2023届哈尔滨市三中高三数学下学期1月考试卷附答案解析

2023届哈尔滨市三中高三数学下学期1月考试卷

2023.1

考试说明：（1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.

考试时间为120分钟；

（2）第I卷，第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（共60分）

（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的）

1.如图，两个区域分别对应集合B,其中/={-2,-1,0,1,2}，8={xeN|x<4}.

则阴影部分表示的集合为

A.{0,1,2}B,{0,1}

C.{-2,-1,2}D.{-2,-11

2.已知点,2,2及）在抛物线C：/=2/次上，则抛物线C的准线方程为

A.x=1B.x=­1C.j=-1D.y=1

3.m=4是直线(加一2)x+(w+l)y+3=0与直线(2〃[+2)x-〃9+2=0垂直的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

/\

4.已知角a终边在第四象限，且2sin2a+l=cos2a,则tana一一=

<4)

A.—B.—C.3D.2

32

高三数学第1贝共7页

1

5.2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人t船返问舱在东风着陆场成功着陆，

神舟十三号载人E行任务取得圆满成功，中国航天又站在了•个新的起点.已知火箭

的最大速度v（单位：km/s）与燃料质量M（单位：kg）、火窗质最机（单位：kg）

（M、

的函数关系为v=21ni+—,当火箭的质量为3000kg,最大速度为9km/s,若

Im）

保持火箭质量不变，为使最大速度达到10km/s,则需要再加注的燃料质量约为

（参考数据：In90»4.5,e5®148）

A.2670004gB.174000^C.147000炽D.4410004g

6.已知椭圆C:£+W=l（“>b>0）的左、右焦点分别为耳，F2,上、下顶点分别为彳,

B,若四边形鸟为正方形，则椭圆C的离心率为

A.1B.且C.41D.立

222

7.数列｛q｝满足%=2〃+1,且前〃项和为S"，数列｛幻满足“=鼠二应一2,则

n

%-可+|由一周+…+"一bu\为

A.18B.28C.32D.36

8.设f(x)=|sinx|,a=f(-^),b=f(^),c=f(7r-\n^,则下列正确的是

A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

（二）多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分）

9.卜列选项中说法正确的是

A.任意一条直线都市•斜率和倾斜角

B.若函数的定义域为[1,2],则函数/（x）的定义域是[2,4]

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2

C.点(0,2)关于直线y=x+l的对称点为(1,1)

D.函数F=的最小值为2&

+4

10.正方体的棱长为2,E,F,G分别为8CCC，网的中点,则

A.直线4G与平面力£厂平行

B.宜线。2与直线""垂直

C.异面直线4G与£尸所成角的余弦值为巫

10

9

D.平面4EF截止方体所得的截面面积为；

2

11.已知抛物线。:/=2万(2>0)的焦点尸到准线的距离为2,过尸的直线与抛物线交

于48两点，M为线段,48的中点，则下列结论正确的是

A.抛物线C的标准方程为/=4)，

B.当3万=丽，则直线的倾斜角为120

C.若同卜16,则点M到)，轴的距离为8

D.4所+|明)9

12.已知函数f(x)=e”,g(x)=lnx+g分别与直线交于点48,则5列说法正确的

A.卜切的最小值为:ln2+l

B.三"€/?,使得曲线y=/(x)在点/处的切线与曲线了=g(x)在点8处的切线平行

C.函数y=/(x)-g(x)的最小值小于2

D.若2(x-e)/(x)>3-2g(x),则x>e

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3

第n卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上）

/,,2

13.若双仙线”与双曲线C：5一春_=1有相同的渐近线，且过点（4,6）,则双曲线M的

标准方程是.

14.已知正项等比数列｛%｝的前”项和为邑，若q=l,且4q+7%=2%-a4,则

项=.（请用具体数字作答）

15.点。在圆C：（x-4『+（y-4『=9上，43,0）,5（0,1）,则NP8/1最小时，

阿=.

16.A48C中，AB=AC=3,BC=2,沿8。将A48C折起到△尸8。位置，P点、

不在A48C面内，当三棱锥P-/I8C的体积最大时，三棱锥尸一/8C的外接球半

径是：当H=时，三棱锥P-48。的外接球表面积是.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演党步骤）

17.己知函数/（x）=Gsin

（1）求函数/（x）的最小正周期及对称轴方程;

⑵求/（X）在帖

上的值域.

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4

18.在平面直角坐标系X0X中,已知圆C经过点坐1)且圆心在射线y=3x(x>0)上,

被y轴截得弦长为26，点"(3,0).

(1)求圆C的方程：

(2)求过点M且与圆C相切的直线方程.

19.在①2a“-$“=1：②q=2“-2s“=1：③”“>0吗=-a.%=2"：，这三个条

件中任选一个，补充在下面问题中，并解答所给问题.已知数列的前n项和为5“，

U.满足.

(1)求％与，；

(2)记"=(2〃-1)4，求数列｛"｝的前"项7；.

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5

20.在四棱锥底面48。。为梯形，AB//CD,AB=2AD=2CD=2BC=2,

PC1底面ABCD,E为极PD上一点.

