2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第3章 第2节 第1课时　函数的单调性

■二导数在研究函数中的应用

第1课时函数的单调性

［考试要求］

1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.

2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般

不超过三次）.

【走进教材-夯实基础］回顾知识•激活技能

€＞梳理•必备知识

函数的单调性与导数的关系

条件结论

fU)>0/U）在（a,b）上单调递增

函数y=7U）在

rw<o兀r）在（a,/?）上单调递减

区间（a,加上可导

/a)=o/U）在（a,b）内是常数函数

提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，

要坚持“定义域优先”原则.

［常用结论］

1.在某区间内/（x）＞O（/（x）V0）是函数/U）在此区间上为增（减）函数的充今不

必要条件.

2.可导函数/U）在（“，♦上是增（减）函数的充要条件是对丫内£俱"切,…都有

［（无）20（1（力^0）且尸（；1）在（。，份上的任何子区间内都不恒为零.

◎激活•基本技能

一、易错易误辨析（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）如果函数/U）在某个区间内恒有了（X）=0,则人外在此区间内没有单调性.

（）

（2）在（a,份内片x）＜0且〃x）=0的根有有限个，则/U）在（a,b）内单调递减.

（3）若函数/U）在定义域上都有了。）＞0,则/（X）在定义域上一定单调递增.

)

(4)函数人x)=x—sinx在R上是增函数.

()

［答案］(1)V(2)V(3)X(4)7

二'教材习题衍生

1.如图是函数y=/(x)的导函数y=/(x)的图象，则下面判断正确的是()

内'㈤

A.在区间(一3,1)上加)是增函数

B.在区间(1,3)上yu)是减函数

C.在区间(4,5)上7U)是增函数

D.在区间(3,5)上於)是增函数

C［由图象可知，当xG(4,5)时，/'(x)>0,故/U)在(4,5)上是增函数.］

2.函数y(x)=cosx—x在(0,兀)上的单调性是()

A.先增后减B.先减后增

C.增函数D.减函数

D［因为/(x)=-sinx-lV0在(0,兀)上恒成立，

所以五x)在(0,兀)上是减函数，故选D.］

3.函数«x)=x—lnx的单调递减区间为.

(0,1)［函数火x)的定义域为{x|x>0},由/(x)=l—；V0,得OVxVl,

所以函数7U)的单调递减区间为(0,1).］

4.已知人外二X3-or在［1,+8)上是增函数，则实数a的最大值是.

3［f(x)=3x2—a^0,即4ZW3%2,

又因为+8),所以“W3,

即。的最大值是3.］

［细研考虑•突破题型］重难解惑■直击高考

□考点一不含参数的函数的单调性慵组通关

1.函数_/U)=f—21nx的递减区间是()

A.(0,1)B.(1,+°°)C.(一8,1)D.(-1,1)

2

22(x+1)(.x—1)

A[•：f(x)=2x--=--------(x>0),

...当x£(0,1)时，f(x)<0,於)为减函数;

当x£(l,+8)时，f(%)>0,危)为增函数.故选A.]

2.函数.*x)=(x—3)e'的递增区间是()

A.(一8,2)B.(0,3)

C.(1,4)D.(2,+8)

D[f(x)=(x-3)第+(x-3)(ex),=(x-2)ev,

令/(x)〉0,解得x>2,故选D.]

3.已知定义在区间(0,兀)上的函数«r)=x+2cosx,则兀r)的单调递增区间

为.

6)1^6,无)夕")=112sinx,x，(0‘兀)，

jr57r

令/(x)=0，得或》=下，

TT

当OVxVg时，f(x)>0,

7T3兀

当K得时，/(x)V0,

当石'VxV无时，/'(x)>0,

二段)在(o,番和黑，兀)上单调递增，在仅普上单调递减.］

至反思领悟利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数的定义域；

第2步，求出导数一(X)的零点；

第3步，用了(x)的零点将於)的定义域划分为若干个区间，判断了(x)在各区

间上的正负，由此得出函数y=/(x)在定义域内的单调性.

口考点二含参数的函数的单调性,新生共研

［典例1］已知函数/(%)=3加一(a+l)x+lnx,a>0,试讨论函数y=/(x)的单

调性.

