新教材适用2023-2024学年高中数学第4章指数函数与对数函数4.4对数函数4.4.2对数函数的图象和性质第2课时对数函数的图象和性质(二)学案新人教A版必修第一册

第2课时对数函数的图象和性质(二)学习目标1．运用对数函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用．2．学会用函数的图象和代数运算的方法研究对数函数的性质．核心素养通过本节课的学习，理解对数函数的性质，求对数型复合函数的最值、解不等式、单调性等综合问题，发展数学抽象及数学运算素养.知识点1对数型复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为_增函数_；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为_减函数_.对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．知识点2对数型复合函数的值域对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝logau的单调性求解．练一练：1．函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是(C)A．(0，＋∞) B．(－∞，1)C．(0,1) D．(1，＋∞)[解析]由对数函数的单调知识易知0<a<1.2．已知函数f(x)＝的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是(A)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\r(2)))B．[－1,1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(\r(2),2)))∪[eq\r(2)，＋∞)[解析]由－1≤≤1，得－1≤－2log2x≤1.解得eq\f(\r(2),2)≤x≤eq\r(2).3．函数y＝log0.3(3－2x)在其定义域内是_增_函数(填“增”或“减”)．[解析]由3－2x>0，解得x<eq\f(3,2).设t＝3－2x，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))).因为函数y＝log0.3t是减函数，且函数t＝3－2x是减函数，所以函数y＝log0.3(3－2x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上是增函数．题型探究题型一对数型复合函数的单调性典例1讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．[分析]求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数的定义域，单调区间必须是定义域的子集．[解析]由3x2－2x－1>0，得函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>1或x<－\f(1,3))).当a>1时，若x>1，∵y＝logau为增函数，又u＝3x2－2x－1为增函数，∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．若x<－eq\f(1,3)，∵u＝3x2－2x－1为减函数，∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数．当0<a<1时，y＝logau为减函数，若x>1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数，若x<－eq\f(1,3)，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．[归纳提升]1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表).函数单调性y＝f(μ)增函数增函数减函数减函数μ＝g(x)增函数减函数增函数减函数y＝f[g(x)]增函数减函数减函数增函数对点练习❶函数f(x)＝的单调递增区间为(A)A．(－∞，－2) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(3,2))) D．(5，＋∞)[解析]由题意，得x2－3x－10>0，∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5.令u＝x2－3x－10，函数f(x)的单调递增区间即为函数u＝x2－3x－10在(－∞，－2)∪(5，＋∞)上的单调递减区间，又u＝x2－3x－10在(－∞，－2)上递减，故选A.题型二对数型复合函数的值域典例2求下列函数的值域：[解析](1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R.∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．(2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4.∵u>0，∴0<u≤4.[归纳提升]1.与对数函数有关的复合函数值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)．2．对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤：①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解．对点练习❷函数y＝log0.5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x－1)＋1))(x＞1)的值域是(B)A．(－∞，2] B．(－∞，－2]C．[2，＋∞) D．[－2，＋∞)[解析]令t＝x＋eq\f(1,x－1)＋1＝x－1＋eq\f(1,x－1)＋2≥4(x＞1)，当x＝2时，取得等号，又y＝log0.5t在(0，＋∞)上是减函数，所以y≤－2，所以函数的值域是(－∞，－2]．题型三对数型函数性质的综合应用典例3已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明．[分析](1)函数奇偶性判断的方法是什么？(2)对数的运算法则是什么？[解析](1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0,1－x>0))，∴－1<x<1.∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．(2)由(1)知函数f(x)的定义域为(－1,1)关于原点对称．∴f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．[归纳提升]1.对数函数本身不具有奇偶性，但与有些函数复合后，就具有了奇偶性，如y＝log2|x|就是偶函数．这类函数奇偶性可利用函数奇偶性的定义，并结合对数的运算性质来判断．2．判断函数奇偶性，有时需将函数式化简或利用定义的等价形式判断，如f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔eq\f(f(－x),f(x))＝±1(f(x)≠0)，其中f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)－f(x)＝0多用于对数型函数奇偶性的判断，eq\f(f(－x),f(x))＝±1多用于指数型函数奇偶性的判断．对点练习❸已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.(1)求实数a的取值范围；(2)求不等式loga(3x＋1)<loga(7－5x)的解集；(3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．[解析](1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a＜1，即0＜a＜1.∴实数a的取值范围是(0,1)．(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)<loga(7－5x)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1>0，,7－5x>0，,3x＋1>7－5x，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,3)，,x<\f(7,5)，,x>\f(3,4)，))解得eq\f(3,4)<x<eq\f(7,5).即不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(7,5))).(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上单调递减，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，∴a－2＝eq\f(1,a2)＝5，解得a＝eq\f(\r(5),5).误区警示忽视对数函数的定义域典例4若函数y＝loga(2－ax)在x∈[0,1]上是减函数，则a的取值范围是(B)A．(0,1) B．(1,2)C．(0,2) D．(1，＋∞)[错解]错解一：因为函数f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，根据对数函数在0<a<1时单调递减，知选A.错解二：令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上为减函数，则需y＝logau为增函数，从而得a>1，故选D.[错因分析]在求解时，已经掌握了利用复合函数单调性“同增异减”法则进行解答，但是忽视了对数函数的定义域问题，考虑问题不全面，犯了知识性和能力性的双重错误．[正解]令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数，又根据对数函数定义域要求u＝2－ax在[0,1]上恒大于零，当x∈[0,1]时，umin＝2－a>0，解得a<2.根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上为减函数，则需y＝logau为增函数，所以a>1.综上可得1<a<2，故选B.[方法点拨]对数型函数是考查定义域问题的重点函数．因此，在解决真数中含参数的对数问题时，一定要保证真数大于0.忽略这一点，可能会使所求参数范围扩大致误．如本例中，u＝2－ax在x∈[0,1]时一定要保证u>0才有意义，请学生重点关注．1．(2023·江苏宿迁市高一期末测试)函数f(x)＝lg(3x－1)＋eq\r(1－x)的定义域为(C)A．(0，＋∞) B．(－∞，1]C．(0,1] D．[0,1][解析]由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1>0，,1－x≥0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x>1，,x≤1，))∴0<x≤1，故选C.2．函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上(A)A．是增函数 B．是减函数C．先增后减 D．先减后增[解析]当a>1时，y＝logat和t＝(a－1)x＋1都是增函数，所以f(x)是增函数；当0<a<1时，y＝logat和t＝(a－1)x＋1都是减函数，所以f(x)是增函数，故选A.3．已知函数f(x)＝log3eq\f(m－x,2＋x)为奇函数，则实数m的值为_2_.[解析]∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝log3eq\f(m＋x,2－x)＋log3eq\f(m－x,2＋x)＝log3eq\f(m2－x2,4－x2)＝0，即eq\f(m2－x2,4－x2)＝1，所以m2＝4，m＝±2，当m＝－2时eq\f(