高考数学一轮复习 第九章 解析几何 课时达标检测（四十）椭圆 文-人教版高三数学试题

课时达标检测（四十）椭圆[小题对点练——点点落实]对点练(一)椭圆的定义和标准方程1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,5)＋y2＝1B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,5)＋y2＝1或eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1D．以上答案都不对解析：选C直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,5)＋y2＝1.当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,5)＋eq\f(x2,4)＝1.2．已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝()A．4 B．8C．12 D．16解析：选B设MN的中点为D，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，如图，连接DF1，DF2，因为F1是MA的中点，D是MN的中点，所以F1D是△MAN的中位线，则|DF1|＝eq\f(1,2)|AN|，同理|DF2|＝eq\f(1,2)|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)，因为D在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF1|＋|DF2|＝4，所以|AN|＋|BN|＝8.3．已知三点P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)，那么以F1，F2为焦点且经过点P的椭圆的短轴长为()A．3 B．6C．9 D．12解析：选B因为点P(5,2)在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝eq\r(5)，|PF1|＝5eq\r(5)，所以2a＝6eq\r(5)，即a＝3eq\r(5)，c＝6，则b＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.4.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2eq\r(5)，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,30)＋eq\f(y2,10)＝1 D.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,25)＝1解析：选B设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连接PF′，如图所示．因为F(－2eq\r(5)，0)为C的左焦点，所以c＝2eq\r(5).由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝eq\r(|FF′|2－|PF|2)＝eq\r(4\r(5)2－42)＝8.由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝4＋8＝12，所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2eq\r(5))2＝16，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1.5．已知点M(eq\r(3)，0)，椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1与直线y＝k(x＋eq\r(3))交于点A，B，则△ABM的周长为________．解析：M(eq\r(3)，0)与F(－eq\r(3)，0)是椭圆的焦点，则直线AB过椭圆的左焦点F(－eq\r(3)，0)，且|AB|＝|AF|＋|BF|，△ABM的周长等于|AB|＋|AM|＋|BM|＝(|AF|＋|AM|)＋(|BF|＋|BM|)＝4a＝8.答案：86．若方程eq\f(x2,|a|－1)＋eq\f(y2,a＋3)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．解析：因为方程eq\f(x2,|a|－1)＋eq\f(y2,a＋3)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以|a|－1>a＋3>0，解得－3<a<－2.答案：(－3，－2)对点练(二)椭圆的几何性质1.如图所示，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PAOB为正方形，则椭圆的离心率为()A.eq\f(3,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(\r(3),3)解析：选B由题意知|OA|＝|AP|＝b，|OP|＝a，OA⊥AP，所以2b2＝a2，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，故e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(2),2)，故选B.2．已知F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，eq\o(EF1,\s\up7(→))·eq\o(EF2,\s\up7(→))的最大值、最小值分别为()A．9,7 B．8,7C．9,8 D．17,8解析：选B由题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，设E(x，y)，则eq\o(EF1,\s\up7(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(EF2,\s\up7(→))＝(1－x，－y)，所以eq\o(EF1,\s\up7(→))·eq\o(EF2,\s\up7(→))＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－eq\f(8,9)x2＝eq\f(1,9)x2＋7(－3≤x≤3)，所以当x＝0时，eq\o(EF1,\s\up7(→))·eq\o(EF2,\s\up7(→))有最小值7；当x＝±3时，eq\o(EF1,\s\up7(→))·eq\o(EF2,\s\up7(→))有最大值8.故选B.3．焦点在x轴上的椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为eq\f(b,3)，则该椭圆的离心率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：选C短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积S＝eq\f(1,2)×2c×b＝eq\f(1,2)×(2a＋2c)×eq\f(b,3)，整理得a＝2c，即e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).故选C.4．已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq\f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))解析：选A根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝eq\f(|3×0－4×b|,\r(32＋－42))≥eq\f(4,5)，所以1≤b＜2，而e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\f(b2,4))，所以0＜e≤eq\f(\r(3),2).5．已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<2)与y轴交于A，B两点，点F为椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为________．解析：由题意可知b2＋c2＝4，则△ABF的面积为eq\f(1,2)×2bc＝bc≤eq\f(b2＋c2,2)＝2，当且仅当b＝c＝eq\r(2)时取等号．答案：26．已知椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若|k1·k2|＝eq\f(1,4)，则椭圆的离心率为________．解析：设M(x0，y0)，则N(x0，－y0)，|k1·k2|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0＋a)·\f(y0,a－x0)))＝eq\f(y\o\al(2,0),a2－x\o\al(2,0))＝eq\f(b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),a2))),a2－x\o\al(2,0))＝eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，从而e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)7．已知椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，以原点为圆心，椭圆的短轴为直径作圆．若点P是圆O上的动点，则|PF1|2＋|PF2|2的值是________．解析：由椭圆方程可知a2＝4，b2＝1，∴c2＝4－1＝3，∴c＝eq\r(3)，a＝2，b＝1.∴F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)．圆O的方程为x2＋y2＝1.设P(x0，y0)，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝1.∴|PF1|2＋|PF2|2＝[(x0＋eq\r(3))2＋yeq\o\al(2,0)]＋[(x0－eq\r(3))2＋yeq\o\al(2,0)]＝2(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＋6＝8.答案：88.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2解析：设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，∠B1PA2为钝角可转化为B2A2→，F2B1→所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)＜0，即b2＜ac，则a2－c2＜ac，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋eq\f(c,a)－1＞0，即e2＋e－1＞0，e＞eq\f(\r(5)－1,2)或e＜eq\f(－\r(5)－1,2)，又0＜e＜1，所以eq\f(\r(5)－1,2)＜e＜1.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，1))[大题综合练——迁移贯通]1．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若eq\o(AF2,\s\up7(→))＝2eq\o(F2B,\s\up7(→))，eq\o(AF1,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)，求椭圆的方程．解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝eq\r(2)c，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝eq\r(a2－b2)，设B(x，y)．由eq\o(AF2,\s\up7(→))＝2eq\o(F2B,\s\up7(→))，得(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝eq\f(3c,2)，y＝－eq\f(b,2)，即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3c,2)，－\f(b,2))).将B点坐标代入eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(\f(9,4)c2,a2)＋eq\f(\f(b2,4),b2)＝1，即eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,4)＝1，解得a2＝3c2.①又由eq\o(AF1,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－c，－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3c,2)，－\f(3b,2)))＝eq\f(3,2)，得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.所以椭圆的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.2．设F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C在第一象限上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为eq\f(3,4)，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解：(1)根据c＝eq\r(a2－b2)及题设知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，由kMN＝kMF1＝eq\f(3,4)，得eq\f(\f(b2,a)－0,c－－c)＝eq\f(3,4)，即2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(c,a)＝－2(舍去)．故C的离心率为eq\f(1,2).(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故eq\f(b2,a)＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－c－x1＝c，,－2y1＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)c，,y1＝－1.))代入C的方程，得eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,b2)＝1.②将①及c＝eq\r(a2－b2)代入②得eq\f(9a2－4a,4a2)＋eq\f(1,4a)＝1，解得a＝7，b2＝4a故a＝7，b＝2eq\r(7).3．设F1，F2分别是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，