［解］函数的定义域为(0,+8),

3

,..1ax1—(。+1)x+1

f(x)=ax—(a+l)+-="

(or—1)(x—1)

x・

①当0<〃<1时，卜1,

...xC(0,1)和弓，+8)时，f(x)>0;

x[l，0时，f(x)<0,

...函数«x)在(0,1)和(：，+8)上单调递增，

在[1,0上单调递减；

②当Cl=1时，-=1,

(x)>0在(0,+8)上恒成立，

.,.函数/(X)在(0,+8)上单调递增；

③当a>\时，0<[<1，

.•.xe[o,£|和(1,+8)时，f(%)>0;

1时，f(x)<0,

，函数«x)在(o,，和(1，+8)上单调递增，

在七，1)上单调递减.

综上，当0<。<1时，函数/U)在(0,1)和&+8)上单调递增，在(1,0上

单调递减；

当a=l时，函数火x)在(0,+8)上单调递增；

当a>l时，函数於)在(0,0和(1，+8)上单调递增，在g1)上单调递减.

-[母题变迁]

若将本例中参数。的范围改为aWR，其他条件不变，试讨论五》)的单调性.

4

［解］当a>0时，讨论同例题解析；

当aWO时，ax~1<0,

.•.xG(0,1)时，f(x)>0;xG(l,+8)时，f(x)<0,

...函数7U)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

综上，当aWO时，函数/U)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减；

当0<a<l时，函数,於)在(0,1)和(},+8)上单调递增，在(1,上单调递

减；

当。=1时，函数/(X)在(0,+8)上单调递增；

当<7>1时，函数/(X)在(°，0和(1，+8)上单调递增，在1)上单调递减.

⑨■反思领悟对于含参数的函数的单调性，常见的分类讨论点按讨论的先后

顺序有以下三个：

分类讨论点1：求导后，考虑了(x)=0是否有实数根，从而引起分类讨论；

分类讨论点2：求导后，/'(幻=0有实数根，但不清楚/(x)=0的实数根

是否落在定义域内，从而引起分类讨论；

分类讨论点3：求导后，/(x)=0有实数根，/(x)=0的实数根也落在定义

域内，但不清楚这些实数根的大小关系，从而引起分类讨论.

［跟进训练］

1.(2021.新高考II卷节选)已知函数/U)=(x—l)e'—加+4讨论函数兀r)

的单调性.

［解］f(x)—xex—2ax=x(ex—2a),

①当aWO时，令/(x)=0=>x=0,

且当尤VO时，f(x)<0,1Ax)单调递减；

当x>0时，/'(x)>0,/(x)单调递增；

②当OVavg时，令/(x)=0=>xi=0,%2=ln2a<0,

且当xVln2a时，f(x)>0,/(x)单调递增，当ln2aVx<0时，f(x)<0,

.*x)单调递减；

当x>0时，f(x)>0,/U)单调递增；

5

③当a=g时，f(x)=x(e*—1)20,於)在R上单调递增;

④当时，令/(x)=0=>xi=0,X2=ln2a>0,

且当xVO时，/'(x)>0,人尤)单调递增；

当OVxVln2a时，f(x)<0,«r)单调递减；

当x>ln2a时，f(x)>0,«v)单调递增.

考点三根据函数的单调性求参数的值(范围H师生共研

［典例2］若函数式彳)=/一以2+1在区间口，2］上单调递减，求实数。的取

值范围.£垂

［四字解题］

读想算思

函数的最值分离变量

1x)在［1,2］上单调/(x)WO对V尤e[l,'/⑴W0,

数形结合

递减2]恒成立/(2)W0,

解不等式/(x)WO子集思想

［解］法一(分离变量法)：

f(x)=39—20r.

由/U)在口，2］上单调递减知了(x)WO,

即3r一2QCW0在「1,2］上恒成立,

即心在［1,2］上恒成立.

故只需心阂max

故“23.

所以。的取值范围是［3,+8).

法二(数形结合法)：

f'(x)=3x2—2ar.

由於)在［1,2］上单调递减知了(x)WO对xW［l,2］恒成立.

f/(1)=3—2忘0,

所以<,,、/解得“23.

［f,(2)=12-4«<0,

所以a的取值范围是［3,+8).

6

法三(集合关系法)：

f'(x)=3x2—2ar.

当a=0时，f(x)20,故y=/(x)在(一8,+8)上单调递增，与在

区间［1,2］上单调递减不符，舍去.

2「2一

当a<0时，由/(x)WO,得gaWxWO,即«x)的单调递减区间为ga,0,与

兀。在区间［1,2］上单调递减不符，舍去.

当a>0时，由/(x)W0得OWxWga,即寅x)的单调递减区间为［0,乎.

