高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 课时分层作业 三十七 6.4 合情推理与演绎推理 文-人教版高三数学试题

课时分层作业三十七合情推理与演绎推理一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列结论正确的个数为 ()(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理.(3)“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.(4)在平面内,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为1∶8.A.0B.1C.2D.3【解析】选D.(1)不正确,(2)(3)(4)正确.2.(2018·武汉模拟)演绎推理“因为对数函数y=logax(a>0且a≠1)是增函数,而函数y=lox是对数函数,所以y=lox是增函数”所得结论错误的原因是()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.大前提和小前提都错误【解析】选A.因为当a>1时,y=logax在定义域内单调递增,当0<a<1时,y=logax在定义域内单调递减,所以大前提错误.【变式备选】(2018·南阳模拟)某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班,每人4天.甲说:我在1日和3日都有值班;乙说:我在8日和9日都有值班;丙说:我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是 ()A.2日和5日 B.5日和6日C.6日和11日 D.2日和11日【解析】选C.1～12日期之和为78,三人各自值班的日期之和相等,故每人值班四天的日期之和是26,甲在1日和3日都有值班,故甲余下的两天只能是10日和12日;而乙在8日和9日都有值班,8+9=17,所以11日只能是丙去值班了.余下还有2日、4日、5日、6日、7日五天,显然,6日只能是丙去值班了.3.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为1,第二行为3,5,第三行为7,9,11,第四行为13,15,17,19,如图所示,在宝塔形数表中位于第i行,第j列的数记为ai,j,比如a3,2=9,a4,2=15,a5,4=23,若ai,j=2017,则i+j= ()1351197131517192927252321……A.64 B.65 C.71 【解析】选D.奇数数列an=2n-1=2017⇒n=1009,按照蛇形排列,第1行到第i行末共有1+2+…+i=个奇数,则第1行到第44行末共有990个奇数;第1行到第45行末共有1035个奇数;则2017位于第45行;而第45行是从右到左依次递增,且共有45个奇数;故2017位于第45行,从右到左第19列,则i=45,j=27⇒i+j=72.4.在平面几何中,有如下结论:正△ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则=,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则等于 ()A. B. C. D.【解析】选D.正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3,所以体积之比为=.5.(2018·合肥模拟)为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2),信息为h0a0a1a2h1,其中h0=a0⊕a1,h1=h0⊕a2,⊕运算规则为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.A.11010 B.01100 C.10111 D.00【解析】选C.对于选项C,传输信息是10111,对应的原信息是011,由题目中运算规则知h0=0⊕1=1,而h1=h0⊕a2=1⊕1=0,故传输信息应是10110.【变式备选】(2018·福州模拟)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a,b,c,d∈N*),则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道π=3.14159…,若令<π<,则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即<π<,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为 ()A. B. C. D.【解析】选A.由题意:第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即<π<,第二次用“调日法”后得是π的更为精确的不足近似值,即<π<,第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即<π<,第四次用“调日法”后得=是π的更为精确的过剩近似值,即<π<.二、填空题(每小题5分,共15分)6.观察如图,可推断出“x”处应该填的数字是________.

【解析】由前两个图形发现:中间数等于四周四个数的平方和,所以“x”处应填的数字是32+52+72+102=183.答案:1837.在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),其中λ>0,{an}的通项公式是________.

【解析】a1=2,a2=2λ+λ2+(2-λ)·2=λ2+22,a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)·22=2λ3+23,a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)·23=3λ4+24.由此猜想出数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n.答案:an=(n-1)λn+2n8.(2018·沈阳模拟)某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度相等,两两夹角为120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°,…,依此规律得到n级分形图.则n级分形图中共有________条线段.

