高考复习2数学课件

第三节圆的方程

方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定表示圆吗？提示:当D2+E2-4F＞0时，表示圆；当D2+E2-4F=0时，表示一个点当D2+E2-4F＜0时，不表示任何图形.1.已知点A(１，－１)，B(-1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()(A)x2+y2=2(B)x2+y2=(C)x2+y2=1(D)x2+y2=4【解析】选A.圆心坐标为(0,0),半径∴圆的方程为x2+y2=2.2.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是()(A)a＜-2或a＞(B)-＜a＜0(C)-2＜a＜0(D)-2＜a＜【解析】选D.方程表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2+a-1)＞0,∴-2＜a<.3.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是()(A)30(B)18(C)6(D)5【解析】选C.圆的方程配方得(x-2)2+(y-2)2=18,故圆心C(2,2),半径R=3，设圆心与直线的距离为d，则∴圆上点到直线的距离最大值为d+R=8最小值为d-R=2∴(d+R)-(d-R)=4.若点(１，１)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则实数a的取值范围是()(A)-1＜a＜1(B)0＜a＜1(C)a＞1或a＜-1(D)a=±1【解析】选A.∵点(１，１)在圆内，∴(1-a)2+(1+a)2＜4,即-1＜a＜1.5.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为则a的值为_____.【解析】将圆的方程化为标准方程得(x-1)2+(y-2)2=5,故圆心(1，2)到直线的距离得a=0或a=2.答案:0或26.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为_____.【解析】直线方程变为(x+1)a-x-y+1=0,由∴C(-1,2).∴所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.即:x2+y2+2x-4y=0.答案:x2+y2+2x-4y=01.方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：①B=0；②A=C≠0;③D2+E2-4AF＞0.2.由圆的一般方程求圆心和半径的方法用配方法求解.3.确定圆的方程时，常用到的圆的几个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在任一弦的中垂线上;(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.

求圆的方程【例1】求经过点A(5，2)，B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程.【审题指导】抓住圆经过点A,B及圆心在直线2x-y-3=0上,既可以利用圆的几何特征直接求圆的方程，也可以选择标准方程或一般方程用待定系数法求.1【自主解答】方法一：∵圆过A(5，2)，B(3,-2)两点，∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.线段AB的垂直平分线方程为y=(x-4).设所求圆的圆心坐标为C(a,b)，则有∴C(2,1),r＝｜CA｜＝∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.方法二：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则解得∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.方法三：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0),则解得D=-4,E=-2,F=-5.∴所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-5=0.【规律方法】1.利用圆的几何性质求方程：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.2.利用待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，从而求出D，E，F的值.【变式训练】若不同的四点A(5，0),B(-1,0),C(-3,3),D(a,3)共圆，求a的值.【解析】设经过A，B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0),由题意可得解得∴A,B,C三点确定的圆的方程为x2+y2-4x--5=0.∵D(a,3)也在此圆上，∴a2+9-4a-25-5=0.∴a=7或a=-3(舍去).

与圆有关的最值问题【例2】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1＝0.(1)求y-x的最大值和最小值；(2)求x2+y2的最大值和最小值.【审题指导】抓住(x,y)为圆上的点，利用y-x、x2+y2的几何意义，数形结合求解.2【自主解答】(1)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时解得b=-2±.所以y-x的最大值为-2+，最小值为-2-.(2)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为所以x2+y2的最大值是x2+y2的最小值是【规律方法】研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解.一般地，(1)形如型的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值问题；(2)形如t=ax+by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题;(3)形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题.【互动探究】在本例条件下,求的最大值和最小值.【解析】

可视为点(x,y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值和最小值.设过原点的直线方程为y=kx,由已知，相切时，有解得k=±,所以【变式训练】已知点(x,y)在圆(x-2)2+(y+3)2=1上.(1)求x+y的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值.【解析】(1)设t=x+y,则y=-x+t,t可视为直线y=-x+t的纵截距，所以x+y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距.由直线与圆相切得，圆心到直线的距离等于半径，即解得t=-1或t=--1,所以x+y的最大值为-1，最小值为--1.(2)即其最值可视为点(x,y)到定点(-1，2)的距离的最值，可转化为圆心(2，-3)到定点(-1，2)的距离与半径的和或差，又因为圆心到定点(-1，2)的距离为所以的最大值为最小值为

