2023年上海重点大学附属学校高考数学模拟预测试卷

2023年上海重点大学附属学校高考数学模拟预测试卷

1.设全集U=R,若集合4={x||x|21,xeR},则］=

2.复数2=等。为虚数单位)，则囱=.

3.已知球的体积为36兀，球的表面积是.

4.已知函数y=sin(2cox4-(p),(a>0)的最小正周期为1,则3=_.

3

5.已知等差数列{an},a24-a4=»。5=5，则an=.

6.在(x+|)6的展开式中，常数项为.(结果用数字作答)

7.投掷一颗骰子，记事件4={2,4,5},B={124,6},则P(*B)=.

8.已知向量五=(1,C),&=(0,1))则方在五方向上的投影向量等于.

9.如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图(图中仅列出[50,60),[90,100)的数据)和频率分布

直方图，则x—y=.

10.已知双曲线会?=l(a>0)的一条渐近线与圆(x-3)2+y2=8相交于M,N两点，

且|MN|=4,则此双曲线的离心率为.

11.若函数/。)=户；的值域为(—8,3],则实数m的取值范围是.

12.已知定义在R上的偶函数/Xx)=|x-m+l|-2,若正实数a、b满足/'(a)+/(2b)=m,

则工+会的最小值为______.

ab

13.以下能够成为某个随机变量分布的是()

/-I01\

B.III

\236/

/11.222.4\

Dn1—0.50.50.30.77

14.己知则“|x+l|+|x—l|S2”是?>1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

15.下列说法正确的是()

A.若随机变量4〜8(12/)，则/)(〃)=3

B.若随机变量《〜N(282),且p(f<4)=0.8,贝lJP(2<f<4)=0.4

C.一组数据11,12,12,13,14,15,16,18,20,22的第80百分位数为19

D.若PG4B)=J,P(A)=P(B)=则事件4与事件B相互独立

73J

16.在AABC中，AC=3,BC=4,4c=90。/为△4BC所在平面内的动点，且PC=2,若

B=4谟i+〃而，则给出下面四个结论：

①4+〃的最小值为一a

②方•丽的最小值为-6；

③4+〃的最大值为1

@~PA■丽的最大值为8.

其中，正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

17.如图，在直三棱柱中，AC=4,BC=3,AB=5.

(1)求证：AC1BG；

(2)设AG与底面ABC所成角的大小为60。，求三棱锥C-4BG的体积.

18.己知向量沅=(2sins:,cos23x),元=(，？cos3X,l),其中3>0,若函数/'(x)=沅•元的

最小正周期为

(1)求/(X)的单调增区间；

(2)在△ABC中，若f(B)=-2,BC=G,sinB=CsinA，求瓦？•瓦的值.

19.某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所

购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且

降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月

(按60天计算)每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量(单位:千克)，得到如下统计数据.(注：

视频率为概率，s,tGN*)

每天下午6点前的销售量/千克250300350400450

天数1010St5

(1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率；

(2)在接下来的2天中，设X为下午-6点前的销售量不少于350千克的天数，求X的分布列和数学

期望.

20.椭圆泉+9•=l(m>0,m#

(1)若m=2,求椭圆「的离心率；

(2)设4、&为椭圆厂的左右顶点，椭圆厂上一点E的纵坐标为1,且引•砒=-2，求小的

值；

(3)过椭圆r上一点P作斜率为C的直线，与双曲线卷—1=1有一个公共点，求m的取值

范围.

21.已知函数/Xx)=喏.

(1)求曲线y=/(x)在(1)(1))处的切线方程；

(2)求/(x)的单调区间；

(3)若方程/(无)=QX+有解，求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】{刻一1<x<l,x€R}

【解析】解：「全集U=R,集合A=(x||x|>l,xG/?!=(x\x<-1或x>1,xeR},

•••/I={x|—1<%<l,xG/?}•

故答案为：{x|-1<x<l,xGR).

求解绝对值的不等式化简4再由补集运算的定义得答案.

本题考查补集及其运算，是基础题.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

由已知直接利用囱=|z|及商的模等于模的商求解.

