电路 (第四版) 课件 第14章 非正弦周期信号电路分析

第14章非正弦周期信号电路分析14.1非正弦周期信号及傅里叶分解14.2有效值、平均值和平均功率14.3非正弦周期信号电路的分析14.4对称三相电路中的高次谐波14.5傅里叶级数的指数形式14.6傅里叶变换简介

14.1非正弦周期信号及傅里叶分解

周期信号是指在一定周期内按照某一规律重复变化的信号,非正弦周期信号是不按正弦规律变化的一切周期信号。

14.1.1非正弦周期信号

若用T表示周期,则周期信号f(t)的一般数学表达式为

非正弦周期信号的典型例子如图14-1所示,图14-1(a)所示是方波(或矩形波)电压周期信号,图14-1(b)所示是锯齿波电压周期信号,图14-1(c)所示是脉冲电流周期信号,图14-1(d)所示是半波整流电压信号。图14-1非正弦周期信号的波形

14.1.2非正弦周期信号的傅里叶分解

一个周期为T的函数f(t),若在区间[-T/2,T/2]上满足狄里赫利条件:f(t)在[-T/2,T/2]上连续,或只存在有限个第一类间断点和极值点,则它一定能展开成收敛的傅里叶级数,即

或

在f(t)的傅里叶分解式(14-3)中,Akm表示f(t)中所包含的那些频率成分以及这些频率成分所占的比重。也可以将傅里叶级数看做时域函数f(t)向不同频率正弦基(函数)上的投影,称为f(t)的幅度频谱(图),如图14-2所示。

图14-2幅度频谱图

例14-1求图14-3(a)所示周期性矩形信号f(t)的傅里叶展开式及其频谱。图14-3例14-1图

表14-1给出几种常见的非正弦周期函数与傅里叶展开式。

14.2有效值、平均值和平均功率

14.2.1非正弦周期信号的有效值交流电路常用有效值表示电压和电流的大小。第9章已经指出,如果电流为周期函数,则有效值的定义为式中,T为周期信号的周期。

值得注意,尽管可根据上式计算出周期电流的有效值,但对线性电路而言,这里关心的是非正弦周期信号有效值与其各次谐波有效值的关系。假设非正弦周期电流i可以展开为傅里叶级数,即

将其代入式(14-5),有

14.2.2非正弦周期信号的平均值

实际工程中常常用到平均值,这里仍以电流为例说明平均值的概念。非正弦周期电流i的平均值定义为

若电流i为正弦电流,则根据以上定义可以计算出电流的平均值为

14.2.3非正弦周期信号的平均功率

现在讨论非正弦周期电路的功率问题。设一端口电路的电压、电流分别为非正弦周期信号,它们的参考方向是关联的。由功率的定义知,一端口吸收的瞬时功率为

其平均功率为

14.3非正弦周期电路的分析如上所述,当电路的激励是非正弦周期信号时,一般情况下响应是很难分析计算的。对线性电路而言,可以应用傅里叶分解将非正弦激励信号表示为直流分量和一系列不同频率的正弦量(各次谐波)之和,然后分别计算直流分量和各次谐波正弦激励下的稳态响应,再应用叠加定理求出电路的时域响应。注意,对于正弦量表示的各次谐波,首先将它们转换到相量域,然后求出相量域的响应,再将其转换成时域响应,最后在时域才能应用叠加定理。需要指出的是,不同频率下的响应在相量域是不能叠加的。

图14-4例14-2图

图14-5例14-3图

解先画出图14-5(a)电路在直流单独激励时的电路图如图14-5(b)所示,由图得

然后画出图14-5(a)电路在基波和3次谐波激励时的相量模型如图14-5(c)所示,根据图得

14.4对称三相电路中的高次谐波

实际中三相发电机发出的电压不是完全的正弦波形,含有一定的谐波分量;由于铁芯的非线性特性,变压器的励磁电流是非正弦的周期波,含有高次谐波分量;另外,因为现代变流装置的大量应用,也使得电网中电压或电流的波形发生畸变。所以,在实际的三相对称电路中,电压与电流都含有高次谐波。

由于式(14-9)均为非正弦周期函数,所以利用傅里叶分解可以将它们分解成傅里叶级数。在三相电路中,一般由于电压为奇函数(如例14-1),所以其分解的结果为奇谐波函数,即

式中k取奇数。下面通过相位比较讨论各次谐波电压的对称性。

14.4.2零序谐波激励下的对称电路分析

在三相对称电路中,如果三相电源的电压为三相对称的非正弦周期量,则由上述分析可知,电源中就含有正序、负序和零序对称组的谐波电压。如果将这样三相对称的非正弦

周期电压的电源连接于三相对称负载上,对于正序和负序组中的各次谐波分量,就可以利用对称三相电路中的方法和本章谐波激励分析方法分别进行计算。但对于零序谐波组,情

况就不同了。

图14-6YY连接电路

若在图14-6中,合上开关S,即构成三相四线制系统。由节点法有

整理得

各相零序电流为

图14-7三相对称电源的△形连接图

14.5傅里叶级数的指数形式

傅里叶级数除了写成三角级数的形式外,还可以写成指数级数的形式。重写式(14-3),即

14.6傅里叶变换简介

根据傅里叶理论,非周期性函数不能直接用傅里叶级数表示,但对其经过周期性延拓后才能用傅里叶级数表示。另外,如果非周期信号的周期趋于无穷大,那么其极限形式的傅里叶展开式就称为非周期函数的傅里叶积分。