新高考数学一轮复习讲练测专题7.2等差数列及其前n项和（练）解析版

专题7.2等差数列及其前n项和练基础练基础1．（2021·全国高三其他模拟（文））在等差数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，则公差SKIPIF1<0（）A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】B【解析】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，根据等差数列通项公式计算可得；【详解】解：设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故选：B2．（2020·湖北武汉�高三其他（文））设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则公差SKIPIF1<0等于（）A．0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：B.3.（2020·全国高三其他（理））已知SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.4．（2019·浙江高三会考）等差数列ann∈N∗的公差为d，前n项和为Sn，若A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】根据题意，等差数列an中，S3=S9，则S9−S3=a4+a55．（2021·全国高三其他模拟（文））我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（）A．30.8贯 B．39.2贯 C．47.6贯 D．64.4贯【答案】A【解析】由题意知甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数组成等差数列，由等差数列项的性质列方程组即可求出所要的结果.【详解】解：依次记甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数为a1，a2，a3，a4，a5，由数列{an}为等差数列，可记公差为d，依题意得：SKIPIF1<0，解得a1=64.4，d=﹣8.4，所以a5=64.4﹣33.6=30.8，即戊所得钱数为30.8贯.故选：A.6．（2020·全国高三课时练习（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则，，…，中最大的项为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵等差数列前n项和SKIPIF1<0，由S15>0，S16<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，若视为函数则对称轴在SKIPIF1<0之间，∵SKIPIF1<0，∴Sn最大值是SKIPIF1<0，分析SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0为正值时有最大值，故为前8项，又d＜0，SKIPIF1<0递减，前8项中SKIPIF1<0递增，∴前8项中SKIPIF1<0最大SKIPIF1<0最小时SKIPIF1<0有最大值，∴SKIPIF1<0最大．7．（2019·全国高考真题（文））记为等差数列的前项和，若，则___________.【答案】100【解析】得8.（2019·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.【答案】4.【解析】因，所以，即，所以．9.（2021·河南高三其他模拟（文））设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4=2S3-2，2a5-a6=7，则S8=___________.【答案】64【解析】设{an}的公差为d.根据已知条件列出方程组，计算求解即可.【详解】设{an}的公差为d.因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：64.10.（2018·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知（1）求{a（2）求Sn，并求S【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·上海市大同中学高三三模）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则“数列SKIPIF1<0为无穷数列”是“数列SKIPIF1<0单调”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由已知可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，若存在正整数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，此时数列SKIPIF1<0为有穷数列；若SKIPIF1<0恒不为0，由SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0为无穷数列，由此根据充分条件、必要条件的定义进行分析即可得结论．【详解】解：令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为等差数列，首项为SKIPIF1<0，公差为1，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是单调递增的等差数列，若存在正整数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，则有SKIPIF1<0，此时数列SKIPIF1<0为有穷数列；若SKIPIF1<0恒不为0，由SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时SKIPIF1<0为无穷数列.（1）若SKIPIF1<0恒不为0，则SKIPIF1<0为无穷数列，由递推关系式有SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时数列SKIPIF1<0不是单调数列；（2）当数列SKIPIF1<0为有穷数列时，存在正整数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，此时数列SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0单调，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0全为正或全为负，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0全为正，而SKIPIF1<0，这与SKIPIF1<0单调递增矛盾，所以当数列SKIPIF1<0为有穷数列时，数列不可能单调，所以当数列SKIPIF1<0单调时，数列SKIPIF1<0一定有无穷多项．故选：B.2．（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模（理））习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列SKIPIF1<0（单位万元，SKIPIF1<0），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金SKIPIF1<0的SKIPIF1<0倍，已知SKIPIF1<0．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（）A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元【答案】C【解析】本题可设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，然后根据题意得出五年累计总投入资金为SKIPIF1<0，最后通过基本不等式即可求出最值.【详解】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由题意可知，五年累计总投入资金为：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，故选：C.3．（2021·四川遂宁市·高三其他模拟（理））定义函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.记集合SKIPIF1<0中元素的个数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】先根据条件分析出当SKIPIF1<0时，集合SKIPIF1<0中的元素个数为SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，再结合裂项相消法进行求和可得结果.