBF＝∠AOB＝90°，∠CBE＝∠OAB＝90°﹣∠ABO，在△BCE和△AOB中，，∴△BCE≌△AOB（AAS），∴CE＝OB＝BF，CB＝OA＝10，在△PCE和△PBF中，，∴△PCE≌△PBF（AAS），∴PB＝PC＝CB＝×10＝5，∴PB的长度为定值，它的值为5．【点评】此题重点考查一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．18．（2022秋•兴化市校级期末）对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“顺转点”，图1为点P关于点A的“顺转点”Q的示意图．【知识理解】（1）已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“顺转点”为点Q．①若点P的坐标为（1，0），则点Q的坐标为（0，﹣1）；②当点P的坐标为（1，2）时，点Q的坐标为（2，﹣1）；③△PAQ是等腰直角三角形；【知识运用】（2）如图2，已知直线y＝x+1与x轴交于点A．①点B的坐标为（1，0），点C在直线y＝x+1上，若点C关于点B的“顺转点”在坐标轴上，则点C的坐标为（1，）或（﹣4，﹣1）；②点E在直线y＝x+1上，点E关于点A的“顺转点”为点F，则直线AF的表达式为y＝2x﹣4；【知识迁移】（3）如图3，已知直线l1：y＝﹣2x+2与y轴交于点A，直线l2经过点A，l1与l2在A点相交所形成的夹角为45°，则直线l2的函数表达式为y＝﹣x+2；（4）点A是平面直角坐标系内一点，点P（2，0）关于点A的“顺转点”为点B，点B恰好落在直线y＝﹣x上．当线段AP最短时，点A的坐标为（1，0）．【分析】（1）①由旋转的性质和等腰直角三角形的性质可得Q（0，﹣1）；②过点P作PE⊥y轴交于点E，过点Q作QF⊥y轴交于点F，证明△APE≌△QAF（AAS），则EP＝1，AE＝2，可求P点坐标；③由AP＝AQ，∠PAQ＝90°，可判断三角形形状；（2）①设点C关于点B的“顺转点”为D，当D点在x轴坐标轴时，BC⊥x轴，可求C（1，）；当D点在y轴正半轴时，过点B作HG⊥x轴，过点D作DG⊥y轴交GH于点G，过点C作CH⊥y轴交GH于点H，证明△BDG≌△CBH（AAS），可得C点纵坐标为﹣1，则可求C（﹣4，﹣1）；②设E（t，t+1），过点A作GH⊥x轴，过点E作EG⊥GH交于点G，过点F作FH⊥GH交于点H，先证明△AGE≌△FHA（AAS），可得F（t﹣1，﹣t﹣2），再求设直线AF的解析式为y＝﹣2x﹣4；（3）设l1与x轴的交点为B，l2与x轴的交点为C，过点C作CD⊥l1交于点D，由tan∠BCD＝tan∠BAO＝，可得CD＝2BD，再由+BD＝2BD，求出BD＝CD＝2，BC＝5，求出C（6，0），再求直线AC的解析式为y＝﹣x+2；（4）设点A（x，y），B（m，﹣m），过点A作MN∥x轴，过点P作PN⊥x轴交MN于点N，过点B作MB⊥x轴交MN于点M，证明△ABM≌△PAN（AAS），由AN＝MB，AM＝PN，求出x＝1，则AP＝≥1，当AP最短时A（1，0）．【解答】解：（1）①∵A（0，0），P（1，0），点P关于点A的“顺转点”为点Q，∴AP＝AQ，∠PAQ＝90°，∴Q（0，﹣1），故答案为：（0，﹣1）；②如图1，过点P作PE⊥y轴交于点E，过点Q作QF⊥y轴交于点F，∵∠PAQ＝90°，∴∠EPA+∠FAQ＝90°，∵∠EPA+∠EAP＝90°，∴∠FAQ＝∠EAP，∵AP＝AQ，∴△APE≌△QAF（AAS），∴AF＝EP，AE＝FQ，∵Q（2，﹣1），∴AF＝1，FQ＝2，∴EP＝1，AE＝2，∴P（1，2），故答案为：（1，2）；③∵AP＝AQ，∠PAQ＝90°，∴△PAQ是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角；（2）①设点C关于点B的“顺转点”为D，当D点在x轴坐标轴时，BC⊥x轴，∵B（1，0），点C在直线y＝x+1上，∴C（1，）；如图2，当D点在y轴正半轴时，过点B作HG⊥x轴，过点D作DG⊥y轴交GH于点G，过点C作CH⊥y轴交GH于点H，∵∠DBC＝90°，∴∠DBG+∠CBH＝90°，∵∠DBG+∠GDB＝90°，∴∠CBH＝∠GDB，∵BD＝BC，∴△BDG≌△CBH（AAS），∴DG＝BH，BG＝CH，∵B（1，0），∴DG＝BH＝1，∴C点纵坐标为﹣1，∵点C在直线y＝x+1上，∴C（﹣4，﹣1）；综上所述：C点坐标为（1，）或（﹣4，﹣1）；故答案为：（1，）或（﹣4，﹣1）；②如图3，设E（t，t+1），过点A作GH⊥x轴，过点E作EG⊥GH交于点G，过点F作FH⊥GH交于点H，∵∠EAF＝90°，∴∠EAG+∠HAF＝90°，∵∠GAE+∠GEA＝90°，∴∠HAF＝∠GEA，∵AE＝AF，∴△AGE≌△FHA（AAS），∴AG＝HF，GE＝AH，∵A（﹣2，0），∴GE＝t+2＝AH，AG＝t+1＝HF，∴F（t﹣1，﹣t﹣2），设直线AF的