【数学】等差数列的概念第2课时等差数列的性质及应用课件-2023-2024学年高二上数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1等差数列的概念

第2课时等差数列的性质人教A版（2019）

选择性必修第二册复习回顾1.定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。2.通项公式:an=a1+(n-1)d

4.图象:直线上均匀排开的一群离散的点.3.等差中项：a,A,b成等差数列2A=a+b.{an}为等差数列

5.等差数列的判断an-an-1=d

(n≥2)或an+1-an=d

(n∈N*).或2an+1=an+an+2或an=pn+q(p、q是常数)例3某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围.解:设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}.由已知条件，得an＝an－1－d(n≥2)，∴数列{an}是一个公差为－d的等差数列，且a1＝220－d.∴

an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd.

由题意，得a10≥220×5％=11，a11<220×5％=11，等差数列的性质设{an}是公差为d的等差数列，那么性质1an

=am+(n-m)d(n>m)证明：∵an

=a1+(n-1)d①am

=a1+(m-1)d②由①-②得，an

-am=(n-m)d∴an

=am+(n-m)d变形

3.已知{an}是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数.a1a3a5a7d－782－6.50.515.53.7515－11－24课本P15《同步导练》9页“初试身手”第3题和例23.在等差数列{an}中，a3=2，d=6.5，求a7?

性质2已知数列{an}是等差数列，p,q,s,t∈N*,若p+q=s+t，则ap+aq=as+at证明：设数列{an}的公差为d，则as＋at＝a1＋(s－1)d＋a1＋(t－1)d＝2a1＋(s＋t－2)d，ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1＋(p＋q－2)d，因为p＋q＝s＋t，所以ap＋aq＝as＋at.特别地，若m+n=2k，则am+an=2ak课本P17

例5

思考例5是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗?nanO‧‧‧‧spqtasapaqatS(s,as)P(p,ap)Q(q,aq)T(t,at)图4.2-24.已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12.求a4.课本P15答案：3解：变式2.已知等差数列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值;解：由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28.练习作业5.在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列.课本P15

例4已知等差数列{an}的首项a1=2,d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.

(1)求数列{bn}的通项公式.

(2)b29是不是数列{an}的项?若是,它是{an}的第几项?若不是,请说明理由.

例4已知等差数列{an}的首项a1=2,d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.

(1)求数列{bn}的通项公式.

(2)b29是不是数列{an}的项?若是,它是{an}的第几项?若不是,请说明理由.

等差数列的性质性质3已知等差数列{an}，{bn}，公差分别为d,d1,则有①下标成等差数列的项ak,

ak+m,ak+2m,…组成等差数列，公差是______；②数列{λan+μ}(λ,μ是常数)是等差数列，公差是________；③数列{λan±μbn}(λ,μ是常数)是等差数列，公差是____________.特别地，所有偶数项构成的数列a2,a4,a6,…,公差是_____；所有奇数项构成的数列a1,a3,a5,…,公差是_____.④等差数列中依次k项之和，即a1+a2+…+ak，ak+1+ak+2+…+a2k，

a2k+1+a2k+2+…+a3k,…是等差数列，公差是________；md2d2dλdk2dλd±μd14.已知数列{an},{bn}都是等差数列,公差分别为d1,d2,数列{cn}满足cn=

an

+2bn.

(1)数列{cn}是否是等差数列?若是,证明你的结论;若不是,请说明理由.(2)若{an},{bn}的公差都等于2,a1=

b1=1,求数列{cn}的通项公式.课本P18性质应用5.已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1,公差为d.(1)将数列中的前m项去掉,其余各项组成一个新的数列,这个新数列是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是多少?(2)依次取出数列中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个新数列是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是多少?(3)依次取出数列中所有序号为7的倍数的项,组成一个新的数列,它是等差数列吗?你能根据得到的结论作出一个猜想吗?课本P18练习

答案：C.

1.某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位.你能用an表示第n排的座位数吗?第10排有多少个座位?nanO•1569121518•2••••3463课本P173.在等差数列{an}中，an=m，am

=n，且n≠m，求am+n.课本P18

观察归纳法：数列{2n-1}为：1，3，5，7，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，……数列{3n-2}为：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，35，39，……观察可知，两个数列的公共项依次为：1，7，13，19，25，31，……，

练习