考点24 反比例函数的4大模型应用-解析版

考点24反比例函数的4大模型应用一定值矩形与三角形条件：P.Q为反比例函数y＝kx图像两点，PN⊥Y轴，QM⊥X结论：S△NOP＝S△OQM＝12二平行线之间的定值三角形条件：三重叠型定值矩形、定值三角形条件：四喇叭三角形条件：五中点模型条件：1．（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）如图，正方形的顶点A，D分别在函数和的图象上，点B，C在x轴上，则点D的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】设与y轴交于点P，由反比例函数中k的几何意义可知从而可求出．再将代入，可求得，即．【详解】解：如图，设与y轴交于点P，

∵正方形的顶点A，D分别在函数和的图象上，点B，C在x轴上，∴，，∴．∴正方形的边长为3，即，∴．将代入，得，解得：，∴．故选：B．【点睛】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义．掌握过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为是解题关键．2．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图，中，，边轴，顶点，均落在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作，分别交，于点、，若，则为（

）A．： B．： C．： D．：【答案】C【分析】连接，延长交轴于，过作轴于，过作轴于，延长交轴于，依据反比例函数系数的几何意义，即可得到，进而得出，再根据，，即可得到，即可求解．【详解】解：如图所示，连接，延长交轴于，过作轴于，过作轴于，延长交轴于，∵顶点，均落在反比例函数的图象上，∴=k，∴，∵∴，∴，∵，∴，∵OD=2AD，∴，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．3．（2023春·安徽蚌埠·九年级校考阶段练习）点P，Q，R在反比例函数图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴，y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．若，则的值为（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】由得到四边形的面积，四边形的面积，再由反比例函数比例系数的几何意义即可得到．【详解】解：∵，∴四边形的面积，四边形的面积，∵点P，Q，R在反比例函数图象上∴，故选B．【点睛】本题主要考查了反比例函数关系式中k的几何意义，即反比例函数图象上的任意一点向坐标轴作垂线得到矩形的面积是．4．（2022春·安徽合肥·九年级校考开学考试）如图，，是反比例函数图象上的两点，分别过点，作轴的垂线．已知，则阴影部分面积为（）A．3 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】根据反比例函数的几何意义即可求解．【详解】解：如图所示，轴于点，轴于点∵反比例函数∴，∵，∴阴影部分的面积∴阴影部分面积为3，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．5．（2022秋·安徽宣城·九年级统考期末）如图，已知A、B是反比例函数图象上的两点，轴，交x轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿匀速运动，终点为C．过点P作轴于Q．设的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（

）

A．B． C． D．【答案】B【分析】分别判断当点P在线段上运动时，当点P在上运动时，点P在上运动时的图像变化趋势，即可作出选择．【详解】解：当点P在线段上运动时，设直线的表达式为，点P的坐标满足，则（a是大于0的常数，），图象为抛物线的一部分；当点P在上运动时，此时的面积（），保持不变；点P在上运动时，设路线的总路程为l，点P的速度为b，则，因为l，，b均是常数，所以S与t成一次函数关系．综上所述，S关于t的函数图象大致为B选项，故选：B．【点睛】本题考查了函数综合和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的移动确定函数的种类，从而确定其图象．6．（2023春·安徽滁州·九年级校考开学考试）如图所示，，是函数的图象上关于原点的任意一对对称点，平行于轴，平行于轴，的面积为，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出点A的坐标，可得点B的坐标．易得为直角三角形，面积等于，把相关数值代入求值即可．【详解】解：设点A的坐标为，点A在反比例函数解析式上，∴点B的坐标为，，∵平行于y轴，平行于x轴，∴的直角三角形，∴，，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查反比例函数的比例系数的意义；用到的知识点为：关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．7．（2023春·安徽·九年级校联考阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点P在上，轴于点，交于，则的面积为(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据反比例函数y系数的几何意义得到，，然后利用进行计算即可．【详解】解：∵轴于点，交于点，∴，，∴．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．8．（2022秋·安徽亳州·九年级校考阶段练习）如图，过反比例函数y＝（x＞0）的图像上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设AC与OB的交点为E，△AOE与梯形ECDB的面积分别为、，比较它们的大小，可得（）A．＞ B．＝ C．＜ D．大小关系不能确定【答案】B【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得：，再由，，利用等式的性质得到答案．【详解】解：由反比例函数系数k的几何意义可得：；∵，，∴，即＝．故选：B．【点睛】此题主要考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|．9．（2022秋·安徽六安·九年级统考阶段练习）如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点固定，且始终有，当顶点C在函数的图象上从上到下运动时，顶点B在x轴的正半轴上移动，则ABC的面积大小变化情况是（