由於)在口，2］上单调递减得第22,得心3.

综上可知，a的取值范围是［3,+8).

⑨反思领悟利用函数单调性求参数取值范围的两类热点问题的处理方法-

(1)函数在区间。上存在单调递增(减)区间.

方法一：转化为‘了(x)>0(〈0)在区间。上有解”；

方法二：转化为“存在区间。的一个子区间使了。)>0(或/a)vo)成立”.

(2)函数式x)在区间。上单调递增(减).

方法一：转化为“/(x)20(W0)在区间。上恒成立”；

方法二：转化为“区间。是函数_/(无)的单调递增(减)区间的子集”.

［跟进训练］

2.(1)已知函数_/(x)=2cosx(加一sin幻一3%在(一8,+8)上单调递减，则实

数m的取值范围是()

■1r

A.［―1,1］B.—2

C.11,D.㊀,(I

(2)已知函数,外均二%3一日在(-3,1)上不是单调函数，则实数%的取值范围

是.在别3

(1)B(2)(0,27)［(l)/(x)=—2sinx(m—sinx)+2cosxcosx)—3.因为/(x)

在(一8,+8)上单调递减，所以,(x)W0恒成立，整理得dsin?%—sinx—5<0.

设sinX="-1WW1),则不等式ga)=4p-2mL5W0在区间［-1,1］上恒成

7

g(—1)=4+2加-5W0,

立.于是有,、一

(1)=4—2机一5WO,

[=

‘"'5'「11]

即j故实数，”的取值范围是一]，].故选B.

〃z2—•].

(2)法一(间接法)：若外)=尤3一依在(一3,1)上是单调递增函数，则/(x)=3/

一女20在(-3,1)上恒成立，

即ZW3%2在(-3,1)上恒成立，故4W0.

若yOOnjc3一6在(-3,1)上是单调递减函数，则/(x)=3f—ZWO在(-3,

1)上恒成立，

即％231在(一3,1)上恒成立，故人227.

所以当函数./0)=必一区在(一3,1)上是单调函数时，实数%的取值范围是

ZWO或左227,

当函数次》)=必一"在(一3,1)上不是单调函数时，实数k的取值范围是

0<K27.

法二(直接法)：由奇函数》:)=必一日得/(x)=3N—上当A<0时，/(无)=3/

一人20,«r)在R上是增函数，不满足题意；

当攵>。时，由了(%)=3幺一攵<0,得一"yiqvijl，在[一■•"上八工)

是减函数.

由/(x)=3f—4>0,得X<一•"JI或x>'/■•在1―8，一^+8)上

1x)是增函数.

要满足函数次X)=必一依在(一3,1)上不是单调函数，由对称性得，一｛|>

-3,所以左<27.

综上所述，实数Z的取值范围是(0,27).]

□考点四函数单调性的应用，多维探究

考向1比较大小

[典例3—1](1)已知定义域为R的奇函数y=«x)的导函数为y=/(x),当x

8

工，H"e)f(In2)/(-3)

>0时，xf右。=~~~,b=而1-,c=—,则nI。，b.

c的大小关系正确的是()

A.a<b<cB.b<c<a

C.a<c<bD.c<a<b

(2)已知函数y=/(x)对于任意的xe[o,习满足/(幻(05%+火幻5抽尤=1+1111,

其中了(尢)是函数«r)的导函数，则下列不等式成立的是()

A.也陪)</•佯)B.啦陪卜/用

C拘信)>拘住)D,亚@>/,)

f(x)xf(x)—f(x)

d)D(2)B[(1)设g(x)=乙丁，则g'Q)="-----J.，当x>0时，

yf(x)—f(X)

xf(x)—%)V0,则g，(x)=J./VO,

即函数g(x)在x£(0,+8)时为减函数.

f(_3)f(3)

由函数y=f(x)为奇函数知八-3)=-A3),则c=-二一=-i-.

f(e)fJ(In2)f(3)

•.Z=r-=g(e),b=In2=g(ln2),c=，一=g(3),

且3>e>ln2,.•.g(3)Vg(e)Vg(ln2),

即c〈a〈b,故选D.

f(尤)

(2)设g(x)=,言丁，则

,f(x)cosx+/(x)sinx1+lnx<TI\

g(X)=2=2，x£|0，彳.

b''cosxcosxt2j

令g，(x)=0得x=：,当xG(0,J时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减,

当xwg，号时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增.

