等比数列的性质 市赛获奖

第2课时等比数列的性质1.理解并掌握等比数列的性质及其初步应用；2.引导学生学习观察、类比、猜测等推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力．重点：等比数列的性质．

难点：等比数列性质的初步应用．

定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示.如果一个数列是等比数列，它的公比是q，那么…，…，由此可知，等比数列的通项公式为(1)1，2，4，8，16，…观察数列(3)4，4，4，4，4，4，4，…(4)1，-1，1，-1，1，-1，1，…公比q=2公比q=公比q=1公比q=-1以上4个数列的公比分别为：通过图象观察性质等比数列的图象1数列：1，2，4，8，16，…1234567891024681012141618200●●●●●递增数列等比数列的图象2123456789100数列：●●●●●●●12345678910递减数列等比数列的图象31234567891024681012141618200数列：4，4，4，4，4，4，4，…●●●●●●●●●●常数列等比数列的图象412345678910012345678910●●●●●●●●●●数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，摆动数列类比等差数列的性质，等比数列有哪些性质呢？an-an-1=d（n≥2）

等差数列

等比数列

常数减—除加—乘加-乘乘—乘方迭加法迭乘法等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”定义数学表达式通项公式证明通项公式由等差数列的性质，猜想等比数列的性质{an}是公差为d的等差数列{bn}是公比为q的等比数列性质１：

an=am+(n-m)d性质２：若an-k,an,an+k是{an}中的三项，则2an=an+k+an-k

猜想2：性质３：

若n+m=p+q则am+an=ap+aq猜想1：

若bn-k,bn,bn+k

是{bn}中的三项则猜想3：若n·m=p·q则bn·bm=bp·bq性质４：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)性质５:若{cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列.猜想５：若{dn}是公比为q′的等比数列,则数列{bn•dn}是公比为q·q′的等比数列.猜想４：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为(可推广)若数列{an}是公比为q的等比数列,则当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列;

当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列;

当q=1时,{an}是常数列;

当q<0时,{an}是摆动数列;(2)an≠0,且anan+2>0.(3)an=amqn-m(n,m∈N*).(4)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq.(5)当{an}是有穷数列时,与首末两项等距离的两项的积都相等,且等于首末两项的积.(7)若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an•bn}是公比为qq′的等比数列.(6)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列.(9)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1.(10)当m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时，am,an,ap成等比数列。(8)数列是公比为的等比数列.例：已知{an},{bn}是项数相同的等比数列，求证{an•bn}是等比数列.证明：设数列{an}的首项是a1，公比为q1;{bn}的首项为b1，公比为q2，那么数列{an•bn}的第n项与第n+1项分别为：它是一个与n无关的常数，所以{an•bn}是一个以q1q2为公比的等比数列.-1458630480或-30⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54，a8=

.⒉在等比数列{an}中，an＞0，a2

a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5=_

.⒊在等比数列{an}中，a15

=10,a45=90,则a30

=__________.⒋在等比数列{an}中，a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=_____.5.的等比中项是___________.6.如果三角形的三边成等比数列，则公比q的取值范围是___________________.7.已知正数等比数列中，8.设数列是等比数列，且则对所有的自然数n都成立，则公比q=___________.证明或判断一个数列为等比数列的方法:(1)an/an-1=q(n2且q≠0){an}为等比数列.(适用于选择、填空题和解答题)(2)an=cqn(c,q≠0){an}为等比数列.(适用于选择、填空题)(3)a2n+1=anan+2{an}为等比数列.(适用于选择、填空题)等比数列的性质:1、an=amqn-m2、若m+n=p+q，则aman=apaq3、等比数列中，每隔