第四章信号与系统

4.4拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系问题1：已知FF(

)求FL(s)？问题2：已知FL(s)求FF(

)？？因果信号*14.4拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系已知FF(

)求FL(s)？把FF(

)中的j

用s替代，并去除冲激项即可得FL(s)已知FL(s)求FF(

)

？首先确定FF(

)是否存在？如果FF(

)存在，把FL(s)中的s用j

替代后如何添加冲激项？*24.4拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系FL(s)的收敛域横座标

0>0，即有极点位于s右半平面没有频谱密度函数，即傅里叶变换不存在FL(s)的收敛域横座标

0<0，即所有极点均位于s左半平面*34.4拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系FL(s)的收敛域横座标

0=0，即有极点位于虚轴上，没有极点在s右半平面虚轴上为单极点其极点均位于s左半平面*44.4拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系虚轴上有重极点，设有q重极点j

0其极点均位于s左半平面*54.4拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系例：解：

0=2>0，故FF(

)不存在*64.4拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系例：解：

0=-2<0，故FF(

)存在*74.4拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系例：解：

0=0，故FF(

)存在*84.4拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系例：解：

0=0，故FF(

)存在*94.5连续系统的复频域分析4.5.1复指数信号est激励下的零状态响应4.5.2任意信号f(t)激励下的零状态响应4.5.3微分方程的复频域分析4.5.4电路的复频域分析*104.5.1复指数信号est激励下的零状态响应Ｈ(s)表明：当一个无时限复指数信号作用于线性时不变系统时，其零状态响应仍为同复频率的指数信号，但被加权了。条件：s0位于H(s)

的收敛域内，即s0位于H(s)最右极点的右边。双边信号*114.5.1复指数信号est激励下的零状态响应例：已知，，求解：H(s)

的收敛域横坐标

0=2<3*124.5.1复指数信号est激励下的零状态响应例：已知，，求解：

的收敛域横坐标

0=-3<-2*134.5.1复指数信号est激励下的零状态响应思考：已知，，求。试判别如下两种解法的正确性。法（一）*144.5.1复指数信号est激励下的零状态响应法（二）*154.5.1复指数信号est激励下的零状态响应注意：两种解法各自的条件正确解法：从而解不存在*164.5.2任意信号f(t)激励下的零状态响应*174.5.3微分方程的复频域分析对上式两端作LT，假定x(t)为因果信号设*184.5.3微分方程的复频域分析系统函数H(s)*194.5.3微分方程的复频域分析例：(1)求

(2)求和，并由此求

解：(1)将微分方程两端作拉普拉斯变换*204.5.3微分方程的复频域分析(2)将微分方程两端作拉普拉斯变换*214.5.3微分方程的复频域分析*224.5.3微分方程的复频域分析*234.5.3微分方程的复频域分析注意：t>0与

(t)的区别。对零状态响应可以注明t>0或乘以

(t)。但对零输入响应只可以注明t>0，不能乘以

(t)。因为t<0时零输入响应不一定为零。类似地，全响应仍然只可以注明t>0，不能乘以

(t)。

*244.5.4电路的复频域分析分析思路（与相量法类似）将时域电路模型改画为复频域模型将复频域电路模型求解，得复频域解将复频域解作拉普拉斯反变换得时域解*254.5.4电路的复频域分析电路元件的复频域模型电阻元件时域s域*264.5.4电路的复频域分析电感元件时域s域*274.5.4电路的复频域分析电容元件时域s域*284.5.4电路的复频域分析例：电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，试求响应iL(t)和uC(t)。试用经典法求解。S*294.5.4电路的复频域分析例：如图所示电路，us(t)=6

(t)

V，R1=4

，R2=2，L=1H，C=0.5F，iL(0-)=2A，uC(0-)=2V，试求响应iL(t)和uC(t)。*304.5.4电路的复频域分析解：(1)画出复频域电路模型(2)列写s域方程，求复频域解us(t)=6V，R1=4

，R2=2，L=1H，C=0.5F，iL(0-)=2A，uC(0-)=2V，*314.5.4电路的复频域分析(3)求时域解(2)求复频域解*324.5.4电路的复频域分析例：图示电路，R=1

，C=1F，初始状态uC(0-)=1V，us(t)=(1+e-3t)

(t)

V，试求响应uC(t)。*334.5.4电路的复频域分析解：(1)画出复频域电路模型(2)列写s域方程，求复频域解us(t)=(1+e-3t)

