第03讲 与圆有关的角和圆内接四边形（知识解读）（解析版）

第03讲与圆有关的角和圆内接四边形1.掌握弧、弦、圆心角的定义，并会根据其性质进行简单的计算2.理解圆周角、圆心角的定义，并掌握它们之间的关系.3.掌握圆内接四边形的性质。知识点1圆心角的概念圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。知识点2圆角角的概念圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=12推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。知识点3圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙中，∵四边是内接四边形∴【题型1直径所对圆周角为90°的运用】【典例1】（2023•无为市四模）如图，CD是⊙O的直径，BE是弦，延长BE交CD的延长线于点A，连接CE，若∠A＝22°，∠ACE＝16°，则∠BCE的度数是（）A．34° B．36° C．38° D．42°【答案】B【解答】解：如题，连接BD，∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∠BDC＝∠BEC，∵∠BEC＝∠A+∠ACE＝22°+16°＝38°，∴∠BDC＝38°，∴∠BCD＝90°﹣∠BDC＝90°﹣38°＝52°，∴∠BCE＝∠BCD﹣∠ACE＝52°﹣16°＝36°，故选：B．【变式1-1】（2023•开福区模拟）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，若∠ACB＝32°，则∠B的度数是（）A．58° B．60° C．64° D．68°【答案】A【解答】解：∵BC是⊙O的直径，∴∠A＝90°，∵∠ACB＝32°，∴∠B＝90°﹣32°＝58°．故选：A．【变式1-2】（2023•鄞州区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ACD＝28°，则∠BAD的度数是（）A．48° B．56° C．62° D．68°【答案】C【解答】解：连接BD，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝28°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝62°．故选：C．【变式1-3】（2023•昆明模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠ACD＝46°24′，则∠DAB的度数为（）A．43°36′ B．46°24′ C．43°46′ D．44°36′【答案】A【解答】解：连接BD，∵∠ACD＝46°24'，∴∠ABD＝46°24'，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝43°36'，故选：A．【题型2同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】【典例2】（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（）A．32° B．42° C．48° D．52°【答案】A【解答】解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，∴∠C＝80°﹣48°＝32°，∵，∴∠B＝∠C＝32°．故选：A．【变式2-1】（2023•雁塔区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，D是弧AC的中点，DC、AB的延长线相交于点P．若∠CAB＝16°，则∠BPC的度数为（）A．37° B．32° C．21° D．16°【答案】C【解答】解：连接OC，OD，∵∠CAB＝16°，∴∠COB＝2∠CAB＝32°，∴∠AOC＝180°﹣32°＝148°，∵D是的中点，∴＝，∴∠DOC＝∠AOD＝∠AOC＝×148°＝74°，∵OD＝OC，∴∠DCO＝∠CDO＝（180°﹣∠DOC）＝53°，∴∠BPC＝∠AOD﹣∠CDO＝74°﹣53°＝21°．故选：C．【变式2-2】（2023•南海区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABD＝55°，则∠BCD等于（）​A．55° B．45° C．35° D．25°【答案】C【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝55°，∴∠A＝35°，∵，∴∠C＝∠A＝35°．故选：C．【变式2-3】（2023•舒城县模拟）如图，点A、B、C在⊙O上，＝2，若∠A＝70°，则∠B的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．110°【答案】A【解答】解：如图，取的中点D，连接OD，∴＝2＝2，∵＝2，∴∠AOC＝∠BOD＝∠COD，∵∠A＝70°，OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝70°，∴∠AOC＝180°﹣2×70°＝40°，∴∠BOC＝40°+40°＝80°，∵OB＝OC，∴∠B＝＝50°，故选：A．【变式2-4】（2023•新城区校级二模）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，点E是弧BD的中点，连接AC、BE，若∠ACD＝20°，则∠ABE的度数（）A．40° B．44° C．50° D．55°【答案】D【解答】解：连接OE，如图所示：∵∠ACD＝20°，∴∠AOD＝2∠ACD＝40°，∵点E是弧BD的中点，∴，∵OE＝OB，∴，故选：D．【题型3圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】【典例3】（2023•广元）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是（）A．56° B．33° C．28° D．23°【答案】C【解答】解：∵∠BOD＝124°，∴∠AOD＝180°﹣124°＝56°，∴∠ACD＝∠AOD＝28°，故选：C．【变式3-1】（2023•南关区校级三模）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝66°，∠OCB的度数是（）A．16° B．24° C．32° D．48°【答案】B【解答】解：∵∠A与∠BOC都对，∴∠BOC＝2∠A＝2×66°＝132°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝（180°﹣132°）＝24°．故选：B．【变式3-2】（2023•绥江县二模）如图，在⊙O中，∠AOC＝100°，BD平分∠ABC，则∠CBD的度数为（）A．100° B．50° C．30° D．25°【答案】D【解答】解：∵∠AOC＝100°，∴．∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝25°，故选：D．【变式3-3】（2023•滨城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC的大小为（）A．150° B．130° C．120° D．60°【答案】C【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°．