三个基本结论.三类高考试题

三个基本结论.三类高考试题在解三角形中,有两类典型问题:①已知一边和二角,求三角形面积;巧变三角形的面积公式可得其通用公式;②已知两边和其中一边的对角,利用余弦定理可解决此问题;射影定理与正余弦定理具有同等的功能.[母题结构]:(Ⅰ)(面积公式)△ABC的面积S△ABC=a2;(Ⅱ)(解的个数)在△ABC中,己知二边a,b(a>0,b>0)及其中一边a的对角A(00<A<1800),则满足条件的△ABC的个数等于关于c的一元二次方程c2-2bccosA+b2-a2=0正实根的个数;(Ⅲ)(射影定理)在△ABC中,a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA.[母题解析]:(Ⅰ)由△ABC的面积S△ABC=absinC=a2sinC=a2.同理可得:S△ABC=b2,S△ABC=c2;(Ⅱ)若c是方程c2-2bccosA+b2-a2=0的正实根,则c2-2bccosA+b2-a2=0a2=b2+c2-2bccosA2=(+)2||=|+|(又00<A<1800)存在△ABC.(Ⅲ)在△ABC中,由sinA=sin(B+C)sinA=sinBcosC+cosBsinCa=bcosC+ccosB;同理可证其它.1.巧变三角形面积子题类型Ⅰ:(2013年重庆高考试题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)设a=,S为△ABC的面积,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此时B的值.[解析]:(Ⅰ)由a2=b2+c2+bccosA=-A=;(Ⅱ)由S=absinC=a2sinC=a2=3sinBsinCS+3cosBcosC=3cos(B-C)当B=C,即B=时,S+3cosBcosC取最大值3.[点评]:该三角形面积公式不仅可直解“已知一边和二角,求三角形面积”问题,而且还有许多变式应用,本题就是一个典型的例证;利用该三角形面积公式还可解决已知一边及其对角,求三角形面积最大值问题.[同类试题]:1.(2015年浙江高考文科试题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知tan(+A)=2.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若B=,a=3,求△ABC的面积.2.(2015年浙江高考理科试题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b2-a2=c2.(Ⅰ)求tanC的值;(Ⅱ)若△ABC的面积为3,求b的值.2.通解“边边角”子题类型Ⅱ:(2015年陕西高考试题)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b)与n=(cosA,sinB)平行.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=,b=2,求△ABC的面积.[解析]:(Ⅰ)由m∥na:b=cosA:sinBasinB=bcosAsinAsinB=sinBcosAtanA=A=;(Ⅱ)由a2=b2+c2-2bccosAc2-2c-3=0c=3S△ABC=bcsinA=.[点评]:对己知二边a,b(a>0,b>0)及其中一边a的对角A的△ABC问题,利用余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,或先求c,然后解决其它问题;或讨论关于c的一元二次方程c2-2bccosA+b2-a2=0正实根的个数,得△ABC的个数.[同类试题]:3.(2007年天津高考试题)在△ABC中,己知AC=2,BC=3,cosA=-.(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)求sin(2B+)的值.4.(2017年北京高考试题)在△ABC中,∠A=600,c=a.(Ⅰ)求sinC的值;(Ⅱ)若a=7,求△ABC的面积.3.妙用射影定理子题类型Ⅲ:(2011年山东高考试题)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知=.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若cosB=,b=2,求△ABC的面积S.[解析]:(Ⅰ)在ΔABC中,由sinA=sin(B+C)sinA=sinBcosC+cosBsinCa=bcosC+ccosB;同理可得:c=acosB+bcosA;由=bcosA-2bcosC=2ccosB-acosBacosB+bcosA=2(bcosC+ccosB)c=2a=2;(Ⅱ)由b2=a2+c2-2accosB4=a2+4a2-a2a=1,c=2;又由cosB=sinB=S=.[点评]:对于既含边又含角的余弦值的式子,一般可利用射影定理整体代入,寻求“爽快”解答;至于用到哪一个射影定理？可对已知条件进行等价变形,从中逆向寻觅.[同类试题]:5.(2012年课标高考试题)已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边,acosC+asinC-b-c=0.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=2,△ABC的面积为,求b、c.6.(2016年高考全国乙卷试题)ΔABC的内角A,B,C的对边分别别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,ΔABC的面积为,求ΔABC的周长.4.子题系列:7.(2008年全国Ⅰ高考试题)在△ABC中,cosB=-,cosC=.(Ⅰ)求sinA;(Ⅱ)设△ABC的面积S△ABC=,求BC的长.8.(2009年江西高考试题)在△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,tanC=,sin(B-A)=cosC.(Ⅰ)求A,C;(Ⅱ)若S△ABC=3+,求a,c.9.(2017年全国Ⅰ高考试题)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(Ⅰ)求sinBsinC;(Ⅱ)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.10.(2013年课标Ⅱ高考试题)设△ABC在内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a=bcosC+csinB.