(t)V

R=1

C=1F

uC(0-)=1V*344.5.4电路的复频域分析(3)求时域解(2)求复频域解*354.6LTI系统的系统函数及系统特性4.6.1系统函数4.6.2H(s)的零极点分布对系统特性的影响*364.6.1系统函数系统函数与单位冲激响应是拉普拉斯变换对例：*374.6.1系统函数系统函数与微分方程*384.6.1系统函数例：求如下系统的单位冲激响应解：*394.6.1系统函数例：求描述如下系统的微分方程解：*40例：求该系统的系统函数和冲激响应。已知系统的微分方程为解：4.6.1系统函数*41练习：求该系统的系统函数和冲激响应。已知系统的微分方程为。解：微分方程两边取零状态拉氏变换，有4.6.1系统函数*424.6.1系统函数例：已知系统的输入时，系统的零状态响应。求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。解：*434.6.1系统函数具体电路中系统函数的确定由零状态的复频域电路模型可求系统函数例：求如图所示电路的系统函数（为激励，为响应）*444.6.1系统函数解：画出零状态复频域电路模型*454.6.2系统函数的零、极点分布对系统特性的影响1.零、极点含义零点：分子多项式N(s)=0的根极点：分母多项式D(s)=0的根*464.6.2系统函数的零、极点分布对系统特性的影响系统函数的零点系统函数的极点标量系数*474.6.2系统函数的零、极点分布对系统特性的影响零、极点图把系统函数的零、极点绘在s平面上的图形零点用O表示，极点用

表示。若为n重零点或n重极点，则在旁边注以(n)。研究零、极点的意义：从系统函数的极点分布可以知道系统响应具有的模式，从而可以了解系统是否稳定。从系统函数的零、极点分布可以求得系统的频率响应特性，从而可以分析系统的正弦稳态响应特性。*484.6.2系统函数的零、极点分布对系统特性的影响*492．H(s)极点分布与原函数的对应关系几种典型情况一阶极点当，极点在左半平面，衰减振荡当，极点在右半平面，增幅振荡二阶极点有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随，这表明的极点位于左半平面，由此可知，收敛域包括虚轴，均存在，两者可通用，只需将即可。三．H(s)、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应激励：系统函数：响应：自由响应分量＋强制响应分量X几点认识自由响应的极点只由系统本身的特性所决定，与激励函数的形式无关，然而系数都有关。响应函数r(t)由两部分组成：系统函数的极点

自由响应分量；激励函数的极点

强迫响应分量。定义系统行列式（特征方程）的根为系统的固有频率（或称“自然频率”、“自由频率”）。H(s)的极点都是系统的固有频率；H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失。暂态响应和稳态响应瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着t增大，将消失。稳态响应＝完全响应－瞬态响应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。零点移动到原点4.6.2系统函数的零、极点分布对系统特性的影响零点的分布只影响时域函数的幅度和相移，不影响振荡频率*56例极点：零点：画出零极点图：12/14/202357例给定系统微分方程试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。解：方程两端取拉氏变换*58零输入响应／零状态响应则

