第25章 锐角的三角比全章复习攻略与检测卷（4个专题3种思想）（原卷版）

第25章锐角的三角比全章复习攻略与检测卷【目录】倍速学习二种方法【4个专题】1.锐角三角函数的概念2.特殊角的三角函数值与实数的运算3.解直角三角形4.解直角三角形的实际应用【3种思想】1.数形结合思想2.方程思想3.分类讨论思想【检测卷】【倍速学习二种方法】【4个专题】1.锐角三角函数的概念1．（2023·上海·一模）在中，，，，那么的长是（

）A． B． C． D．2．（2023·上海长宁·统考一模）在中，，已知，，那么的余弦值为（

）A． B． C． D．3．（2023·上海·一模）在直角坐标平面内，如果点，点与原点的连线与轴正半轴的夹角是，那么的值是（

）A．4 B． C． D．4．（2023·上海松江·统考一模）已知中，，，，那么下列结论正确的是（

）A． B． C． D．5．（2023·上海崇明·统考一模）计算：6．（2023·上海·一模）计算：．2.特殊角的三角函数值与实数的运算7．（2023·上海宝山·一模）计算：．8．（2021秋•静安区期末）计算：﹣+2cos245°．3.解直角三角形9．（2022•奉贤区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为．10．（2021秋•徐汇区期中）△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是（）A．30° B．60° C．120° D．60°或120°11．（2022秋•奉贤区期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，tanA＝．求：（1）S△ABC；（2）∠B的余弦值．12．（2023·上海·一模）如图，在四边形中，平分，，．

(1)求证：且求出的值；(2)如果，求四边形的面积．4.解直角三角形的实际应用13．（2023·上海·一模）如图，高压电线杆垂直地面，测得电线杆的底部A到斜坡C的水平距离长为15.2米，落在斜坡上的电线杆的影长为5.2米，在D点处测得电线杆顶B的仰角为．已知斜坡的坡比，求该电线杆的高．（参考数据：）

14．（2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，．

(1)请问身高米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头部？请说明理由．(2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度．（参考数据：，，）15．（2023春·上海浦东新·九年级校考阶段练习）祖冲之发明的水碓（duì）是一种舂米机具（如图1），在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图2是碓杆与支柱的示意图，支柱高4尺且垂直于水平地面，碓杆长16尺，．当点A最低时，，此时点B位于最高点；当点A位于最高点时，，此时点B位于最低点．(1)求点A位于最低点时与地面的垂直距离；(2)求最低点与地面的垂直距离．（参考数据：，，）【4种思想】1.数形结合思想16.如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．（参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．）2.方程思想17.（2022•徐汇区二模）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？18.（2022•崇明区二模）为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，∠BOA＝25°，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差．（精确到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？3.分类讨论思想19．（2023·上海浦东新·统考二模）我们规定：两个正多边形的中心之间的距离叫做中心距，在同一个平面内有边长都为6的正三角形和正方形，当它们的一边重合时，中心距为．20.（2023·上海·一模）如图，在中，，，，，平分交边于点D，点E是边上的一个动点（不与B、C重合），F是边上一点，且，与相交于点G．

(1)求证：；(2)设，，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)当是以为腰的等腰三角形时，求的长．21．（2023·上海·一模）已知的余切值为2，，点D是线段上一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形的另两个顶点E、F都在射线上，且点F在点E的右侧，连接，并延长交射线于点P．