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣2x﹣4，故答案为：y＝﹣2x﹣4；（3）令x＝0，则y＝2，∴A（0，2），如图4，设l1与x轴的交点为B，l2与x轴的交点为C，过点C作CD⊥l1交于点D，∴B（1，0），∵∠BAC＝45°，∴∠ACD＝45°，∴AD＝CD，在Rt△AOC中，∠OAB+∠ACO＝45°，∴∠BCD＝∠AOB，∵tan∠BAO＝，∴＝，∴CD＝2BD，∵AB＝，∴+BD＝2BD，∴BD＝，∴CD＝2，∴BC＝5，∴OC＝6，∴C（6，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+2，故答案为：y＝﹣x+2；（4）设点A（x，y），B（m，﹣m），如图5，过点A作MN∥x轴，过点P作PN⊥x轴交MN于点N，过点B作MB⊥x轴交MN于点M，∵∠PAB＝90°，∴∠MAB+∠NAP＝90°，∵∠MAB+∠MBA＝90°，∴∠NAP＝∠MBA，∵AB＝AP，∴△ABM≌△PAN（AAS），∴AN＝MB，AM＝PN，∴y＝x﹣m，2﹣x＝y+m，∴x＝1，∴A（1，y），∴AP＝≥1，∴当y＝0时，AP最短，∴A（1，0），故答案为：（1，0）．【点评】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键．19．（2022秋•兴化市校级月考）如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB，点P为直线AB上一动点．（1）直线AB的解析式为y＝x+2；（2）若S△APC＝S△AOC，求点P的坐标；（3）当∠BCP＝∠BAO时，求直线CP的解析式及CP的长．【分析】（1）先求出点A，点C坐标，利用待定系数法可求解析式；（2）设点P（m，m+2），分两种情况讨论，利用面积关系列出方程可求m的值，即可求解；（3）分两种情况讨论，由“ASA”可证△AOB≌△COH，可得OH＝OB＝2，可求点H坐标，利用待定系数法可求CH解析式，联立方程组可求点P坐标，由两点距离公式可求解．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，∴点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+2，故答案为：y＝x+2；（2）∵点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），点B（0，2），∴OA＝OC＝4，OB＝2，∴BC＝6，设点P（m，m+2），当点P在线段AB上时，∵S△APC＝S△AOC，∴S△ABC﹣S△PBC＝×4×4，∴×6×4﹣×6×（﹣m）＝8，∴m＝﹣，∴点P（﹣，）；当点P在BA的延长线上时，∵S△APC＝S△AOC，∴S△PBC﹣S△ABC＝×4×4，∴×6×（﹣m）﹣×6×4＝8，∴m＝﹣，∴点P（﹣，﹣），综上所述：点P坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）；（3）如图，当点P在线段AB上时，设CP与AO交于点H，在△AOB和△COH中，，∴△AOB≌△COH（ASA），∴OH＝OB＝2，∴点H坐标为（﹣2，0），设直线PC解析式y＝ax+c，由题意可得，解得：，∴直线PC解析式为y＝﹣2x﹣4，联立方程组得：，解得：，∴点P（﹣，），∴CP＝＝，当点P'在AB延长线上时，设CP'与x轴交于点H'，同理可求直线P'C解析式为y＝2x﹣4，联立方程组，∴点P（4，4），∴CP＝＝4，综上所述：CP的解析式为：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的长为或4．【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．20．（2022秋•高邮市期末）结合已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形M、N的“距离”定义：如果点P为图形M上的任意一点，点Q为图形N上的任意一点，且P、Q两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“距离”，记为d（M，N）特别地，当图形M、N有公共点时，图形M，N的“距离”d（M，N）＝0．（1）如图1，在平面直角坐标系中，∠AOB＝60°，若A（4，0），M（0，2），N（﹣1，0），则d（N，∠AOB）＝1，d（M，∠AOB）＝1；（2）如图2，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），将一次函数y＝kx+6的图象记为L．①若k＞0，且，求k的值；②若d（L，△ABC）＝0，求k的取值范围；（3）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P（3n，﹣4n+4）为平面内一点，则d（O，P）＝．