*59稳态响应／暂态响应，自由响应／强迫响应极点位于s左半平面极点位于虚轴暂态响应稳态响应H(s)的极点E(s)的极点自由响应强迫响应*604.6.2系统函数的零、极点分布对系统特性的影响三、频率响应特性（稳定系统）譬如：*614.6.2系统函数的零、极点分布对系统特性的影响*624.6.2系统函数的零、极点分布对系统特性的影响例：分析如图示电路的频率响应特性解：*634.6.2系统函数的零、极点分布对系统特性的影响*644.6.2系统函数的零、极点分布对系统特性的影响例：系统函数的零、极点图如图所示，求系统的频率响应特性*654.6.2系统函数的零、极点分布对系统特性的影响例：系统函数的零、极点图如图所示，求系统的频率响应特性*66一般可以认为，若系统有一对非常靠近虚轴的共轭极点，则在附近处，幅频特性出现峰值，相频特性迅速减小。若系统有一对非常靠近虚轴的共轭零点，则在附近处，幅频特性出现谷值，相频特性迅速上升。4.6.2系统函数的零、极点分布对系统特性的影响*674.7LTI连续时间系统的稳定性4.7.1稳定系统4.7.2连续系统的稳定性准则*684.9.1稳定系统含义有界激励产生有界响应的系统。（因果系统）*694.7.1稳定系统系统稳定性稳定系统H(s)的极点均位于s左半平面（不包括虚轴）不稳定系统H(s)至少有一个极点位于s右半平面或在虚轴上为重极点临界稳定系统H(s)的极点除位于s左半平面外，还有单极点位于虚轴上（包括原点）*704.7.1稳定系统系统稳定的充分必要条件H(s)的极点均位于s左半平面（不包括虚轴）思考：试说明实系数K1，K2和K3的大小对如下系统稳定性的影响判断连续时间系统稳定性的方法劳斯—霍尔维茨准则，代数判别法，根轨迹判别法*71系统函数的分母多项式D(S)所有的根都在S左半开面的必要条件是:i.所有系数具有相同符号。例：D(S)=S2-2S+1ii.所有项系数均不能为零。例：D(S)=S3+S2+SD(S)所有偶幂次项为零或所有奇幂次项为零，则有可能出现纯虚根的共轭根，这种属于临界稳定。例：D(S)=S4+2S2+1H(S)为假分式，系统属临界稳定。例：H(S)=S+1+N(S)/D(S)4.7.2连续系统的稳定性准则*72例：4.7.2连续系统的稳定性准则*734.7.2连续系统的稳定性准则劳斯—霍尔维茨(Routh-Hurwitz)准则特征方程D(s)=0的根全部位于s左半平面的充要条件（同时满足如下两条）D(s)的全部系数为正，且不为零劳斯表（劳斯阵列）中第1列元素的符号相同劳斯表中第1列各元素符号改变的次数即为系统特征方程的根位于s右半平面的数目。*744.7.2连续系统的稳定性准则劳斯阵列第1行第2行第3行第4行第5行直到n+1行*754.7.2连续系统的稳定性准则*764.7.2连续系统的稳定性准则例：已知，判别系统稳定性第1行第2行第3行第4行第5行解：*774.7.2连续系统的稳定性准则第1列元素中有两次改变符号，故该系统的特征根有两个位于s右半平面，为不稳定系统。*784.7.2连续系统的稳定性准则劳斯表排列过程中两种特殊情况的处理劳斯表中出现某一行的第1列元素为零，而其余元素又不全为零。可以将第1列中出现的零用一个任意小的正数

来代替，然后继续排写下去*794.7.2连续系统的稳定性准则劳斯表尚未排写完时出现一行元素全为零。利用全零行的前一行的元素组成一个辅助多项式，用辅助多项式导数的系数来代替全零行，再继续排写下去。*804.7.2连续系统的稳定性准则例：已知，判别系统稳定性解：第1行第2行第3行第4行第5行第6行*814.7.2连续系统的稳定性准则当

0＋时，第1列元素中有两次改变符号，故该系统的特征根有两个位于s右半平面，为不稳定系统。*824.7.2连续系统的稳定性准则例：已知，判别系统稳定性解：此行用dA(s)/ds的系数替代

第1行第2行第3行第4行第5行第6行第1列元素中有无符号改变，故该系统为临界稳定系统。*83练习4.7.2连续系统的稳定性准则*844.7.2连续系统的稳定性准则二阶系统稳定的充要条件D(s)各次系数为正说明：对于二阶系统，其劳斯表中第一列元素即为D(s)各次系数。因此其稳定的充要条件为D(s)各次系数为正*854.7.2连续系统的稳定性准则例：已知，求为使系统稳定的实数K的取值范围。解：此二阶系统稳定的充分条件为D(s)各次系数为正，即*86例：如图所示闭环系统，（1）写出系统函数的表达式；（2）K满足什么条件时系统稳定。

4.7.2连续系统的稳定性准则*874.8.1系统框图由系统函数模拟系统引入*884.8.1系统框图X

(s)Y(s)Q

(s)s-1s-1

b0

b1-a1-a0*894.8.1系统框图s域框图解：例：已知系统的时域框图如下，求该系统冲激响应。

x(t)y(t)时域框图-3-2311/s

X(s)Y(s)1/s-3-231*904.8.1系统框图1/s

-3-2X(s)Y(s)1/sQ(s)sQ(s)s2Q(s)*91子系统的基本联接方式并联级联4.8.1系统框图X

(s)H1(s)H2(s)Y(s)=X(s)H1(s)

H2(s)X

(s)H1(s)H2(s)

Y(s)=X(s)[H1(s)+H2(s)]*924.8.1系统框图单环反馈X

(s)H1(s)H2(s)

Y

(s)＝H1(s)

1H1(s)H2(s)

X

(s)*934.8.1系统框图框图化简规则和点前移和点后移X

(s)H

(s)Y

(s)Q(s)

H

(s)Q(s)

1/H

(s)Y

(s)X

(s)X

(s)H

(s)Y

(s)Q(s)

X

(s)Q(s)

H

(s)H

(s)Y

(s)*944.8.1系统框图分点前移分点后移X

(s)H

(s)Y

(s)Y

(s)H

(s)X

(s)H

(s)Y

(s)Y

(s)X

(s)H

(s)Y

(s)X

(s)X

(s)H

(s)Y

(s)1/H

(s)X

(s)*954.8.1系统框图例：试用框图化简法求如下系统的H(s)

