新教材适用2023-2024学年高中数学第4章指数函数与对数函数4.2指数函数4.2.1指数函数的概念学案新人教A版必修第一册

4．2.1指数函数的概念学习目标1．通过具体实例，了解指数函数的实际意义．2．理解指数函数的概念．核心素养1．通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养．2．通过指数函数的实际应用，发展数学建模素养.知识点1指数函数函数_y＝ax(a>0，且a≠1)_叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R_.[拓展]指数函数的底数规定a>0，且a≠1的原因：(1)如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．(2)如果a＜0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，该函数无意义．(3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．提醒：指数函数解析式的特征：(1)a>0，且a≠1；(2)ax的系数为1；(3)自变量x的系数为1的函数．练一练：1．下列函数中一定是指数函数的是(C)A．y＝2x＋1 B．y＝x2C．y＝3－x D．y＝－2·3x[解析]只有y＝3－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x符合指数函数的概念，A，B，D选项中函数都不符合y＝ax(a＞0，且a≠1)的形式．2．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝(eq\r(2))x_.[解析]设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f(2)＝2得a2＝2，∴a＝eq\r(2)或－eq\r(2)(舍去)．∴f(x)＝(eq\r(2))x.知识点2指数型函数模型形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0且a≠1)的函数是指数型函数模型．想一想：设原有量为N，每次的增长量为p，经过x次增长，该量增长到y，则x，y之间满足的关系式是什么？提示：y＝N(1＋p)x(x∈N)．练一练：按复利计算利率的储蓄，存入银行2万元，如果年息3%,5年后支取，本利和为人民币(B)A．2(1＋0.3)5万元 B．2(1＋0.03)5万元C．2(1＋0.3)4万元 D．2(1＋0.03)4万元题型探究题型一指数函数的概念典例1(1)(多选题)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是(AB)A．y＝(eq\r(3)＋1)xB．y＝πxC．y＝－4xD．y＝ax＋2(a>0，a≠1)(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(C)A．a＞0且a≠1 B．a≥0且a≠1C．a＞eq\f(1,2)且a≠1 D．a≥eq\f(1,2)[分析]利用指数函数的定义进行判断．[解析](1)函数y＝(eq\r(3)＋1)x的底数eq\r(3)＋1>0，系数为1，故A中函数是指数函数；函数y＝πx的系数为1，底数π>1，故B中函数是指数函数；函数y＝－4x的系数为－1，故C中函数不是指数函数；函数y＝ax＋2＝a2·ax的系数为a2，故D 中函数不是指数函数，故选B.(2)函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,2a－1≠1))，解得a＞eq\f(1,2)且a≠1.[归纳提升]1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数．(2)指数位置是自变量x.(3)ax的系数是1.2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件．对点练习❶(1)下列函数中是指数函数的是(D)A．y＝2·(eq\r(2))x B．y＝xxC．y＝3－eq\f(1,x) D．y＝eq\f(1,2x)(2)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则(C)A．a＝1或－1 B．a＝1C．a＝－1 D．a>0且a≠1[解析](1)由指数函数定义可知，函数y＝eq\f(1,2x)＝是指数函数，故选D.(2)由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,2－a>0，,2－a≠1，))解得a＝－1.题型二指数函数解析式典例2(1)指数函数y＝f(x)的图象经过点(π，eq\r(2))，则f(－π)＝eq\f(\r(2),2)_；(2)指数函数y＝f(x)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))，那么f(4)·f(2)＝_64_.[解析](1)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则aπ＝eq\r(2)，∴f(－π)＝a－π＝eq\f(1,aπ)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则a－2＝eq\f(1,4)，∴a＝2.∴f(x)＝2x，∴f(4)·f(2)＝24·22＝26＝64.[归纳提升]求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)．(2)利用已知条件求底数a.(3)写出指数函数的解析式．对点练习❷(1)若点(a,27)在函数y＝(eq\r(3))x的图象上，则eq\r(a)的值为(A)A.eq\r(6) B．1C．2eq\r(2) D．0(2)若指数函数y＝f(x)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,16)))，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(1,8)_.题型三指数型函数的实际应用角度1增长型指数函数模型典例3随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为(B)A．3000×1.06×7元B．3000×1.067元C．3000×1.06×8元D．3000×1.068元[解析]由题意知，2021年底该地区农民人均收入为3000×(1＋6%)7＝3000×1.067，故选B.角度2衰减型指数函数模型典例4调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过________小时后才可以驾驶机动车．(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]设n小时后才可以驾车，据题意得0．8(1－50%)n≤0.2，∴0.5n≤eq\f(1,4)，∴n≥2，即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车，故选B.[归纳提升]关于指数型函数模型设原有量为N，每次的增长(衰减)率为p，经过x次增长(衰减)，该量增长到y，则y＝N(1±p)x(x∈N)．对点练习❸已知某种产品的生产成本每年降低25%.若该产品2017年底的生产成本为6400元/件，那么2020年底的生产成本为_2_700_元/件．[解析]2020年底生产成本6400×(1－25%)3＝2700元．1．下列函数中，是指数函数的是(D)A．y＝(－8)xB．y＝2x2－1C．y＝axD．y＝(2a－1)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>\f(1,2)，且a≠1))2．若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为(B)A．f(x)＝x3 B．f(x)＝2xC．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x D．f(x)＝3．指数函数f(x)的图象经过点(2,4)，则f(3)＝_8_.[解析]设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由题意，得4＝a2，∴a＝2.∴