..1.71717171

.；<6<4<3<2-

9

津三

222

化简得物小/间,小f。>物目故选B.]

考向2解不等式

[典例3—2](1)(2021.沈阳模拟)已知函数/U)的定义域为R,71)=2,且

对任意x£R,/'(x)>2,则危)>2x+4的解集为()

A.(-1,1)B.(-1,+8)

C.(―°°,—1)D.(—8,4-oo)

(2)已知函数外)—2x+e*—上,其中e是自然对数的底数.若加-1)+火24)

W0,则实数。的取值范围是.

(1)B(2)-1,I[(1)由/U)>2x+4,得兀0—2%—4>0.设/(x)=/(x)-2x

-4,则尸(九)=/(划一2.因为/(x)>2,所以尸(x)>0在R上恒成立，所以尸(x)在

R上单调递增.又尸(一1)=穴-1)-2><(-1)—4=2+2—4=0,故不等式.穴》)一

公一4>0等价于尸(%)>5(-1),所以尤>一1,故选B.

(2)因为八-x)=­3+2尤+£—e<•.=-/(x),所以函数/(x)是奇函数.因为/(x)

=3x2-2-l-ex+e~x^3x2—2+2-\Jex•e~x^0,所以函数.*x)在R上单调递增.

又次a-l)+/(2a2)W0,所以屋—a),所以2a2或1一.，即2a2+。一

1W0,解得一iWaw/

故实数a的取值范围为一1,1.]

畲反思领悟

利用导数比较大小或解不等式的常用技巧

利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利

用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式.

常见构造的辅助函数形式有：

(1)或x)>g(x)fF(x)=於)一g(x)；

10

⑵叭幻十治尸［浜以；

f(x)，.

(3必(工)於)f1

(4)/(x)+«r)-[e7U)了；

f(x)

(5)Xx)-/U)f『e，J

［跟进训练］

3.⑴已知函数外)(x£R)满足用)=1,/)的导数/'(x)<5则不等式於2)

2

苍%+1抽解集为.

(2)设定义域为R的函数_/U)满足/⑴与㈤，则不等式e、7W勺(2%—1)的解集

为.

⑴(小>1或x<—1}(2)(1,4-eo)［⑴设中)=危)一5,所以广⑴可⑴

~2~

因为/(x)V；，所以尸(x)=f(x)—；V0,

即函数F(x)在R上单调递减.

因为")V,+［火1)=1,

所以危2)一菱〈川)―/

所以FC^VFQ),所以光2>1,解得x>l或xV-l.

f(x),f(x)—f(x)

(2)设F(x)=/「，则尸(x)4----才------.

(x)次x),：.F'(A)>0,即函数F(x)在定义域上单调递增.

f(x)f(2x-1)

Ve-—,即F(x)<F(2x—l),

：.x<2x~l,即x>L.•.不等式尸7(x)勺(2x—l)的解集为(1,+8).］

技法战高考

3.构建模型求解«x)与/(%)

11

共存的不等式问题

以抽象函数为背景，题设条件或所求结论中具有'"(X)土g(x),/U)g(x),

f(x)

匕丁”等特征式，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导

g(X)

数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决

问题.

模型1/(x)ga)切x)g'(x)型

[典例4](1)(2021.泰安模拟)设了(X)是奇函数_/U)(xGR)的导函数,1-1)=0,

当x>0时，㈤一心)<0,则使得«r)>0成立的x的取值范围是()

A.(—8,-l)U(0,1)B.(-1,0)U(l,+°o)

C.(—8,-1)U(-1,0)D.(0,1)U(1,4-o°)

(2)设_/U),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，/'(x)g(x)

+fix)g\x)>Q,且g(—3)=0,则不等式式x)g(x)<0的解集是.

(DA(2)(一8,-3)U(0,3)f(l)令g(x)=^~，则g'G)=

xf(x)—f(x)

p'

由题意知，当x>0时，g'(尤)<0,...ga)在(0,+8)上是减函数.

是奇函数，大-1)=0,

.•.XD=-A-1)=O,

f(1)

・••以1)='-=0'

.•.当XG(O,1)时，g(x)>0,从而於)>0;

当xW(L+8)时,g(x)<0,从而犬x)<0.

又••F>)是奇函数，

二当♦〉(一8,一1)时，«x)〉0;

当xG(-L0)时，/(x)<0.

综上，所求x的取值范围是(一8,-])U(0,1).