【解析】由题图知,一级分形图有3=3×2-3条线段,二级分形图有9=3×22-3条线段,三级分形图中有21=3×23-3条线段,按此规律n级分形图中的线段条数为3×2n-3(n∈N*).答案:3×2n-3(n∈N*)三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018·广州模拟)已知点Pn(an,bn)满足an+1=an·bn+1,bn+1=(n∈N*)且点P1的坐标为(1,-1). (1)求过点P1,P2的直线l的方程.(2)试用数学归纳法证明:对于n∈N*,点Pn都在(1)中的直线l上.【解析】(1)由P1的坐标为(1,-1)知a1=1,b1=-1.所以b2==,a2=a1·b2=.所以点P2的坐标为.所以直线l的方程为2x+y=1.(2)①当n=1时,2a1+b1=2×1+(-1)=1成立.②假设n=k(k∈N*,k≥1)时,2ak+bk=1成立,则2ak+1+bk+1=2ak·bk+1+bk+1=(2ak+1)===1,所以当n=k+1时,命题也成立.由①②知,对n∈N*,都有2an+bn=1,即点Pn都在直线l上.在锐角三角形ABC中,求证:sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.【证明】因为△ABC为锐角三角形,所以A+B>,即A>-B,又因为y=sinx在上是增函数,所以sinA>sin=cosB,同理可得sinB>cosC,sinC>cosA,故sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.10.在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于点D,求证:=+,那么在四面体A-BCD中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由. 【解析】如图所示,由射影定理得AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,AC2=BC·DC,所以===.又BC2=AB2+AC2,所以==+.猜想,四面体A-BCD中,AB,AC,AD两两垂直,AE⊥平面BCD,则=++.证明:如图,连接BE并延长交CD于F,连接AF.因为AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A,AC⊂平面ACD,AD⊂平面ACD,所以AB⊥平面ACD.因为AF⊂平面ACD,所以AB⊥AF.在Rt△ABF中,AE⊥BF,所以=+.在Rt△ACD中,AF⊥CD,所以=+,所以=++.1.(5分)若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:a∈R,结论是:a2>0,那么这个演绎推理出错在 ()A.大前提 B.小前提C.推理过程 D.没有出错【解析】选A.要分析一个演绎推理是否正确,主要观察所给的大前提、小前提和推理形式是否都正确,只有这几个方面都正确,才能得到这个演绎推理正确.本题中大前提:任何实数的平方都大于0,是不正确的.2.(5分)如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是 ()【解析】选A.依照该五角星连续呈现阴影的两个角按逆时针方向旋转的规律性知,下一个呈现出来的图形是A.【变式备选】如图所示是由长为1的小木棒拼成的图形,其中第n个图形由n个正方形组成:观察图形,根据第1个、第2个、第3个、第4个图形中小木棒的根数,得出第n个图形中,小木棒的根数为______.

【解析】观察题干中图形可得,第1个、第2个、第3个、第4个图形中小木棒的根数分别为4,7,10,13,而4=3×1+1,7=3×2+1,10=3×3+1,13=3×4+1,由归纳推理得,第n个图形中,小木棒的根数为3n+1.答案:3n+13.(5分)(2018·合肥模拟)已知点A(x1,),B(x2,)是函数y=ax(a>1)的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段AB总是位于A,B两点之间函数图象的上方,因此有结论>成立.运用类比思想方法可知,若点A(x1,sinx1),B(x2,sinx2)是函数y=sinx(x∈(0,π))的图象上的不同两点,则类似地有________成立. 【解析】运用类比思想与数形结合思想,可知y=sinx(x∈(0,π))的图象是上凸的,因此线段AB的中点的纵坐标总是小于函数y=sinx(x∈(0,π))图象上的点(,sin)的纵坐标,即<sin成立.答案:<sin4.(12分)设f(x)=,先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.世纪金榜导学号37680576【解析】f(0)+f(1)=+=+=+=,同理可得f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=.由此猜想f(x)+f(1-x)=.证明:f(x)+f(1-x)=+=+=+==.5.(13分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.【解析】(1)选择②式(也可选择其他式子),计算如下:sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)=.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα·(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+c