【分析】（1）作MH⊥OB于点H，由d（M，N）的定义可知，d（N，∠AOB）＝ON，d（M，∠AOB）＝MH；（2）①设图象L与y轴交于D，与x轴交于F，作AE⊥L于点E．由可知，根据勾股定理求出，可得△DFO是等腰直角三角形，求出点F的坐标，代入y＝kx+6即可求出k值；②求出图象L经过点B和点C时的k值，结合一次函数的性质即可求出k的取值范围；（3）由P（3n，﹣4n+4）可得点P在直线上，利用面积法求出点O到直线的距离即可求出d（O，P）．【解答】解：（1）∵M（0，2），N（﹣1，0），∴OM＝2，ON＝1，由题意知，d（N，∠AOB）＝ON＝1，如图，作MH⊥OB于点H，∵∠AOB＝60°，∴∠MOH＝30°，∴，∴d（M，∠AOB）＝MH＝1，故答案为：1，1；（2）①如图，设图象L与y轴交于D，与x轴交于F，作AE⊥L于点E．y＝kx+6中，令x＝0，则y＝6，∴D（0，6），∴AD＝OD﹣OA＝6﹣2＝4，∵，∴，∴，∴∠ADE＝45°，∴∠DFO＝45°，∴OF＝OD＝6，∴F（﹣6，0），将F（﹣6，0）代入y＝kx+6，得﹣6k+6＝0，解得k＝1；②图象L经过点B和点C时，图象L与△ABC只有一个交点，符合d（L，△ABC）＝0，当图象L经过点B时，将B（﹣2，0）代入y＝kx+6，得﹣2k+6＝0，解得k＝3，当图象L经过点C时，将C（2，0）代入y＝kx+6，得2k+6＝0，解得k＝﹣3，由一次函数的图象和性质可知，当k＞3或k＜﹣3时，图象L与△ABC有两个交点，满足d（L，△ABC）＝0，故k的取值范围为k≥3或k≤﹣3；（3）令y＝﹣4n+4，x＝3n，则，∴P（3n，﹣4n+4）在直线上，如图，设直线与x轴交于点K，与y轴交于点G，令y＝0，则，解得x＝3，令x＝0，则y＝4，∴K（3，0），G（0，4），∴OK＝3，OG＝4，∴，∵，∴，解得，∴．【点评】本题考查一次函数的图象和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等，解题的关键是理解新定义的意义，将新定义问题转化为学过的数学问题．21．（2022秋•仪征市期末）【模型建立】如图①，在等腰直角三角形ABC中，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．【模型应用】（1）如图②，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，求直线l2对应的函数表达式．（2）如图③，四边形ABCO是长方形，O为坐标原点，点B的坐标为（8，﹣6），点A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，D是直线y＝﹣2x+6上的动点且在第四象限．若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．【分析】【模型建立】根据△ABC为等腰直角三角形，AD⊥ED，BE⊥ED，可判定△ACD≌△CBE；【模型应用】（1）过点B作BC⊥AB，交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，根据△CBD≌△BAO，得出BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，求得C（﹣4，7），最后运用待定系数法求直线l2的函数表达式；（2）根据△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，当点D是直线y＝﹣2x+6上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点D在矩形AOCB的内部时，当点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，﹣2x+6），分别根据△ADE≌△DPF，得出AE＝DF，据此列出方程进行求解即可．【解答】【模型建立】证明：如图1，∵△ABC为等腰直角三角形，∴CB＝CA，∠ACD+∠BCE＝90°，又∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ACD与△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；【模型应用】解：（1）如图2，过点B作BC⊥AB，交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，∵∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，由（1）可知：△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，∵直线l1：y＝x+4中，若y＝0，则x＝﹣3；若x＝0，则y＝4，∴A（﹣3，0），B（0，4），∴BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，∴OD＝4+3＝7，∴C（﹣4，7），设l2的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴l2的解析式：y＝﹣7x﹣21；（2）D（4，﹣2），（）．