(2)借助导数的运算法则，/(x)ga)+/U)g，(x)〉O0[/U)g(x)「>O,所以函数y

=/U)g(x)在(-8,0)上单调递增.又由题意知函数y=*x)g(X)为奇函数，所以其

图象关于原点对称，且过点(一3,0),(0,0),(3,0).数形结合可求得不等式_Ax)g(x)<0

12

的解集是(一8,-3)U(0,3).]

畲素养提能⑴对于不等式/(尤)土g，(x)>0(或<0),构造函数F(x)=/U)土g(x)；

特别地，对于不等式/(*)>%(或<k)(AWO),构造函数尸(x)=/U)—Ax

(2)对于不等式/(x)g(x)+_Xx)g，(x)>0(或<0),构造函数F(x)=/(x)g(x)；

f(%)

(3)对于不等式/(x)g(x)—/(x)g，(x)>0(或<0),构造函数F(x)=g(X)(g(x)#O).

~~模型2肥(x)土时㈤型

[典例5](1)已知偶函数次x)(x#O)的导函数为/(x),且满足八-1)=0,当x

>0时，2/(x)>xf(x),则使得人幻>0成立的x的取值范围是.

(2)设7U)是定义在R上的偶函数，当x<0时，火力+犷(0<0,且八一4)=0,

则不等式动M>0的解集为.

(1)(-1,0)U(0,1)(2)(—8,-4)U(0,4)[(1)

yll.

/rV

.f(x)

构造F(x)=f，

当x>0时，xf(x)—纨幻VO,可以推出当x>0时，F'(x)V0,FU)在(0,

+8)上单调递减.•.)㈤为偶函数，)，=/为偶函数，.•/(*)为偶函数，⑴在(一

8,0)上单调递增.根据八-1)=0可得尸(-1)=0,根据函数的单调性、奇偶性

可得函数图象如图所示，根据图象可知兀0>0的解集为(-1,0)U(0,1).

(2)构造F(x)=R(x),则户(x)=/U)+4(x),当xVO时，凡x)+WXx)VO,可以

推出当xVO时，F'(x)<0,

，F(x)在(-8,0)上单调递减.•.•人力为偶函数，x为奇函数，

...尸(划为奇函数，，尸(%)在(0,+8)上也单调递减.根据八-4)=0可得F(一

4)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知欢幻

>0的解集为(-8,-4)U(0,4).]

13

金素养提能(1)对于不等式，次工)+0\工)>0(或<0),构造函数F(x)=V；/(x)；

f(尤)

(2)对于不等式xf(x)~植x)>0(或<0),构造函数F(x)=--1.

模型3/(》)+川口)型

［典例6］(2021.海南省一模)已知函数“X)的导函数为了。)，且对任意xWR，

f«-/%)<0,,A2)=e2,若八。<己则f的取值范围为()

A.(0,2)B.(2,+8)

C.(0,e2)D.(e2,+0°)

B［构造函数8⑺二工学一1,则g(2)=£^-l=0.

'：g'«)=，⑺7⑺V0,函数g⑺在R上单调递减，

­：J(t)<e',l<g(2),即g⑺Vg(2)，二/〉？，故

选B.］

畲素养提能(1)对于不等式/(x)+M>)>0(或<0),构造函数/(©=心72；

f(%)

(2)对于不等式/(x)一次㈤>0(或v0),构造函数F(x)=—^r.

模型4/(%)、危)与sinx,cosx的组合型

［典例7］(2021・重庆模拟)若函数式外的导函数为/(x),对任意工£(一兀，0),

/(x)sinx勺(x)cosx恒成立，则()

C［因为对任意x£(—兀，0),f(x)sinx</(x)cosx恒成立，即对任意

工£(一兀，。)，/(x)sin尤一/(x)cosxvO恒成立，

又不£(一兀，0)时，sinx<0,

14

「/(x)1f(x)sinx—于(x)cosx

所以

sinxsin2x

f（x）

所以一在（一兀，0）上单调递减,

»＞5兀3兀..

因为一不＜一了，所以

in（一朗sin（一系

sin

3兀、

>----L,向故选C］

4

-

22

令素养提能sinx,cosx的导函数存在一定的特殊性，其常见考查形式如下:

F(x)=/(x)sinx,F'(x)=/(x)sinx+J(x)cosx；

f（尤）f(x)sinx-/(x)cosx

及）=1口F'。尸

sin2x

F(x)=Xx)cosx,F'(x)=/(x)cosx—y(x)sinx；

小）气f嬴（尤）,f