(1)连接，求证：；(2)如图1，当点P在线段上时，如果的正切值为2，求线段的长；(3)连接，当为等腰三角形时，求线段的长．【检测卷】一．选择题（共6小题）1．（2023•崇明区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，那么cosA的值是（）A． B． C． D．2．（2023•嘉定区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，那么∠A的正弦值是（）A． B． C．3 D．3．（2023•杨浦区一模）已知点A（1，2）在平面直角坐标系xOy中，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么cosα的值为（）A． B．2 C． D．4．（2023•虹口区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，那么cosA的值为（）A． B．2 C． D．5．（2022秋•静安区校级期中）如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离OP＝4，线段OP与x轴正半轴的夹角为α，且cosα＝，则点P的坐标是（）A．（3，4） B．（3，5） C． D．6．（2023•松江区一模）如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距a米的A、B两点处，观测对岸的标志物P，测得∠PAB＝α、∠PBA＝β，那么这条河的宽度是（）A．米 B．米 C．米 D．米二．填空题（共12小题）7．（2023•嘉定区一模）已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，，那么AB的长是．8．（2023•金山区一模）已知α是锐角，且cosα＝，那么α＝．9．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A的正切值等于2，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为．10．（2022秋•金山区校级期末）如果一个行人在斜坡为1：2.4的坡面上行走130米，则他升高了米．11．（2022秋•金山区校级期末）平面直角坐标系内有一点P（1，2），那么OP与x轴正半轴的夹角为α，tanα＝．12．（2022秋•青浦区校级期末）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为．13．（2023•普陀区二模）如图，斜坡AB的坡度i1＝1：，现需要在不改变坡高AH的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡AC的坡度i2＝1：2.4，已知斜坡AB＝10米，那么斜坡AC＝米．14．（2022秋•虹口区期中）已知△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6，那么AB的长是．15．（2023•浦东新区模拟）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的余弦值为．16．（2023•金山区二模）已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，tanC＝，点D是线段BC上的动点，点E在线段AC上，如果点E关于直线AD对称的点F恰好落在线段BC上，那么CE的最大值为．17．（2023•闵行区二模）阅读理解：如果一个三角形中有两个内角α、β满足2α+β＝90°，那么我们称这个三角形为特征三角形．问题解决：如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB＝25，，如果△ABC是特征三角形，那么线段AC的长为．18．（2022秋•金山区校级期末）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，cosB＝，点P是斜边AB上一点，过点P作PM⊥AB交边AC于点M，过点P作AC的平行线，与过点M作AB的平行线交于点Q．如果直线CQ⊥AB，那么AP的长为．三．解答题（共8小题）19．（2022秋•浦东新区期末）计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．20．（2023•普陀区二模）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，DE∥AC，cosC＝，AC＝10，BE＝2AE．（1）求BD的长；（2）求△BDE的面积．21．（2022秋•徐汇区期末）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tanB＝，点E是边BC的中点．（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正弦值．22．（2022秋•嘉定区校级期末）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为17°，即∠ADC＝17°（此时点B、C、D在同一直线上）．求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）23．（2023•宝山区二模）“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图1），图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形BCDE和“房顶”等腰三角形ABE组成．已知BC＝4.5厘米，CD＝8厘米，AB＝AE＝5厘米．（1）求“房顶”点A到盒底边CD的距离；（2）现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段ABC的长度（即线段AB与BC的和）及矩形BCDE的面积均不改变，且sin∠ABE＝，BC＞CD，求新造型“盒身”的高度（即线段BC的长）．24．（2023•普陀区一模）如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底点D处，入射角∠ABM＝30°，折射角∠DBN＝22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E处，入射角∠ACM′＝60°，折射角∠ECN′＝40.5°．DE∥BC，MN、M′N′为法线．入射光线AB、AC和折射光线BD、CE及法线MN、M′N′都在同一平面内，点A到直线BC的距离为6米．（1）求BC的长；（结果保留根号）（2）如果DE＝8.72米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，sin22°取0.37，cos22°取0.93，tan22°取0.4，sin40.5°取0.65，cos40.5°取0.76，tan40.5°取0.85）25．（2023•徐汇区一模）如图，是一个放置于水平桌面的平板支架的示意图，底座的高AB为5cm，宽MN为10cm，点A是MN的中点，连杆BC、CD的长度分别为18.5cm和15cm，∠CBA＝150°，且连杆BC、CD与AB始终在同一平面内．（1）求点C到水平桌面的距离；（2）产品说明书提示，若点D与A的水平距离超过AN的长度，则该支架会倾倒．现将∠DCB调节为80°，此时支架会倾倒吗？（参考数据：tan20°≈0.36，cot20°≈2.75，sin20°≈0.34，cos20