利用二元二次方程表示圆的条件求参数问题【例】已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0(t∈R)的曲线是圆.(1)求t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程.【审题指导】第(1)题抓住曲线是圆，构建关于t的不等式求解；第(2)题关键是使半径最大.【规范解答】(1)方程可化为(x-t-3)2+(y+1-4t2)2=-7t2+6t+1.∵r2=-7t2+6t+1＞0，∴＜t＜1.(2)∴当t=时，rmax=此时面积最大，所对应的圆的方程是【规律方法】含参数的方程若表示圆，需对参数的取值范围进行讨论.如方程(x-a)2+(y-b)2=r2表示圆的充要条件是r2＞0.解决含参数的圆的面积的最值问题关键在于圆的半径，先用参数把半径表示出来，求出半径的最值从而可解决面积的最值.【变式备选】由方程x2+y2+x+(m-1)y+m2=0所确定的圆中，最大面积是多少？【解析】由题知∴当m=-1时，

与圆有关的轨迹问题【例3】已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9，过点A(2,3)作圆C的任意弦，求这些弦的中点P的轨迹方程.【审题指导】关键抓住弦的中点P与圆心C的连线和点P与点A的连线垂直这一关系，用直接法或定义法求解.3【自主解答】方法一：直接法设P(x,y)，圆心C(１，１).∵P点是过A的弦的中点，又∵＝(2-x,3-y),=(1-x,1-y),∴(2-x)·(1-x)+(3-y)(1-y)=0,∴P点的轨迹方程为∴P点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.方法二：定义法：由已知知，PA⊥PC,∴由圆的性质知点P在以AC为直径的圆上，圆心C(1，1)，而AC中点为所以半径为所求动点P的轨迹方程为【规律方法】求与圆有关的轨迹问题时，要注意圆的有关性质的应用，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)若由动点满足的等量关系能判定出轨迹的形状，用定义法定形状写出方程，否则用直接法.(2)若动点与另外动点有关，而另外动点又满足一定的约束条件，用相关点法(代入法).提醒：注意求轨迹与求轨迹方程的不同.【变式训练】1.一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2+8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为()(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线【解析】选C.设圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),圆x2+y2+8x+12=0的圆心为O1(-4,0),O′为动圆的圆心，r为动圆的半径，则｜O′O1｜-｜O′O｜=(r+2)-(r+1)=1,由双曲线的定义知，选C.2.点P(4，-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()(A)(x-2)2+(y+1)2=1(B)(x-2)2+(y+1)2=4(C)(x+4)2+(y-2)2=4(D)(x+2)2+(y-1)2=1【解析】选A.设圆上任一点为Q(s,t),PQ的中点为A(x,y),则代入已知圆的方程，得(2x-4)2+(2y+2)2=4，整理得(x-2)2+(y+1)2=1.

