专题08比例线段（6个知识点11种题型3个易错点）（原卷版）

专题08比例线段（6个知识点11种题型3个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：相似图形的概念知识点2：相似多边形的概念（重点）知识点3；两条线段的比及比例线段（重点）知识点4：比例的性质（难点）知识点5：黄金分割（难点）知识点6：平行线分线段成比例（难点）【方法二】实例探索法题型1：相似图形的判定题型2：由相似多边形的概念判断命题的真假题型3：识别成比例线段题型4：与比例线段有关的计算题型5：有关比例尺的计算题型6：利用比例的性质进行计算题型7：黄金分割的实际应用题型8：平行线分线段成比例应用题型9：设辅助元求值题型10：与比例线段有关的开放题题型11：平行线分线段成比例的基本事实的推论与平行四边形的综合【方法三】差异对比法易错点1：在求两条线段的比时忽略了要统一单位易错点2：判断线段是否成比例时，局限于字母的顺序而出错易错点3：解题时漏掉一个黄金分割点【方法四】成果评定法【学习目标】1.了解相似多边形及相似比等有关概念。2.了解比例线段的概念，了解比例的基本性质、合比性质、等比性质，会运用比例性质进行简单的变形。3.了解黄金分割点的概念，掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论。【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1相似图形的概念相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．重点剖析：相似图形不仅有平面图形，还有立体图形，在初中阶段主要研究平面图形的相似。在两个大小不相等的相似图形中，我们可以认为大的图形是由小的图形经过放大而成的，也可以认为小的图形是由大的图形经过缩小而成的。学法指导：两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关。【例1】（2022秋•埇桥区期中）下列各组图形中，一定相似的是（）A．任意两个正方形 B．任意两个平行四边形 C．任意两个菱形 D．任意两个矩形【变式】下列给出的图形中，不是相似形的是（ ）（A）由同一张底片印出来大小不同的照片（B）一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片（C）小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像（D）五星红旗上的大五角星和小五角星知识点2相似多边形的概念（重点）如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．注意！！！判断两个多边形是否相似时，既要考虑对应角是否相等，又要考虑对应边长度的比是否相等，二者缺一不可。学法指导：在判断两个多边形是否为相似多边形时，边数相同、角分别相等容易判断，而边是否成比例则需要通过计算来确定，即分别计算长边与长边的比，短边与短边的比，在判断时应注意对应关系。【例2】某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由.

【变式】已知四边形与四边形相似，且.四边形的周长为26.求四边形的各边长.知识点3两条线段的比及比例线段（重点）两条线段的比：注意！！！在计算两条线段的比时，这两条线段的长度单位必须要统一。两条线段的比是一个没有单位的正实数，该比值与线段的长度无关。在地图或工程图纸上，图上距离与实际距离的比通常称为比例尺，因此比例尺也是两条线段的比的一种形式。2．成比例线段：对于四条线段、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意！！！比例线段是有顺序的，即比例线段、b、c、d与比例线段、c、b、d是不同的。【例3】（2022秋·安徽宿州·九年级统考期末）下列各组线段中，成比例的是（）A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cmC．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm知识点4比例的性质（难点）（1）基本性质：如果，那么；如果，那么，，．（2）合比性质：如果，那么；如果，那么．（3）等比性质：如果，那么．重点剖析：利用比例的基本性质可以在比例式和等积式之间互相转化。将比例式化为等积式是有条件的，并不是比例式中的四个字母中的任意两个字母的乘积就等于另外两个字母的乘积，而是比例的外项之积等于内项之积。使用等比性质时，要注意b+d≠0这个条件，否则这个性质不成立。【例4】（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）已知，则（

）A．−3 B．3 C． D．知识点5黄金分割如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数．注意！！！一条线段有两个黄金分割点，因此，一般说点P是线段AB的黄金分割点时，需加注或AP＜BP，否则在已知AB的长度求AP（或BP）的长度时，会有两种情况，此时应分情况讨论。【例5】（2023·安徽蚌埠·校联考一模）主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（BP长为x），则x满足的方程是（）A． B．C． D．以上都不对知识点6平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例．如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么．平行线分线段成比例速记口诀！！！平行线分线段，成比例是关键。先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。【例6】（2022秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（）A． B． C． D．【变式】（2023秋·安徽池州·九年级统考期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（）A． B． C． D．【方法二】实例探索法题型1相似图形的判定1.下面的四个图案是空心的矩形，正方形，等边三角形，不等边三角形，其中每个图案的边的宽度都相等，那么每个图案中边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）2.如果两个四边形的对应边成比例，能不能得出这两个四边形相似？为什么？

题型2由多边形的概念判断命题的真假3.下列说法中，正确的是（）A．两个矩形必相似 B．两个含45°角的等腰三角形必相似 C．两个菱形必相似 D．两个含45°角的直角三角形必相似4.下列判断中，正确的是（）A．所有等边三角形都相似 B．有一个角是40°的等腰三角形都相似 C．所有矩形都相似 D．所有菱形都相似题型3识别比例线段5.下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm6.下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（）A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，题型4与比例线段有关的计算7．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）若线段、、、成比例，其中，，，则____．8．（2022秋·安徽宿州·九年级统考期中）若a＝4cm，b＝9cm，则线段a，b的比例中项是______cm．9．（2023·安徽滁州·校考一模）已知三条线段、、，其中，，是、的比例中项，则_____．题型5有关比例尺的计算10.在比例尺为的地图上，量得与两地的距离是厘米，则与两地的实际距离是 ．题型6利用比例的性质进行计算11．（2023春·安徽淮北·九年级淮北一中校联考阶段练习）若，则________．12．（2022秋•金安区校级月考）已知＝＝＝2，且b+d+f≠0．（1）求的值；（2）若b﹣2d+3f＝5，求a﹣2c+3e的值．题型7黄金分割的实际应用13．（2022秋·安徽六安·九年级统考期末）生活中到处可见黄金分割的美，如上图,在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（