(1)求证：平而尸8c，平面/EC；

⑵若出当

PD=2,求尸8与平面力£。所成角的正弦值.

21.己知椭圆C:£+£=l(a>/>>0)，经过点P(0,l)，离心率为巫.

a~b"2

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)点例，N在椭圆C上，若宜线PM,PN的斜率分别为8,内,且满足勺4='

求APMN面积的最大值.

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6

22.已知函数J(x)=c'+cosx(xwR),其中c为自然对数的底，e=2.71828….

(1)求证：J(x)>2cosx+x；

(2)是否存在实数Q,使得〃工)201+(+2恒成立？若存在，求。的取值集合,

若不存在请说明理由.

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7

哈三中2022—2023学年度上学期

高三学年1月月考数老答案

123456789101112

DBAcBDAcBCACDADABD

13.---匕=114.31

412

■,„V65158

15.416.------,-----

415

/(xsin2r++cos(2x_：Jt))

17.⑴解:>T(iH('

令2'+'=〃乃+工,AcZn对称轴方程：x=^+—,AGZ.

6262

最小正周期：7C

n7(2，+金惇卜小上

(2)2.Y+一G—7T

666词

⑴(x-l)2+(y-3/=4(2)x=3,5x+l2y_15=0

19.(1)选①，由①得，S,=2«“-l,”=1时，q=2q-l,得4=1；

”>2时,5„-S.,=2a„-2«„>>得4=2。“厂故｛%｝为苜项是I,公比是2的等比数列，4=2"'：

==.选②，由②得，gS.u-ZSLa.i-S",得""“-5”=1,"=1时，％-q=l：

1—2

〃>2时，=0,整理得。1=为“，

二4“=2%,故｛%｝为等比数列，首项为q=l,公比g=2,故a»=2~,S„=—=2"-I.

1—2

选③,。">0吗=1，。3-。0“=2”：,则((“-2q)(q,T+a“)=0.-.-a,>0,

则％+。“>0,得％=血，故｛叫为等比数列，首项为q=l,公比g=2,故q=2"\

8

=2"-l.

-1-2

(2)根据题意，"=(2"-M=(2«-1>2i,得

7；=l+3x2+5x2-+7x25+-+(2n-l)-2"

27；=2+3X22+5X2'+-+(2W-1)-2",两式相减，得

-7；=I+2X(2+22+2J+-+2"')-(2n-1)-2",

-7；=l+2x(2/1-1)-2".

7；=3+2"Q-3)

20.(1)•.•尸(二1_平面.48(7。，/Cu平面.48CQ,：.PC1.AC.

取48的中点M,连接CM.•••/8〃CO,AB=2CD,：,AM//CD,AM=CD,

...四边形4)。5/为平行四边形.；力。=‘/8=4必，，”0。1/为菱形，，/。_1M。.

2

VMO//CD,MB=CD：.四边形HMDC为平行四边形，

:.BC//MD,：.BC±4c.又也PCcBC=C,尸C,8Cu平面PBC,

."CJ"平面PBC./Cu平面E/C,.•.平面E/CJ_平面PBC.

(2)VPD=2,8=1,PCIDC,：.PC=y/3.

又有8c=1,AB=2,ZACB=90P,：.AC=43.

...在中，PA=R.

22

IAn+DF—/尸？

cosZADP=一一，在MED中cosZADE=-------------------------二DE=T,

42ADDE

即E为PD的中点建立空间直角坐标系，小0,初，8(100)的.30)

D

「5亍°汽-了4'74T2

平面AEC的法向量7=(6,0,V3).~PB=设尸6与平面AEC所成角为J,

…叵

26

9

21.(1)椭圆方程为二+程=1：

4.

(2)由r•尸是椭圆C的上顶点，故立线MN的斜率•定存在，

设M(X,,v,),y(x2,y2)»直线MN:y=kx+m，

Iy=kx+m

联立方程组1x2,.得(1+4内)/+8及“+4加-4=0

口+>』

A=64*:m;-4(4»r-4)(l+4*-)=16(l+4**12-m'^>0,得"4/>病,

-8hw4/n2-4,.必一l必一](a+析_])(62+削_1)

X]+X?=-----7=-----，*k『-------------=---------------------

-1+4--1+4%'N电X再

-X吊+4(〃7-1)(芭+工」仁-1)'3

4；

山题意知"，/1,山为+x,=—必3■百x,=强——士，

134S61+4/3]+4/

代入化简得4/(巾+1)-弘2,"+(卅-1)(4£2+1卜3何+1卜。，整理得：-2，"-4=0,

切=-2故直线孙，过定点斤(0,_2),由A>0得1+4—>(-2)3解得丁>3,

4

且1PM=1-(-2)=3,

x

SPM、=一%|=~3,-x2\=M3,令，="内-3>0.

*™'2'111J2112121+4A-l+4£：

则S=6t_6v6_3,

…户+4,+：%启=2

当且仅11v=£,即r=2,即4=±立时等号成立,

I2