本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题.

【解答】

解：5=白

•・•臼=w=岛|=岛=盍=4・

故答案为：\T-2-

3.【答案】367T

【解析】

【分析】

本题考查球的表面积与体积的求法，考查计算能力.

通过球的体积求出球的半径，然后求出球的表面积.

【解答】

解：因为球的体积为36兀，

所以殍=36兀，球的半径为：r=3,

所以球的表面积为：4?rx32=36TT.

故答案为：367r.

4.【答案】27r

【解析】解：T=~0）,依题意7=1,

・•・0）=2兀；

故答案为：27r.

根据三角函数周期与角频率的关系求解.

本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题.

5.【答案】"-学

44

【解析】解：设公差为d,

由+@4=3，的=5，

得因之

所以即=-2+（（九-1）=（九一*

n—

故答案为：244

求出首项和公差，再根据等差数列的通项即可得解.

本题主要考查等差数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题.

6.【答案】160

【解析】解：二项式（X+§6的展开式的通项为图+1=玛＞6-r（|）r=2rC^X6-2r,

令6—2r=0,得r=3,

故常数项是23•《=160.

故答案为：160.

利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中的支的指数为0,列出方程求出r的值，将

r的值代入通项，求出展开式中常数项即可.

本题考查二项式定理的应用，属于一基础题.

7.【答案】i

故答案为：2"

根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.

本题主要考查条件概率公式，属于基础题.

8.【答案】（务

【解析】解：由题意向量益=b=（0,1），

则小至=C,|初=2-

则亩短方向上的投影向量为普.卷=m•（i,q）=序》

故答案为：存，令.

求出五i=q,|五|=2,根据投影向量的概念即可求得答案.

本题主要考查投影向量的公式，考查转化能力，属于中档题.

9.【答案】0.004

【解析】解：分数在［50,60）的频率为0.020x10=0.2,

由茎叶图得分数在［50,60）之间的频数为5,

所以全班人数为六=25（人），

2

分数在［90,100）之间的频数为2,所以v=运=0008，

由10x=1-10x（0.036+0.024+0.020+0.008）,解得久=0.012.

所以无—y=0.004.

故答案为：0.004.

根据茎叶图，结合频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1,求出全班人数以及频率分布直方图

中的X、y.

本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

10.【答案】3^5

【解析】解：由题意可知双曲线的一渐近线方程为2x—ay=0,•・•|MN|=4,圆的半径为2/1，

二圆心到渐近线的距离为J(271)2-2」=2.

即，：“=2,a=，一耳(负舍)，二c=Va2+b2=3>

VK+4

二双曲线的离心率为e=£=宰.

故答案为：^5.

根据所截弦长与半径求出圆心到渐近线距离，从而解出a,c的值，最后得到离心率.

本题考查双曲线的性质，属于中档题.

11.【答案】(2,5]

【解析】

【分析】

根据指数函数的单调性可得出，％<1时，0</(X)<3；根据二次函数的单调性可得出，x>1时，

/(%)<m-2,再根据/(%)€(-8,3]即可得出0<?71-233,解出m的范围即可.

本题考查了指数函数、二次函数的单调性，根据函数单调性求函数值域的方法，函数值域的定义

及求法，考查了推理和计算能力，属于基础题.

【解答】

解：TXWI时，0<3*W3；x>1时，—2%2+巾<巾-2,

且/(x)的值域为(-8,3],

•，.0<m—2<3,

2<m<5,

••・实数m的取值范围是：(2,5].

故答案为：(2,5].

12.【答案】I

【解析】解：因为/(X)是定义在R上的偶函数，

所以/(一无)=|—X—m+l|-2=f(x)=|x—m+1|-2,即m=1,

所以/(x)=\x\-2,

因为若正实数a、b满足/(a)+f(2b)=1,

所以/'(a)+/(2b)=a-2+2b-2=1,即a+2b=5,

则G+/"5=i+IMhi+2x|4

当且仅当言=尊，即a=b时，等号成立，

5a5b

故答案为：

首先根据偶函数的定义，得出m的值，再由f(a)+f(2b)=m得出a+2b=5,用不等式“1”的

妙用，即可得出最小值.