理由：当点D是直线y＝﹣2x+6上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点D在矩形AOCB的内部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设D（x，﹣2x+6），则OE＝2x﹣6，AE＝6﹣（2x﹣6）＝12﹣2x，DF＝EF﹣DE＝8﹣x，由（1）可得，△ADE≌△DPF，则DF＝AE，即：12﹣2x＝8﹣x，解得x＝4，∴﹣2x+6＝﹣2，∴D（4，﹣2），此时，PF＝ED＝4，CP＝6＝CB，符合题意；当点D在矩形AOCB的外部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设D（x，﹣2x+6），则OE＝2x﹣6，AE＝OE﹣OA＝2x﹣6﹣6＝2x﹣12，DF＝EF﹣DE＝8﹣x，同理可得：△ADE≌△DPF，则AE＝DF，即：2x﹣12＝8﹣x，解得x＝，∴﹣2x+6＝﹣，∴D（，﹣），此时，ED＝PF＝，AE＝BF＝，BP＝PF﹣BF＝＜6，符合题意．综上所述，满足条件的点D的坐标为（4，﹣2）或（，﹣）．【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．22．（2022秋•海陵区校级期末）大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积用不同方式表示”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高BD＝h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB的距离ME＝h1，M到腰AC的距离MF＝h2．（1）请你结合图形1来证明：h1+h2＝h；（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你在图2中画出图形，并直接写出结论不必证明；（3）请利用以上结论解答下列问题，如图3，在平面直角坐标系中有两条直线，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是2，求点M的坐标．【分析】（1）根据S△ABC＝S△ABM+S△AMC即可证明；（2）画出图形根据等面积法可知S△ABC＝S△ABM﹣S△AMC，从而得出结论；（3）先求得△ABC为等腰三角形，再根据（1）（2）的结果分①当点M在BC边上时，②当点M在CB延长线上时，求得M的坐标．③当点M在BC的延长线上时，，不存在；【解答】（1）证明：连接AM，由题意得h1＝ME，h2＝MF，h＝BD，∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC，，，又∵，AB＝AC，∴，∴h1+h2＝h．（2）解：如图所示，根据等面积法可知S△ABC＝S△ABM﹣S△AMC，由（1）可得，，，∴，∵AB＝AC，∴h1﹣h2＝h．（3）解：在中，令x＝0得y＝3；令y＝0得x＝﹣4，所以A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）．，AC＝5，所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．①当点M在BC边上时，由h1+h2＝h得：2+My＝OB＝3，My＝3﹣2＝1，把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx＝，所以此时M（，1）；②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2＝h得：My﹣2＝OB＝3，My＝3+2＝5，把它代入y＝﹣3x+3中求得：，所以此时，③当点M在BC的延长线上时，h1＝2＜h，不存在；综上所述：点M的坐标为M（，1）或．【点评】本题考查一次函数的应用，正确利用三角形面积的计算，等腰三角形的定义，等面积法是解题关键．23．（2022秋•泰兴市期末）如图，直线l1：y＝2x﹣8分别与x轴、y轴交于点A、B，直线l2经过点A和点C（0，1）．（1）求直线AC的表达式；（2）点E是直线l2上的一动点，且点E的横坐标为m，经过点E作y的平行线，交直线l1于点F，以EF为边在EF的右侧作正方形EFGH（正方形的四条边相等，四个角均为直角），连接AH、AG．①直接写出点E和点F的坐标（用含有m的代数式表示）；②当m＜4时，判断点A是否一定在正方形EFGH的内部，并说明理由；③设△AEH的面积为S1，△AFG的面积为S2，若S1+S2＝12.5，求m的值．