）．A．1.52米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.24米14.主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点点C处，则下列结论一定正确的是（）①AB：AC=AC：BC；②AC≈6.18米；③；④．A.①②③④B.①②③C.①③D.④15．（2023•合肥一模）设点C是长度为8cm的线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为cm．16．（2023•雨山区一模）数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为8cm，则BP的长为cm．17．（2022秋•霍邱县期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB（AP＞BP）上一点，若满足，则称点P是AB的一个黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧点B进入，则他至少走多少米时恰好站在舞台的黄金分割点上？（结果保留根号）18．（2022秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到米）19.宽与长之比为的矩形叫黄金矩形.如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论.题型8平行线分线段成比例的应用20.（2021秋•宝山区校级月考）如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长．21.如图，，，，求的值．22.如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝4cm．（1）求DE、DF的长；（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的长．23．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期中）如图，已知在中，是边的中线，，与交于点G，求的值．24．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期中）如图，中，，．求证：．题型9设辅助元求值25．（2022秋•宣州区期末）（1）若，求的值；（2）若，且2a﹣b+3c＝21，求a：b：c．26．（2022秋·安徽宣城·九年级统考阶段练习）已知线段，，满足，且．(1)求线段，，的长．(2)若线段是线段，的比例中项，求线段的长．27．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期末）已知a，b，c为的三边长，且，．(1)求线段a，b，c的长；(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即），求线段x的长．28．（2022秋•无为市期中）（1）已知，且a+b﹣2c＝6，求a的值．（2）已知线段a＝4cm，线段b＝9cm，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．29．（2022秋•迎江区期中）已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．题型10：与比例线段有关的开放题30．已知三个数、、，请你再添上一个数，使它们成比例，求出所有符合条件的数．题型11：平行线分线段成比例的基本事实的推论与平行四边形的综合31.如图，为平行四边形的对角线上一点，，的延长线交 的延长线于点，交于点，求的值．32．（2022·安徽安庆·校联考一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．(1)若点D是边BC的中点，且BE=CF，求证：DE=DF；(2)若AD⊥BC于D，且BD=CD，求证：四边形AEDF是菱形；(3)若AE=AF=1，求的值．33．（2023•固镇县一模）如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB＝30米，AD＝20米．现欲将其扩建成一个三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ经过点C．（1）DQ＝10米时，求△APQ的面积．（2）当DQ的长为多少米时，△APQ的面积为1600平方米．【方法三】差异对比法易错点1：在求两条线段的比时忽略了要统一单位。34.在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为km．35.东海大桥全长千米，如果东海大桥在某张地图上的长为厘米，则这张地图的比例尺是（ ）（A） （B） （C） （D）易错点2：判断线段是否成比例时，局限于字母的顺序而出错。36.已知有三条线段的长分别为，，的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度．37.已知甲、乙两个三角形相似，甲三角形的三边长分别为、、，乙三角形其中一边的长为，求乙三角形的另外两边的长．易错点3：解题时漏掉一个黄金分割点38.（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长；（2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值．39.如图，乐器上的一根弦厘米，两个端点、固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，求的长．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2022秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）已知线段a，b，c，求作线段x，使x满足的作图中不正确的是（）A． B． C． D．2．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）下列各组中的四条线段成比例的是（

）A．、、、 B．、、、C．、、、 D．、、、3．（2022秋·安徽宣城·九年级统考期末）如果点C是线段的黄金分割点（），那么下列结论正确的为（

）A． B． C． D．4．（2022秋·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）如图，直线，直线分别交、、于点、、，直线分别交、、于点、、，若，，则的值为（

）

A． B． C． D．5．（2022秋·安徽合肥·九年级校考期中）如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点、，线段与网格线的其中两个交点为、，那么：：的值是（）A．：： B．：： C．：： D．：：6．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期中）已知，则=（）A．2 B．- C．-1 D．7．（2022秋·安徽池州·九年级统考期末）已知线段，线段b是、的比例中项，则线段c的长为（

）A．2 B．4 C．6 D．128．（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）如图，如图，在中，分别在边上，∥，，，则的长度为（

）A．4 B．6 C．12 D．159．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，正方形顶点E、F在边上，点M在边上，点N在内部，连接并延长交于点D，若，，则长为（

）

A．1.8 B．2 C．2.4 D．2.510．（2022秋·安徽宣城·九年级校考阶段练习）已知：a、b、c满足（），则k的值为（）A．2 B．0或2 C． D．2或二、填空题11．（2022秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）科学家们通过研究发现，当外界环境温度与人体正常体温（）之比等于黄金分割比时，人体感觉最舒适，这个气温约为（精确到）．12．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如果，则＝．13．（2021秋·安徽安庆·九年级安庆市第四中学校考开学考试）设点是线段的黄金分割点，那么线段的长是．14．（2022秋·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期中）若，则．15．（2023·安徽马鞍山·校考一模）数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然