本题主要考查了函数的奇偶性的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

13.【答案】B

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4P(X=0)=P(X=1)=1,不满足P(X=0)+P(X=1)=1,不符合题意；

对于B,P(X=—l)+P(X=0)+P(X=l)=l,每个变量的概率都大于。小于1,符合题意；

对于C,P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=J不符合题意；

对于D,P(X=1)=—0.5<0,不符合题意.

故选：B.

根据题意，由随机变量分布列的性质依次分析选项是否符合题意，即可得答案.

本题考查随机变量的分布列，注意分布列的特点，属于基础题.

14.【答案】B

【解析】解：因为|x+l|+|x—1|S2时，—1SXS1,所以3>1不成立，即充分性不成立；

:>1时，0<x<1,|x+1|+|%-1|W2成立，即必要性成立；

所以是必要不充分条件.

故选：B.

分别判断充分性与必要性是否成立即可.

本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题.

15.【答案】CD

【解析】解：若随机变量外〜3(12,则£>5)=12*"*=也故A正确：

若随机变量6〜NR,/),且P(f<4)=0.8,则P(f>4)=0.2,故P(2<f<4)=P(f>2)-

P(6>4)=0.5-0.2=0.3,故B错误；

一组数据11,12,12,13,14,15,16,18,20,22的第80百分位数即第8个数和第9个数的平

均数，为史罗=19,故C正确；

•••。而=|，­⑷/

vp(fi)=1,P(AB)=±,P(4)P(B)=P(4B),

事件4与事件B相互独立，故。正确.

故选：CD.

对4根据二项分布的方差公式求解即可；对B,根据正态分布的对称性求解即可；对C,根据百

分位数的定义判断即可；对D,根据对立事件的概率公式，结合事件4与事件B相互独立事件满足

P(AB)=P(A)P(B)判断即可.

本题考查二项分布，正态分布，百分位数，事件的独立性，属于基础题.

16.【答案】A

【解析】解：如图，以C为原点，CA,CB所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系，

则C(0,0),4(3,0),B(0,4),

因为PC=2,所以设P(2cosO,2sinO),

则丽=(2cos&2sin0),CA=(3,0),CB=(0,4)，

所以而=4不+〃而=(34,4〃)，

所以［2cos0=3A-cosO=A

〃即(9为任意角),

2sin0=4'；sin。=〃

7i

所以2+〃=-cos04--sm0

S43

=-(-cosO+-sind)

(其中

=|sin(0+<p)stn*=^fcos(p=|),

所以4+〃的最大值为除最小值为-1

OO

所以①③错误，

因为西=(3-2cosa一2sin0),而=(-2cos0,4-2sm0).

所以万•丽=-2cos0(3-2cos0)-2sin6>(4-2sM8)

=4—(8sin0+6cos。)

=4—lOsin(0+a)(其中siziQ=^,cosa=、),

因为-10<-lOsin(0+a)<10,

所以-6<4-lOsin(0+a)<14,

所以方•丽€［-6,14］，

所以两•丽的最小值为-6,最大值为14,

所以②正确，④错误.

故选：A.

以C为原点，CA,CB所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系，设P(2cos9,2s讥。)，然后

信cos。=A

表示出赤，石?，丽的坐标，由题意可得《，再逐个分析判断即可.

(/sin。=〃

本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题.

17.【答案】解：(1)证明：由4C=4,BC=3,AB=5,得AB?=AC?+。鸟？,

/-ACB=90°,ACIBC,

在直三棱柱ZBC-ZiBiG中，可得GC1BC,BCnC1C=C,

•••ACJL平面C8B1G，BCiu平面CBBiG，

■■■AC1BQ

(2)由C[C_L平面ABC,可得4c为4cl在底面ABC内的射影，

知“i4C即为AC1与平面力BC所成的角，•••Z.CXAC=60°,

又•••△GAC为直角三角形，且4C=4,二GC=4l5，

GC为三棱锥Cl-ABC的高，SAABC=6,

^c-ABCi~VQ-ABC=3'S^ABC.C、C=-x6x4V_3=8V-3»

.•・三棱锥C一ABC1的体积8，？.

