【课后延时】小学数学专项《应用题》经典方阵问题基本知识-1星题（含解析）全国通用版VIP

班级：姓名：亲爱的同学，在做练习的时候一定要认真审题，完成题目后，记得养成认真检查的好习惯。祝你轻松完成本次练习！期末考名列前茅！【心得记录卡】亲爱的同学，在完成本专项练习后，你收获了什么？掌握了哪些新本领呢？在这里记录一下你的收获吧！年月日应用题-经典应用题-方阵问题基本知识-1星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率方阵问题基本知识B1.明确空心方阵和实心方阵的概念及区别

2.掌握空心方阵和实心方阵的变化规律少考知识提要方阵问题基本知识概述

在日常生活中，我们常把人或物排成正方形的形状，在数学上我们把研究这样的问题称为方阵问题。

在摆放的方阵中如果是实心的，我们叫它实心方阵，也叫中实方阵；如果这个方阵是空心的，我们叫它空心方阵，也叫中空方阵。 实心方阵的特点

总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数 空心方阵的特点

总人（或物）数=（最外层每边人（或物）数−层数）×层数×4

奇数层：总人数=中间层总数×层数

偶数层：总人数=（外层+内层）×层数÷2

若最外层每边有a人，内部虚方阵每边有b人，则空心方阵共有(a2变化规律

相邻两边之间相差2；

相邻两层之间相差8；

每层人（或物）数=每边人（或物）数×4−4=[每边人（或物）数−1]×4 精选例题方阵问题基本知识1.运动会上，五年级学生排成一个方队（横竖行人数相等），已知最外层为60人，这个方队共有

人．【答案】

256【分析】

最外层每边有60÷4+1=16(人)，共有16×16=2562.一个实心方阵，最外一层每边18人，（1）那么整个方阵一共

人；（2）最外面一层有

人；（3）从外向内数，第2层每边有

人，一共有

人；（4）如果考虑最外面三层，那么这三层共有

人．【答案】

324；68；16，60；180【分析】

（1）182（2）17×4=68或18×4−4=68；（3）18−2=16；15×4=60或68−8=60；（4）60×3=180．3.一个长方形队列，如果增加一横行和一竖行，就要增加13人．这个长方形队列原来最少有

人．【答案】

11【分析】

增加一横行和一竖行，就要增加13人，那么原方阵的长与宽的和为13−1=12，所以人数最少时，12=1+11，有1×11=11(人)4.小朋友们排成方阵做广播体操，小明恰好站在方阵的正中心，此时无论是从前往后或者从后往前数他都排在第5个，无论是从左往右或者从右往左数时他都排在第6个，则这个方阵中一共有

位小朋友．【答案】

99【分析】

小明前后各有5−1=4(人)，那么每列就有4+1+4=9(人)；小明左右有6−1=5(人)，那么每行就有5+1+5=115.三年级广播体操比赛采用了方阵的形式，每个方阵有5行，每行8人，3个这样的方阵有多少人？【答案】

120人【分析】

5×8×3＝120（人），答：3个这样的方阵有6.某班所有学生恰好可以排成一个每边为8人的三角阵，请问：这个班共有多少人？【答案】

36人．【分析】

每边为8人的三角阵共有：1+2+3+⋯+8=36人．7.176个棋子摆成一个四层空心方阵，最内层每边有多少棋子？【答案】

9个【分析】

最内层与最外层总数和为176÷4×2＝88（个），则则最内层有(88−3×8)÷2=32（个），则每边有8.用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖400块铺成一块正方形墙面，这个墙面最外圈铺的是红色瓷砖，由外到内的第二圈是绿色瓷砖，第三圈是红色瓷砖，第四圈又是绿色瓷砖……这样依次铺下去．请问这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？【答案】

红色；40块．【分析】

共有400块瓷砖，所以整个方阵是一个20×20的方阵，共有10层，从外向里依次为红、绿两种颜色相间排列，最里一层为绿色；从外向里，每层红色瓷砖都比它里面相邻的那层绿色瓷砖多8块，所以红色比绿色多5×8=40块．9.有225枚棋子，摆成一个15×15的正方形，甲、乙两人从最外一层起，轮流取走每一层的全部棋子，直到取完为止，甲比乙多取了多少没枚棋子？【答案】

31【分析】

甲取走的是56,40,24,8，乙取走的是48,32,16,1，甲比乙多取31枚．10.某学校三年级同学180人，排成一个三层空心方阵，这个方阵最外层每边多少人？【答案】

18【分析】

中间层总数为180÷3＝60（人），则每边有60÷4+1=16（人），所以最外层每边有11.同学们参加了广播操比赛，排成每行9人，每列9人的实心方阵，问方阵中共有多少学生？【答案】

81【分析】

可以根据“实心方阵总人数得到9行9列的实心方阵人数为：9×9=8112.一批同学站成一个10×10的方阵，请问：最外一层共有多少人？从外向里的第3层有多少人？【答案】

36人；20人．【分析】

最外层每边10人，共有10×4−4=36人．从外向里的第3层有：36−8×2=20人．13.三年级学生排成一个实心方阵进行体操表演，最外一层的人数为32人，问这个方阵最外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？【答案】