选择方程不当或计算失误【典例】(2010·新课标全国卷)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为_____.【审题指导】解答本题关键抓住圆C过A,B两点，则圆心C在AB的中垂线上，又由圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2，1)，可得圆心C亦在与x-y-1=0垂直的直线BC上，由此可求得圆心C的坐标，从而求得圆的方程.【规范解答】由已知圆C过A(4，1)，B(2,1)两点，∴直线AB的垂直平分线x=3过圆心C,又圆C与直线y=x-1相切于点B(2,1)，∴kBC=-1，∴直线BC的方程为y-1=-(x-2),得y=-x+3,由得圆心C的坐标为(3，0)，∴圆的方程为(x-3)2+y2=2.答案:(x-3)2+y2=2【误区警示】在解答本题时有两点容易造成失误一是选择的方程不当，造成构建的关于待定系数的方程组过于复杂无法求解而失误；二是虽选择了恰当的方程，但不能灵活运用圆的有关性质，而使计算过繁而失误.因此求圆的方程时，以下两点要注意，1.要特别记住：若直线和圆相切，则圆心在过切点且和切线垂直的直线上；若圆经过A，B两点，则圆心在线段AB的垂直平分线上.2.在列出方程组后，解方程组时计算一定要细而准.【变式训练】求圆心在直线y=-4x上，且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的方程.【解析】过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆心(1，-4).∴半径r＝∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.1.(2011·天津模拟)圆x2+y2-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是()(A)(x+3)2+(y-2)2=(B)(x-3)2+(y+2)2=(C)(x+3)2+(y-2)2=2(D)(x-3)2+(y+2)2=2【解析】选C.排除法，由x2+y2-2x-1=0得(x-1)2+y2=2,知圆心O1(1，0)，半径为故排除A、B.又C中圆心O2(-3，2)，O1O2中点(-1，1)在直线2x-y+3=0上，而D中圆心O3(3,-2)，O1O3中点(2，-1)不在直线2x-y+3=0上,排除D,故选C.2.(2011·广州模拟)已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点，则△ABC的面积最小值是()(A)(B)(C)(D)【解题提示】关键求点C到直线AB距离的最小值，即圆心到lAB的距离减半径.【解析】选A.lAB：x-y+2=0,圆心(1，0)到l的距离∴AB边上的高的最小值为3.(2010·上海高考)圆C：x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=_____.【解析】∵x2+y2-2x-4y+4=0,∴(x-1)2+(y-2)2=1.圆心(1,2)到直线3x+4y+4=0的距离答案:34.(2010·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是_____.【解题提示】关键是通过数形结合,将条件转化为圆心(0，0)到直线12x-5y+c=0的距离问题,进而求解.【解析】画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，该圆半径为2，即圆心O(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离d＜1,即-13＜c＜13.答案:(-13，13)一、选择题(每小题4分，共20分)1.若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆，则a的值是()(A)-1(B)2(C)-1或2(D)1【解析】选A.因为方程表示圆，所以有a2=a+2且(2a)2+02-4a2·a＞0,解得a=-1.2.(2011·三明模拟)已知圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为()(A)(x+2)2+(y-2)2=1(B)(x-2)2+(y+2)2=1(C)(x+2)2+(y+2)2=1(D)(x-2)2+(y-2)2=1【解析】选B.设圆C2的圆心为(a,b)，则依题意，有对称圆的半径不变，为1，故选B.3.(2011·福建四校模拟)一束光线从点A(-1，1)出发，经x轴反射到圆C：(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是()(A)(B)(C)4(D)5【解析】选C.设C关于x轴的对称点为B，如图所示，最短路程即为AB-1.而∴|AB|-1=5-1=4,故选C.4.若直线ax+2by-2=0(a＞0,b＞0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长，则的最小值为()(A)1(B)5(C)4(D)3+2【解析】选D.由(x-2)2+(y-1)2=13,得圆心(2，1)，∵直线平分圆的周长，即直线过圆心.∴a+b=1.∴的最小值为3+2.5.(2011·厦门模拟)若P(2，-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为()(A)2x+y-3=0(B)x-y-3=0(C)x+y-1=0(D)2x-y-5=0【解题提示】利用圆心与P的连线斜率与kAB相乘为-1可得AB的斜率，利用点斜式得AB方程.【解析】选B.由圆心为M(1，0),故∴kAB=1,故AB方程为:y+1=(x-2)，即：x-y-3=0.二、填空题(每小题4分，共12分)6.圆心在x轴上，经过原点，并且与直线y=4相切的圆的标准方程是_____.【解析】由题意知，圆心坐标是(±4，0)，半径为4，∴圆的方程为(x±4)2+y2=16.答案:(x±4)2+y2=167.设a>0,b>0,4a+b=ab,则在以(a,b)为圆心，a+b为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是_____.【解析】要使圆的面积最小，只需a+b最小即可.∵4a+b=ab,当且仅当a-1=,即a=3时上式等号成立，此时b=6,故所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-6)2=81.答案:(x-3)2+(y-6)2=818.(2011·马鞍山模拟)已知点M(1，0)是圆C:x2+y2-4x-2y=0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是_____.【解题提示】过点M的最短弦与CM垂直.【解析】过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2+y2-4x-2y=0的圆心为C(2,1),∴最短弦所在直线的方程是y-0=-1·(x-1),即x+y-1=0.答案:x+y-1=0三、解答题(每小题9分，共18分)9.已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1)且圆心M在x+y-2=0上.(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆M的两条切线，A,B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.【解析】(1)设圆M的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),根据题意得：解得：a=b=1,r=2,故所求圆M的方程为：(x-1)2+(y-1)2=4.(2)由题知，四边形PAMB的面积为S=S△PAM+S△PBM=|AM||PA|+|BM||PB|.又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|,而|PA|=即因此要求S的最小值，只需求｜PM｜的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得｜PM｜的值最小，所以｜PM|