H1(s)

H2(s)

H3(s)H4(s)H6(s)H7(s)H5(s)X

(s)Y

(s)

*964.8.1系统框图分点A后移X

(s)

H1(s)

H2(s)

H3(s)H4(s)H6(s)H7(s)H5(s)Y

(s)

1/H4(s)*974.8.1系统框图化简单环反馈X

(s)Y

(s)

H1(s)

H2(s)HA(s)H6(s)H5(s)

1/H4(s)*984.8.1系统框图X

(s)Y

(s)

H1(s)HB(s)H5(s)

*994.8.1系统框图X

(s)Y

(s)H

(s)注：对于复杂系统，框图化简将十分复杂。此种系统可以应用信号流图和梅森公式进行化简。*100一、信号流图的定义

由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。

4.8.1系统的信号流图小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输(或流动)方向，支路上标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。H(s)X(s)Y(s)信号流图H(s)X(s)Y(s)框图*101二、信号流图的名词术语1.节点表示系统变量(即信号)的点。()sF()sXs22b1b1s-1s-1a-0a-()ssX()sX0b()sY11()sY5个节点。4.8.1系统的信号流图*102()sF()sXs22b1b1s-1s-1a-0a-()ssX()sX0b()sY114.8.1系统的信号流图2.支路连接两个节点之间的有向线段(或线条)称为支路。每一条支路代表一个子系统，支路的方向表示信号的传输(或流动)方向，支路旁标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。*1034.8.1系统的信号流图3激励节点(或源点)代表系统激励信号的节点，如图中的节点F(s)。激励节点的特点是，连接在它上面的支路只有流出去的支路，而没有流入它的支路。4响应节点(或阱点)代表所求响应变量的节点，如图中的节点Y(s)。有时为了把响应节点更突出地显示出来，也可从响应节点上再增加引出一条传输函数为1的有向支路，如图中最右边的虚线条所示。*1044.8.1系统的信号流图5混合节点既有输入支路，又有输出支路的节点。仅有一条输出支路的混合节点称为“和点”；仅有一条输入支路的混合节点称为“分点”。()sF()sXs22b1b1s-1s-1a-0a-()ssX()sX0b()sY11*1054.8.1系统的信号流图6通路从任一节点出发，沿支路箭头方向(不能是相反方向)连续地经过各相连支路而到达另一节点的路径称为通路。()sF()sXs22b1b1s-1s-1a-0a-()ssX()sX0b()sY11*1064.8.1系统的信号流图7环路若通路的起始节点就是通路的终止节点，而且除起始节点外，该通路与其余节点相遇的次数不多于1，则这样的通路称为闭合通路或称环路。如图中共有两个环路：环路也称回路。

()sF()sXs22b1b1s-1s-1a-0a-()ssX()sX0b()sY11*1074.8.1系统的信号流图8开通路与任一节点相遇的次数不多于1的通路称为开通路，它的起始节点与终止节点不是同一节点。

()sF()sXs22b1b1s-1s-1a-0a-()ssX()sX0b()sY11*1084.8.1系统的信号流图9前向开通路从激励节点至响应节点的开通路，也简称前向通路。图中共有三条前向通路：

()sF()sXs22b1b1s-1s-1a-0a-()ssX()sX0b()sY11*1094.8.1系统的信号流图10互不接触的环路没有公共节点的两个环路称为互不接触的环路。在图中不存在互不接触的环路。()sF()sXs22b1b1s-1s-1a-0a-()ssX()sX0b()sY11*1104.8.1系统的信号流图11自环路只有一个节点和一条支路的环路称为自环路，简称自环。()sF()sXs22b1b1s-1s-1a-0a-()ssX()sX0b()sY11*1114.8.1系统的信号流图)s(F)s(Y1111222-21-1-41L2L3L4L5L*1124.8.1系统的信号流图12环路传输函数环路中各支路传输函数的乘积称为环路传输函数。13前向开通路的传输函数前向开通路中各支路传输函数的乘积，称为前向开通路的传输函数。*113)s(F)s(Y

)s(Y)s(Y)s(F2分点)s(F1)s(F2)s(Y)s(Y11114.8.1系统的信号流图三、模拟图与信号流图的相互转换规则(1)在转换中，信号流动的方向(即支路方向)及正、负号不能改变。(2)模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图所示。根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的*1144.8.1系统的信号流图(3)模拟图(或框图)中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图所示。

)s(F)s(Y

)s(F