）A．先减小后增大 B．先增大后减小 C．一直不变 D．先增大后不变【答案】C【分析】根据三角形ABC的面积是点C的横坐标与纵坐标的乘积除以2，和点C在函数的图象上，可以解答本题．【详解】解：∵等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数的图象上运动，且AC=BC，设点C的坐标为，∴，即△ABC的面积不变，故选：C．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是将反比例的系数k与三角形的面积联系在一起．10．（2017·安徽·九年级专题练习）已知点M（-1，1）与反比例函数的图像如图所示，则二次函数的图像大致为（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】先由反比例函数的图象确定k的范围，根据点M，确定，再利用二次函数的性质进行判断即可.【详解】解：根据题意，反比例函数的图象在二、四象限，所以k<0，∵M（-1，1）不在双曲线上，且，∴2k<0，∴抛物线的开口向下，对称轴为：直线，∴抛物线的对称轴在y轴的左侧，抛物线与y轴的交点为（0，），∵，∴，在y轴的正半轴上交点在1的下方；观察各选项，只有C符合．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数的图象和性质，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．11．（2019秋·安徽蚌埠·九年级校联考阶段练习）如图，点是反比例函数（x＞0）的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形，其中C、D在x轴上，则为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b，即可求得A、B的横坐标，则AB的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．【详解】解：设A的纵坐标是b，∵轴，∴点B的纵坐标也是b.把y=b代入得，，则，即A的横坐标是，把y=b代入得，，则，即B的横坐标是，则，则．故选：D．【点睛】本题考查了是反比例函数与平行四边形的综合题，理解A、B的纵坐标是同一个值，表示出AB的长度是解决本题关键．12．（2022秋·安徽芜湖·九年级统考期末）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数与在第一象限的图象分别为曲线，，点P为曲线上的任意一点，过点P作y轴的垂线交于点A，交y轴于点M，作x轴的垂线交于点B，则的面积是（

）A． B．3 C． D．4【答案】A【分析】如图，记轴的交点为：可得四边形为矩形，设则再求解的面积即可.【详解】解：如图，记轴的交点为：四边形为矩形，设则故选A【点睛】本题考查的是反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图象的性质，矩形的判定与性质，掌握“中的的几何意义”是解本题的关键.13．（2022秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，点A是反比例函数的图象上任意-点，轴交反比例函数的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C，D在x轴上，则平行四边形ABCD的面积为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】设的纵坐标是，则的纵坐标也是，即可求得、的横坐标，则的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．【详解】解：设的纵坐标是，则的纵坐标也是．把代入得，，则，即的横坐标是，；同理可得：的横坐标是：．则．则．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数与平行四边形的综合题，理解、的纵坐标是同一个值，表示出的长度是关键．14．（2020秋·安徽淮南·九年级淮南市龙湖中学校考阶段练习）如图所示，A、B是反比例函数图象上的两点，分别过A、B作x轴，y轴的垂线，构成图中三个相邻且不重叠的小矩形S1、S2、S3，已知S2=3，则S1+S3=（

）．A．18 B．12 C．9 D．6【答案】B【分析】直接根据反比例函数k的几何意义即可求解．【详解】解：∵A、B是反比例函数图象上的两点∴S1+S2=9S2+S3=9∴S1+2S2+S3=18∵S2=3∴S1+S3=12故选：B．【点睛】此题主要考查反比例函数性质的应用，解题的关键是正确理解性质．15．（2019春·安徽合肥·九年级校考开学考试）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为4，则这个反比例函数的解析式为．【答案】y=﹣．【详解】试题分析：过A点向x轴作垂线，与坐标轴围成的四边形的面积是定值|k|，由此可得出答案．解：过A点向x轴作垂线，如图：根据反比例函数的几何意义可得：四边形ABCD的面积为4，即|k|=4，又∵函数图象在二、四象限，∴k=﹣4，即函数解析式为：y=﹣．故答案为y=﹣．考点：反比例函数系数k的几何意义．16．（2023春·安徽合肥·九年级校考开学考试）如图，点A，B是双曲线上的点，分别经过A，B两点向轴，轴作垂线段，若，则．