【分析】（1）求出点A的坐标为（4，0），再用待定系数法可得直线AC的表达式为y＝﹣x+1；（2）①由已知直接可得点E的坐标为（m，﹣m+1），点F的坐标为（m，2m﹣8）；②当m＜4时，可证﹣m+1＞0，点A在EH的下方，由E（m，﹣m+1），F（m，2m﹣8），可得EF＝﹣m+1﹣（2m﹣8）＝﹣m+9＝EH，即得H（﹣m+9，﹣m+1），而﹣m+9＞4，故点A在GH的左侧，从而点A一定在正方形EFGH的内部；③过A作AK⊥FG于K，延长KA交EH于T，由S1+S2＝12.5，可得（﹣m+9）2＝12.5，即可解得m＝或m＝．【解答】解：（1）在y＝2x﹣8中，令y＝0得x＝4，∴点A的坐标为（4，0），设直线AC解析式为y＝kx+b，将A（4，0），C（0，1）代入得：，解得，直线AC的表达式为y＝﹣x+1；（2）①根据题意得：点E的坐标为（m，﹣m+1），点F的坐标为（m，2m﹣8）；②点A一定在正方形EFGH的内部，理由如下：∵m＜4，∴﹣m+1＞0，∴点A在EH的下方，∵E（m，﹣m+1），F（m，2m﹣8），∴EF＝﹣m+1﹣（2m﹣8）＝﹣m+9，∴EH＝﹣m+9，∴H（﹣m+9，﹣m+1），∵m＜4，∴﹣m+9＞4，∴点A在GH的左侧，∴点A一定在正方形EFGH的内部；③过A作AK⊥FG于K，延长KA交EH于T，如图：∵四边形EFGH是正方形，作AK⊥FG，∴四边形EFKT是矩形，∴AT⊥EH，EF＝KT，由②知正方形EFGH的边长为﹣m+9，∴EH＝FG＝EF＝TK＝﹣m+9，∵S1＝EH•AT，S2＝FG•AK，∴S1+S2＝（﹣m+9）•AT+（﹣m+9）•AK＝（﹣m+9）（AT+AK）＝（﹣m+9）•TK＝（﹣m+9）•（﹣m+9）＝（﹣m+9）2，∵S1+S2＝12.5，∴（﹣m+9）2＝12.5，解得m＝或m＝．【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，正方形的性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．24．（2022秋•灌南县校级月考）模型建立：（1）如图1，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥DE于D，过B作BE⊥DE于E．求证：△BEC≌△CAD；模型应用：（2）已知直线l1：y＝x﹣4与y轴交于A点，将直线l1绕着A点顺时针旋转45°至l2，如图2，求l2的函数解析式；模型拓展：（3）如图3，在直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内．若△APQ是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点Q的坐标．【分析】（1）根据余角的性质，可得∠ACD＝∠CBE，根据全等三角形的判定，可得答案；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，根据待定系数法，可得AC的解析式；（3）根据全等三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∵∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE．在△ACD和△CBE中，，∴△CAD≌△BCE（AAS）；（2）解：∵直线y＝x﹣4与y轴交于点A，与x轴交于点B，∴A（0，﹣4）、B（3，0）．如图2，过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴，∵将直线l1绕着A点顺时针旋转45°至l2，∴∠BAC＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∵∠AOB＝∠ABC＝∠BDC＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝∠ABO+∠DBC＝90°，∴∠BAO＝∠DBC，在△BDC和△AOB中，，∴△BDC≌△AOB（AAS），∴CD＝BO＝3，BD＝AO＝4．OD＝OB+BD＝3+4＝7，∴C点坐标为（7，﹣3）．设l2的解析式为y＝kx+b，将A，C点坐标代入，得，解得∴l2的函数表达式为y＝x﹣4；（3）解：由题意可知，点Q是直线y＝2x﹣6上一点．如图3，过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F．，在△AQE和△QPF中，，∴△AQE≌△QPF（AAS），∴AE＝QF，即6﹣（2a﹣6）＝8﹣a，解得a＝4，如图4，过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F，，∵AE＝2a﹣12，FQ＝8﹣a．在△AQE和△QPF中，，∴△AQE≌△QPF（AAS），∴AE＝QF，即2a﹣12＝8﹣a，解得a＝；综上所述：A、P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，a的值为或4．