(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若b=2,求△ABC面积的最大值.11.(2008年四川延考试题)在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知a2+c2=2b2.(Ⅰ)若B=,且A为钝角,求内角A与C的大小;(Ⅱ)若b=2,求△ABC面积的最大值.12.(2012年天津高考试题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=2,c=,cosA=-.(Ⅰ)求sinC和b的值;(Ⅱ)求cos(2A+)的值.13.(2007年上海春招试题)通常用a、b、c分别表示△ABC的三个内角A、B、C所对边的边长,R表示△ABC的外接圆半径.(Ⅰ)如图,在以O为圆心,半径为2的圆O中,BC和BA是圆O的弦,其中BC=2,∠ABC=450,求弦AB的长;(Ⅱ)在△ABC中,若∠C是钝角,求证:a2+b2<4R2;(Ⅲ)给定三个正实数a、b、R,其中b≤a,问a、b、R满足怎样的关系时,以a、b为边长,R为外接圆半径的△ABC不存在、存在一个或存在两个？在△ABC存在的情况下,用a、b、R表示c.14.(2011年江西高考试题)在△ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC.(Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)若a=1,cosB+cosC=,求边c的值.15.(2013年课标Ⅱ高考试题)设△ABC在内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a=bcosC+csinB.(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若b=2,求△ABC面积的最大值.16.(2016年四川高考试题)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且+=.(Ⅰ)证明:sinAsinB=sinC;(Ⅱ)若b2+c2-a2=bc,求tanB.17.(2016年山东高考试题)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知2(tanA+tanB)=+.(Ⅰ)证明:a+b=2c;(Ⅱ)求cosC的最小值.5.子题详解:1.解:(Ⅰ)由tanA==;(Ⅱ)由tanA=S△ABC=absinC=a2sinC=a2=9.2.解:(Ⅰ)由a2=b2+c2-2bccosAa2=b2+c2-bc;又b2-a2=c2b=ca=ccosC=tanC=2;(Ⅱ)由sinC=sinB=sinC=;又S△ABC=absinC=b2sinC=b2=b2=3b=3.3.解:(Ⅰ)由BC2=AB2+AC2-2ABACcosAAB2+AB-5=0AB=cosB=sinB=;(Ⅱ)由sin2B=2sinBcosB=,cos2B=2cos2B-1=sin(2B+)=sin2B+cos2B=.4.解:(Ⅰ)由c=asinC=sinA=;(Ⅱ)由a2=b2+c2-2bccosAb=8S△ABC=6.5.解:(Ⅰ)由acosC+asinC-b-c=0asinC-c=ccosAsinAsinC-sinC=sinCcosAsinA-1=cosAA=;(Ⅱ)由S△ABC=bcsinA=bc=4;又由a2=b2+c2-2bccosAb2+c2=8b=c=2.6.解:(Ⅰ)由2cosC(acosB+bcosA)=c2cosC=1cosC=,C∈(0,π)C=;(Ⅱ)a+b+c=5+.7.解:(Ⅰ)由cosB=-,cosC=sinB=,sinC=sinA=;(Ⅱ)由S△ABC=a2=a=.8.解:(Ⅰ)由tanC=sin(C-A)=sin(B-C)A+B=2CC=,A+B=;又由sin(B-A)=cosC=B-A=B=,A=;(Ⅱ)由S△ABC=a2=3+a=2,同理可得:c=2.9.解:(Ⅰ)由△ABC的面积S△ABC=absinC=a2=a2;又由S△ABC=sinBsinC=;(Ⅱ)由6cosBcosC=1cosA=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC=;由b2+c2-2bccosA=a2b2+c2-bc=9;又由sinBsinC=sinBsinC=sin2Abc=a2=8b2+c2=17(b+c)2=b2+c2+2bc=33△ABC周长=3+.10.解:(Ⅰ)由a=bcosC+csinBbcosC+ccosB=bcosC+csinBcosB=sinBtanB=1B=;(Ⅱ)由S△ABC=absinC=b2sinC=b2=2sinAsinC=sin(2A-)+1△ABC面积取最大值+1.11.解:(Ⅰ)由a2+c2=2b2sin2A+sin2C=2sin2Bsin2A+sin2C=1sin2C=cos2A(A为钝角cosA<0)sinC=-cosAcos(+C)=cosA(A,+C∈(,π))+C=A,又A+C=A=,C=;(Ⅱ)由a2+c2=2b2sin2A+sin2C=2sin2B2sin2B≥2sinAsinCsin2B≥sinAsinC,当sinA=sinC,即a=c=2,B=时,等号成立;由S△ABC=absinC=b2sinC=b2=2≤2=2sinB=△ABC面积的最大值=.12.解:(Ⅰ)由a2=b2+c2-2bccosAb2+b=2b=1cosC=sinC=;(Ⅱ)cos(2A+)=.13.解:(Ⅰ)由R=2AC=2RsinB=2,又由AC2=AB2+BC2-2AB.BCcosBAB2-2AB-4=0AB=+;(Ⅱ)∠C是钝角a2+b2<c2a2+b2<4R2sin2Ca2+b2<4R2;(Ⅲ)在△ABC中,由b≤aB是锐角,所以,b2=a2+c2-2accosBc2-2ac+a2-b2=0…(☆);令f(x)=x2-2ax+a2-b2.则:①△ABC不存在a>2R,或a=b=2R;②△ABC存在一个a=2R,或a=b<2R;当a=2R时,∠A=900,c=;当a=b<2R时,c=2bcosA=2b=;③△ABC存在两个c=(ab).14.解:(Ⅰ)由3acosA=ccosB+bcosC3acosA=acosA=;(Ⅱ)由cosA=sinA=cosB=-cos(A+C)=-cosC+sinC;又由cosB+cosC=sinC+cosC=sinC=c==.15.解:(Ⅰ)由a=bcosC+csinBbcosC+ccosB=bcosC+csinBcosB=sinBtanB=1B=450;(Ⅱ)由b2=a2+