【答案】【分析】根据反比例函数的几何意义，即可得到答案．【详解】解：由题意可得：，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义：过反比例函数图像上的点作坐标轴垂线围成的图形的面积等于的绝对值．17．（2023·安徽亳州·九年级专题练习）如图，点A是双曲线上的动点，过点A作x轴的平行线交双曲线于点B，作轴于点C，连接，若四边形为平行四边形，则k的值是．【答案】【分析】延长交y轴于点D，过B作轴，结合反比例函数k的几何意义即可得到答案；【详解】解：延长交y轴于点D，过B作轴，∵点A是双曲线，轴，∴，，∵四边形为平行四边形，∴，∵轴，轴，轴，∴，∵点B在上，∴，解得：，故答案为；【点睛】本题考查反比函数k的几何意义，解题的关键是根据平行四边形对角线将四边形分成两个全等的三角形得到面积．18．（2023·安徽滁州·校联考模拟预测）如图，在反比例函数（）的图象上有点，，，，，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作轴、轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，已知的纵坐标为10．（1）的值为；（2）阴影部分的面积的值为；（3）阴影部分的面积，，，的和为．【答案】201016【分析】（1）把代入反比例函数解析式求解即可；（2）由，在反比例函数（）上，求得，即可求解；（3）过，，，，作轴、轴的垂线，阴影部分的面积，，，的和为，由，的坐标求得,，即可求解．【详解】（1）点的横坐标为2，的纵坐标为10，点在反比例函数（）的图象上，，，故答案为：20；（2）如图，点在反比例函数（）的图象上，点的横坐标为4，，的纵坐标为5，．四边形为矩形，，点的横坐标为2，的纵坐标为10，，，，四边形和四边形为矩形，，，故答案为：10；（3）点，，，，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作轴、轴的垂线，，，，阴影部分的面积，，，的和为．点在反比例函数（）的图象上，点的横坐标为10，，的纵坐标为2，，四边形为矩形，，，．阴影部分的面积，，，的和为16，故答案为：16．【点睛】此题考查了反比例函数的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的几何意义是解本题的关键．19．（2022秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和矩形的边交于点E，且，则矩形的面积为．【答案】6【分析】设E点的坐标是，根据题意得到，进而得到，即可求出矩形的面积是．【详解】∵四边形是矩形，∴，设E点的坐标是，∵双曲线与矩形的交于点E，且，∴，∴，∴矩形的面积是．故答案为：6【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特点，整体代入法，熟知反比例函数图象上的点的坐标之积为比例系数k是解题关键．20．（2019·安徽合肥·九年级校考期中）如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，点B在双曲线y＝（x＞0）上，且AB∥x轴，BC∥y轴，点C在x轴上，则△ABC的面积为．【答案】1.5【分析】作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，延长BA交y轴于点D，如图，根据反比例函数比例系数k的几何意义得S矩形AEOD＝1，S矩形BFOD＝4，于是得到S矩形AEFB＝3，然后根据矩形的性质和三角形面积公式易得S△ABC＝S△FAB＝1.5．【详解】解：作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，延长BA交y轴于点D，如图，∵AB∥x轴，∴S矩形AEOD＝1，S矩形BFOD＝4，∴S矩形AEFB＝4−1＝3，∴S△FAB＝1.5，∴S△ABC＝S△FAB＝1.5．故答案为1.5．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的面积，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．21．（2021·安徽·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝(x＞0)的图象经过Rt△OAB的斜边OA的中点D，交AB于点C．若点B在x轴上，点A的坐标为(6，4)，则△BOC的面积为．【答案】3【分析】由于点A的坐标为（6，4），而点D为OA的中点，则D点坐标为（3，2），利用待定系数法科得到k=6，然后利用k的几何意义即可得到△BOC的面积=|k|=×6=3．【详解】解：∵点A的坐标为（6，4），而点D为OA的中点，∴D点坐标为（3，2），把D（3，2）代入y=得k=3×2=6，∴反比例函数的解析式为y=，∴△BOC的面积=|k|=×|6|=3．故答案为3；【点睛】本题考查反比例y=（k≠0）数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|．22．（2015·安徽·九年级专题练习）如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数的图像上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为.【答案】2【详解】试题分析：由OA=1，OC=6，可得矩形OABC的面积为6；再根据反比例函数系数k的几何意义，可知k=6，∴反比例函数的解析式为；设正方形ADEF的边长为a，则点E的坐标为（a+1，a），∵点E在双曲线上，∴，整理得，解得或（舍去），故正方形ADEF的边长是2.考点：反比例函数系数k的几何意义．23．（2023·安徽合肥·校联考三模）如图，点