【解析】(1)由已知可得4C18C,JCLBC,进而可证AC,平面CBBiG，可证结论；

(2)由已知可得NGAC即为4G与平面4BC所成的角，可得CIC=4，~5，进而可求三棱锥C-ABC1

的体积.

本题考查线线垂直的证明，考查空间几何体的体积的计算，属中档题.

18.【答案】解：(l)/(x)=布•元=+cos23X=2s讥(2(ox+看)，

f(x)的最小正周期为兀，

_27r

-T=—=7T,

2a)

・•・3=1.

故/(x)=2sin(2x+^),

令2/CTT-<2%4-<2kn+解得k/r-^<x<kn+%kEZ,

ZoZ5o

故函数f(x)的单调增区间为他”热时+刍,kez：

(2)设△ABC中角4B,C所对的边分别是a,b,c.

v/(B)=-2,•••2sin(2B+^)=-2,即sin(2B+3)=-1,解得B=手

•・•BC—・•・a=V~~3,•・•sinB=y/~3sinA>

・•・b=V~~3ci»

・•・b=3,sinA=

­-0<A<^,.-.A=l，C=l，

・•・Q=C=V-3

・•・BA•BC=c-a-cosB=3x(-；)=-,・

【解析】(1)根据题意，由辅助角公式将函数f(X)化简，再由函数周期即可求得3,再根据正弦型

函数的单调区间即可得到结果；

(2)根据题意，由(1)中函数f(x)的解析式可得8=与，再由正弦定理可得a=c,再结合平面向量

数量积的定义代入计算，即可得到结果.

本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)由表格中的数据，可得1天下午6点前的销售量不小于350千克的概率为P=1-

20_2

60=3,

(2)依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率P=：,

随机变量X的可能值为0,1,2,

可得：P(X=0)=(1)2=I，

P(X=l)=C」x|x泻，

P(X=2)=C/(|)2=g,

所以随机变量X的分布为：

X012

144

p

999

所以X的数学期望E(X)=0xg+lxt+2xf

【解析】(1)由表格中的数据，结合对立事件的概率公式，即可求解；

(2)根据题意，得到随机变量X的可能值为0,1,2,结合独立重复试验的概率计算公式，求得相

应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解.

本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)若m=2,则a?=4,b2=3,■-a=2,c=Va2—b2—1)e=^=1

由已知得设

(2)4(-m,0),A2(m,0),E(p,l),

[4+9=1，BPp2=1m2,

vaL33

・•・EA1=(­m—p,—1),EA2=(m—p,—1),:.EA[•~EA^=(-m—p,-1)•(m—p,—1)=p2—

m2+1=-2,

vp2=|?n2,代入求得m=3；

(3)设直线y=，^光+t，联立椭圆可得W+NI也=1，

mz3

整理得(3+3m2)x2+2y/~3tm2x+(t2—3)m2=0,

由A>0,­-t2<3m2+3,

联立双曲线可得匹与“—生=1，整理得(3—m2)%2+2>J~3tx+(t2-5m2)=0,

由4=0,t2=5m2—15,

・•・5m2-15<3m2+3,

--3<m<3,

又5m2—15>0,m>\Z~~3,又•：mH

・•・m63].

【解析】(1)由题意可得Q，b,c,可求离心率；

22

(2)由已知得4(初0),A2(.m,0'),设E(p,l),由已知可得p2=百m2,p-m+1=-2,求解即

可；

(3)设直线y=Cx+t,与椭圆方程联立可得1243M2+3,与双曲线方程联立可得t2=562一

15,可求m的取值范围.

本题考查离心率的求法，考查椭圆与双曲线的几何性质，属中档题.

21.【答案】解:(1)/(*)=若的定义域为(0,+8),[(乃=洸，

"(I).又/•⑴=1，

y-1=i(%—1),即x—2y+l=0,

曲线y=f(x)在(1,1)处的切线方程为久-