【点评】本题是一次函数综合题，考查了余角的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式；利用全等三角形的性质得出关于a的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．25．（2022秋•亭湖区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向下平移2个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）设一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，则在y轴上是否存在一点P，使得∠ABO＝2∠BPA，如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）若一次函数y＝mx﹣9m（m≠0）的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点C，与x轴交于点D，当∠OAB+∠ODC＝45°时，求m的值．【分析】（1）根据一次函数平移特点求出一次函数解析式即可；（2）先根据题意画出图形，求出A（4，0），（﹣2，0），得出AO＝4，BO＝2，求出，然后分两种情况求出点P的坐标即可；（3）根据题意画出图形，过点D作DH⊥BA于点H，过点C作CG⊥x轴于点G，证明△AOB∽△AGC∽△AHD，求出AH＝2DH，在Rt△ADH中，根据勾股定理求出，，根据等腰三角形的性质求出，得出，根据相似三角形的性质，求出CG＝1，AG＝2，求出点C的坐标，将点C的坐标代入函数解析式即可求出m的值；求出直线与y轴的交点E，作点E关于x轴的对称点F，连接DF，交直线于点C'，此时直线DE，DF关于x轴对称，根据对称性得出∠ODC＝∠ODC'，证明∠OAB+∠ODC'＝45°，得出点C'也满足题意，将F（0，﹣3）代入求出此时m的值即可．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数的图象向下平移2个单位长度得到，∴这个一次函数的解析式为；（2）存在；理由如下：∵一次函数的与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴A（4，0），（﹣2，0），∴AO＝4，BO＝2，∴，当点P在点B下方时，∵∠ABO＝2∠BPA，∠ABO＝∠ABP+∠BAP，∴∠ABP＝∠BAP，∴，∴点；当点P'在点B上方时，∵∠APB＝∠AP'B，∴AP＝AP'，∵AO⊥PP'，∴，∴点；综上分析可知，点P的坐标为：或．（3）直线与x轴，y轴的两个交点坐标分别为：A（4，0），B（0，﹣2），∵y＝mx﹣9m＝m（x﹣9）∴当x＝9时，y＝0，∴一次函数y＝mx﹣9m（m≠0）的图象一定经过点D（9，0），∴AD＝OD﹣OA＝5，过点D作DH⊥BA于点H，过点C作CG⊥x轴于点G，∵∠1＝∠2，∠AOB＝∠AGC＝∠AHD＝90°，∴△AOB∽△AGC∽△AHD，∴，即，即AH＝2DH，在Rt△ADH中，根据勾股定理得：DH2+AH2＝AD2＝52＝25，∴DH2+（2DH）2＝25，解得：或（舍去），∴，∵∠OAB+∠ODC＝∠2+∠3＝∠4＝45°，∴∠5＝90°﹣∠4＝45°，∴∠4＝∠5，∴，∴，∵△AOB∽△AGC，∴，即，解得：CG＝1，AG＝2，∴OG＝AO+AG＝6，∴点C的坐标为（6，1），把（6，1）代入y＝mx﹣9m（m≠0）得：6m﹣9m＝1，解得：；∴直线CD解析式为，把x＝0代入得：y＝3，∴点E的坐标为（0，3），则点E关于x轴的对称点F（0，﹣3），连接DF，交直线于点C'，此时直线DE，DF关于x轴对称，∴∠ODC＝∠ODC'，∴此时∠OAB+∠ODC'＝45°，∴点C'也满足题意，把F（0，﹣3）代入y＝mx﹣9m（m≠0）得：﹣9m＝﹣3，解得：；综上分析可知，m的值为或．【点评】本题主要考查了一次函数的平移，求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，解题的关键是根据题意作出图形，数形结合．26．（2022秋•亭湖区校级月考）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．（1）求直线l2的解析式；（2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为M，N，当点M位于点N上方时．①请直接写出n的取值范围n＞1；②若MN＝AB，求点M的坐标．【分析】（1）先求出点C的坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）①根据当点M、N在点C右边时，点M位于点N上方，写出n的取值范围即可；②先求出点B的坐标，用n表示出点M、N的坐标，然后根据MN＝AB列出关于n的方程，解方程得出n的值，即可得出答案．【解答】解：（1）把C（1，m）代入l1：y＝x+3得：m＝1+3＝4，∴点C的坐标为（1，4），设直线l2的解析式为y＝kx+b（