大学物理学理论力学-欧拉角

对于欧拉角的认识[摘要]基于欧拉角的学习，加深认识关于欧拉角的相关知识点。定点运动的刚休可由欧拉角来描写出发，通过计算刚体上任意一点的速度来引入刚体的角速度。从欧拉角的理解中做到熟练掌握欧拉角、欧拉角的矩阵形式的表示、明确欧勒角的含义和它为什么完整的描述了定点转动刚体的运动状态，以及欧拉角在刚体力学中的具体应用，从而更好的理解欧拉角。[关键词]欧拉角的定义；角速度；角加速度；刚体定点转动的应用1：欧拉角的定义虽然当刚体作定点转动时，我们可选这个定点作为坐标系的原点，而用三个独立的角度来确定转动轴在空间的取向和刚体绕该轴线所转过的角度。刚体转动可以表示为空间坐标系到本体坐标系的一个正交变换，变换矩阵由9个方向余弦决定，但它们中只有3个是独立的，使用起来不方便。最好能用有明确几何意义的3个变量来描述刚体的位置，前面已证明，可以给出刚体上的一个轴的方向，和刚体绕这个轴的转角来描述刚体定点运动的位置，因此我们可以用类似球坐标中的极角和方位角来给出轴的取向，再加上绕这个轴旋转的角度，三个角度来描述刚体的定点转动，它们合称为欧拉角我们要把本体坐标系和空间坐标系间的正交变换用欧拉角表示出来。如上图所示，向由和决定，而是刚体绕该轴的转角。从坐标变换的角度看，本体坐标转到图(c)的状态，可以分解为从图(a)经过(b)，通过相继三次2D旋转得到的(假定开始时本体坐标系与空间坐标系重合)：⑴本体坐标系绕轴在平面上旋角：⑵，本体坐标系绕轴在平面转过角：⑶本体坐标绕轴在平面(阴影)转过角：变换矩阵就是三个2D变换矩阵之积：它们由3个欧拉角决定。2：欧拉角的角速度在图4.3.7(c)的状态，考虑刚体有一无穷小转动，3个欧拉角相应有无穷小变化，刚体绕瞬时轴转动的角速度是刚体绕z轴的角速度，绕轴的角速度，和绕ON轴的角速度的矢量和，即:其中是ON轴的单位矢量，注意z轴在阴影面的投影是OM，从图(c)容易看到：因此在本体坐标系的分量在空间坐标中注意假设那么轴在平面的投影就在方向，时该投影转过了角，因此角速度在空间坐标系的分量为：3：欧拉角方程定点转动的动力学方程是角动量定理：刚体定点转动的角动量4：欧拉角的应用⑴刚体力学中的欧拉角为了描述刚体的位形，通常取两个坐标系：以固定点o为原点固定在空间(静止坐标系)；固定在刚体上并随刚体运动(动坐标系),取t=0时两坐标系的坐标轴重合，那么刚体的运动可用坐标坐标系相对于来表示，如图(e)所示。图中:ON-固定坐标平面与动坐标平面的交线(节线)。轴与间的夹角，描述了轴(刚体自转轴〕绕转动〔进动角〕。轴与轴间的夹角是刚体自转轴绕ON转动角(章动角)节线与轴间的夹角，刚体绕轴的转动角(自转角)上述三个角坐标称为欧拉角，确定了定点转动刚体在空间的位置，其变化范围为⑵欧拉陀螺假设刚体所受的外力的合力通过固定点〔即外力矩为零〕，那么刚体因惯性自由转动，如分子的转动、地球的自转等，称为欧拉陀螺。以地球自转为例。如图(f)地球是个扁平的均匀球体，假设不考虑太阳、月球及其他行星的引力，那么地球是对称的欧拉陀螺(),其运动方程为：由上式中的第三式：=常数②将①代入②的第一、二式由③式，得那么地球自转角速度的大其中的方向：绕对称轴oz以等角速度n转动，如图(g)所示。为了找出三个欧拉角的运动规律，取〔=常数〕方向为oz方向，如图(h)所示有将④和⑤代入上式：比拟以上二式，可解上式，可得三个欧拉角的运动情况：可见：陀螺无章动，只有自转和进动—规那么进动。[参考文献]引入刚体角速度的另一种方法[J]1994年6月河北师范大学学报(自然科学版)第18卷第2期刚体力学幻灯片讲义[N]用微分算子表示的欧拉方程[J]l991年3月第12卷第