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在各个区间中的元素个数分别为：SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0中元素个数为：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D.4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为其前n项和，则SKIPIF1<0的最小值为___________.【答案】8【解析】利用SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的值，然后利用等差数列求和公式求得SKIPIF1<0，利用函数图象得SKIPIF1<0的最小值可能为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，分别求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得出最小值.【详解】由于SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,作函数SKIPIF1<0的图象，故SKIPIF1<0的最小值可能为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：8.5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列SKIPIF1<0…，其中在第SKIPIF1<0个1与第SKIPIF1<0个1之间插入SKIPIF1<0个SKIPIF1<0若该数列的前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0___________.【答案】3【解析】当SKIPIF1<0时，若有n个1，由题知，数列共有SKIPIF1<0项，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，所以前SKIPIF1<0项中含63个1，其余均为x，从而根据前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0求得x.【详解】当SKIPIF1<0时，若有n个1，由题知，数列共有SKIPIF1<0项，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，所以前SKIPIF1<0项中含63个1，其余均为x，故该数列的前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：36．（2021·广东揭阳市·高三其他模拟）已知正项等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，两式相减可得SKIPIF1<0，从而可求出SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，进而可出数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，从而可求出SKIPIF1<0【详解】解：（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0相减得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0舍去)由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，进而求得数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）由（1）得到SKIPIF1<0，利用累加法，求得SKIPIF1<0，进而求得SKIPIF1<0，利用裂项法求和，即可求解.【详解】（1）由题意，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，符合上式，所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足上式，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.8．（2021·全国高三其他模拟（理））已知各项均为正数的数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）证明：数列SKIPIF1<0是等差数列；（2）数列SKIPIF1<0的前项SKIPIF1<0和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）将已知递推关系移项配方整理可得SKIPIF1<0，进而利用等差中项法证明数列SKIPIF1<0是等差数列；（2）利用裂项求和法求和化简后即得证.【详解】解：（1）由SKIPIF1<0结合数列各项均为正数得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是等差数列；（2）SKIPIF1<0，则公差SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.9．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）设各项均为正的数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）由SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0的值，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系推导出数列SKIPIF1<0为等差数列，确定该数列的首项与公差，可求得SKIPIF1<0的通项公式；（2）计算出SKIPIF1<0，然后利用等差数列的求和公式可求得SKIPIF1<0.【详解】（1）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由数列SKIPIF1<0的各项为正，可得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列．即数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.10．（2019·浙江高三期末）在数列、中，设是数列的前项和，已知，，，.（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若时，恒成立，求整数的最小值.【答案】（1），（2）整数的最小值是11.【解析】（Ⅰ）因为，即，所以是等差数列，又，所以，从而.（Ⅱ）因为，所以，当时，①②①-②可得，，即，而也满足，故.令，则，即，因为，，依据指数增长性质，整数的最小值是11.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1.（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列SKIPIF1<0就是二阶等差数列，数列SKIPIF1<0SKIPIF1<0的前3项和是________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.2．（2020·海南省高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为数列SKIPIF1<0是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列SKIPIF1<0是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列SKIPIF1<0是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.3.（2019·北京高考真题（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．【答案】0.-10.【解析】等差数列中,,得,公差,,由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.4.（2021·全国高考真题（文））记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，已知SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0是等差数列，证明：SKIPIF1<0是等差数列.【答案】证明见解析.【解析】先根据SKIPIF1<0求出数列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，进一步写出SKIPIF1<0的通项，从而求出SKIPIF1<0的通项公式，最终得证.【详解】∵数列SKIPIF1<0是等差数列，设公差为SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0