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第11.5节一、有向曲面及曲面元素的投影二、第二型〔对坐标的〕曲面积分的概念与性质三、第二型〔对坐标的〕曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系第二型〔对坐标的〕曲面积分

第十一章1精选课件一、有向曲面及曲面元素的投影•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)2精选课件其方向用法向量指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧•设

为有向曲面,侧的规定

指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影记为的面积为那么规定类似可规定3精选课件二、第二型〔对坐标的〕曲面积分的概念与性质1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面的流量.分析:假设是面积为S的平面,那么流量法向量:

流速为常向量:

4精选课件对一般的有向曲面

,用“大化小,常代变,近似和,取极限〞对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,那么5精选课件设

为光滑的有向曲面,在

上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R

叫做被积函数;

叫做积分曲面.或第二型曲面积分.以下极限都存在向量场假设对的任则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义.6精选课件引例中,流过有向曲面的流体的流量为称为Q

在有向曲面上对

z,x

的曲面积分;称为R

在有向曲面上对

x,

y

的曲面积分.称为P

在有向曲面上对

y,z

的曲面积分;假设记正侧的单位法向量为令那么对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式7精选课件3.性质(1)假设之间无公共内点,那么(2)用ˉ表示的反向曲面,那么8精选课件三、第二型〔对坐标的〕曲面积分的计算法定理:

设光滑曲面取上侧,是上的连续函数,那么证:∵取上侧,9精选课件•假设那么有•假设那么有(前正后负)(右正左负)说明:如果积分曲面取下侧,那么10精选课件例1.

计算其中是以原点为中心,边长为

a

的正立方体的整个外表的外侧.解:

利用对称性.原式

的顶部取上侧

的底部取下侧11精选课件解:把分为上下两局部根据对称性

思考:

下述解法是否正确:例2.计算曲面积分其中为球面外侧在第一和第五卦限局部.12精选课件13精选课件例3.设S是球面的外侧,计算解:14精选课件四、两类曲面积分的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画15精选课件令向量形式四、两类曲面积分的联系16精选课件例4.设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算解:17精选课件例5.

计算曲面积分其中

解:

利用两类曲面积分的联

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