每边9人，共81人．【分析】

每边有32÷4+1=9共914.一个实心体操方阵，最外层有32人．这个体操方阵有多少人？【答案】

81【分析】

最外层每边人数：(32＋4)÷4＝答：这个体操方阵有81人．15.节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心方阵花坛，最外面的一层每边摆了12盆花，一共3层，一共用去多少盆花？【答案】

108【分析】

方法一：最外层共有12×4−4=44第二层共有44−8=36第三层共有36−8=28所以共有44+36+28=108方法二：第二层每边有12−2=10第二层共有10×4−4=36所以共有36×3=10816.一个实心方阵，最外面一层共有56人，那么这个方阵一共有多少人？【答案】

225．【分析】

最外层每边有：56÷4+1=15人，所以共有15×15=225人．17.一个13×13的方阵中，最外一层一共有多少人？从里向外的第3层有多少人？【答案】

48人；16人．【分析】

最外层共有：13×4−4=48人；最里边一层只有1人，里边第二层有8人．所以从里向外第3层有16人．18.士兵排成一个实心方阵，最外一层一周的人数为80人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有多少士兵？【答案】

21；441人【分析】

80÷4＋1＝答：方阵外层每边有21人，这个方阵共有441士兵．19.小明用一些棋子摆成了一个两层的空心方阵，后来他又用28枚棋子摆成了另外一个单层的空心方阵，摆完后他发现两个方阵正好可以拼在一起，组成一个新的三层空心方阵，那么他原来用了多少枚棋子？【答案】

32或80【分析】

如果单层空心方阵放在双层空心方阵的里面，那么原有棋子(28＋8)＋(28＋8＋20.若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边有10人，共有多少层？1∼3层一共有多少人？【答案】

5；36【分析】

10÷2＝5（层），2×3＝6（人），6×6＝36（人），所以共有21.某学校三年级同学180人，排成个三层空心方阵，这个方阵最外层每边多少人？【答案】

18【分析】

中间层总数为180÷3=60则每边有60÷4+1=16所以最外层每边有16+2=1822.用64枚棋子摆成一个两层中空方阵，如果想在外面再增加一层，问需要增加多少枚棋子？【答案】

44【分析】

方阵相邻两层棋子数差为8，又知两层棋子数和为64，由和差问题，外层有(64+8)÷2=36如果再增加一层，需要增加36+8=4423.一个实心体操方阵，最外层有72人．这个体操方阵有多少人？【答案】

361【分析】

最外层每边人数：(72＋4)÷4＝答：这个体操方阵有361人．24.若干学生排成一个实心方阵，倒数第二层每边比第二层多10人，共有多少层？【答案】

8【分析】

(10÷2)+1＋2＝25.一个实心方阵，最外面一层共有36人，如果要让这个方阵增加一行一列，需要增加多少人？【答案】

21人．【分析】

最外层36人，每边36÷4+1=10人，增加一行一列需要11×11−10×10=21人．26.有一个6层的空心方阵，最外层每边25人，问要多少学生才能排出这个空心方阵？【答案】

456人【分析】

(25−6)×6×4＝答：要456个学生才能排出这个空心方阵．27.一个实心方阵，最外面一层共有44人，请问：（1）这个方阵共有多少人？（2）如果让这个方阵减少一行一列，一共需要减少多少人？【答案】

（1）144；（2）23．【分析】

（1）“最外一层共有44人”，说明最外层每边有：44÷4+1=12人，所以，这个方阵是一个12×12的方阵，共有12×12=144人．（2）减少一行一列，也就是变成一个11×11的方阵，需要减少144−11×11=23人．28.如图所示，小刚在用棋子摆好的实心方阵上又填了17枚棋子，使它的横竖各增加一排，成了大一点的实心方阵，求原来的实心方阵有多少枚棋子？【答案】

64【分析】

填上17枚棋子，正好可以增加一排一列，此时每条边有(17−1)÷2+1=9那么原来的方阵每条边有91−1=8原来实心方阵的总棋子数：8×8=6429.共有200人排成一个5层空心方阵，这个方针最外面一层每边多少人？如果要在最外面增加一行一列，那么需要增加多少人？【答案】

15；31．【分析】

中间层共有：200÷5=40人，所以最外层共有：40+8×2=56人，每边有56÷4+1=15人；增加一行一列需要：16×16−15×15=31人．30.共有240人排成一个5层空心方阵，这个方阵最里面一层每边多少人？如果要在内部加一层，变成6层空心方阵，还需要增加多少人？【答案】

32；24．【分析】

5层中间一层共有：240÷5=48人，所以最内一层共有：48−8×2=32人，每边32÷4+1=9人，内部增加一层需要32−8=24人．31.学而思运动会上，五年级的女生们准备出一个团体操的节目．现在的人数刚好排成一个方阵（每一行人数和每一列人数相等）．后来又加入了23个女生，恰好还可以组成一个方阵．那么你能算出加入23人之前，方阵共有多少人吗？【答案】

121人【分析】

依题意，前后两次的学生总人数都是完全平方数．不妨设前者人数是B2，后者人数是A2.那么根据平方差式，A2−B2=A+BA+B则