故选：C．【变式3-4】（2023•凤凰县三模）如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（）A．38° B．60° C．76° D．80°【答案】C【解答】解：∵∠C＝38°，∴∠AOB＝2∠C＝76°，故选：C．【题型4利用半径相等构成的等腰三角形有关运用】【典例4】（2023•淮安区校级二模）如图，ABC是⊙O上三点，若OA＝AB＝BC，则∠ACB的度数为​（）A．30° B．40° C．45° D．60°【答案】A【解答】解：如图，连接OB，∵OA＝AB＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°，故选：A．【变式4-1】（2023•淮阴区模拟）如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC度数为（）A．58° B．32° C．60° D．68°【答案】A【解答】解：∵∠D＝32°，∴∠AOC＝2∠D＝64°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC＝（180°﹣∠AOC）÷2＝116°÷2＝58°．故选：A．【变式4-2】（2023•永寿县二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA，OC，AC，已知∠ACO＝40°，则∠ABC的度数是（）A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】D【解答】解：∵OA＝OC，∠ACO＝40°，∴∠ACO＝∠OAC＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠ACO﹣∠OAC＝100°，∴钝角∠AOC＝360°﹣100°＝260°，∴∠ABC＝260°＝130°，故选：D．【变式4-3】（2023•姑苏区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠OCD＝25°，连接AD，则∠BAD＝20°．【答案】20．【解答】解：连接OD，如图：∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠ADC＝∠AOC＝45°，∵∠OCD＝25°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD＝25°，∵∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝45°﹣25°＝20°，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO＝20°，故答案为：20．【题型5圆内接四边形的综合运用】【典例5】（2023•鹿城区校级二模）如图，AB，BC为⊙O的两条弦，连结OA，OC，点D为AB的延长线上一点．若∠CBD＝65°，则∠AOC为（）​A．110° B．115° C．125° D．130°【答案】D【解答】解：如图，在优弧AC上取点P，连接PA，PC，由圆周角定理得，∠P＝∠AOC，由圆内接四边形的性质得，∠ABC+∠P＝180°，∵∠ABC+∠CBD＝180°，∴∠CBD＝∠P，∵∠CBD＝65°，∴∠P＝65°，∴∠AOC＝2∠P＝130°，故选：D．【变式5-1】（2023•昌江县校级模拟）如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ACD＝40°，则∠ABC的度数为（）A．50° B．40° C．20° D．140°【答案】A【解答】解：∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠D＝90°﹣∠ACD＝90°﹣40°＝50°．故选：A【变式5-2】（2023•碑林区校级模拟）如图，CD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且AD∥OB．若∠BAD＝110°，则∠D的度数为（）A．45° B．40° C．35° D．30°【答案】B【解答】解：如图，连接BC，∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，且∠BAD＝110°，∴∠C＝70°，∵OB＝OC，∴∠BOC＝180°﹣2×70°＝40°，∵AD∥OB，∴∠D＝∠BOC＝40°．故选：B．【变式5-3】（2023•碑林区校级一模）如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧上一点，则∠BCD的度数是（）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】C【解答】解：∵点A是⊙O中优弧BAD的中点，∴＝，∴∠ADB＝∠ABD＝70°，∴∠A＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝40°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠A＝180°，∴∠BCD＝140°，故选：C．【变式5-4】（2023•道外区三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝60°，那么∠BOD的度数为（）A．128° B．64° C．32° D．120°【答案】D【解答】解：∵∠BCD+∠DCE＝180°，∠A+∠BCD＝180°，∠DCE＝60°，∴∠A＝∠DCE＝60°，∴∠BOD＝2∠A＝120°．故选：D．【变式5-5】（2023•市南区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝105°，则∠OBD的度数为​（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∵∠C＝105°，∴∠A＝75°，∴∠BOD＝2∠A＝150°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣∠BOD）＝15°，故选：A．【题型6运用圆周角、圆心角和圆内接四边形的性质求边长】【典例6】（2023•袁州区校级二模）如图，点A、B、C在⊙O上，，则⊙O的半径为（）A． B． C．6 D．9【答案】C【解答】解：如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，则，∵，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，则∠OAB＝30°，∵OA＝OB，OD⊥AB，∴AD＝DB，在Rt△AOD中，∴∴，故选：C．【变式6-1】（2023春•定海区校级月考）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为（）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【解答】解：∵CE＝2，DE＝8，∴CD＝CE+DE＝10，∴，∴OC＝OB＝5，∴OE＝OC﹣CE＝5﹣2＝3，∵AB⊥CD，∴△OBE为直角三角形，∴BE2＝OB2﹣OE2＝52﹣32＝16，∴BE＝4，∵CD为直径，AB⊥CD，∴AB＝2BE＝8．故选：D【变式6-2】（2023•蒙城县模拟）如图，在△ABC中，已知∠ACB＝135°，∠BAC＝15°，以点C为圆心、CB长为半径的圆交AB于点D，AD＝2，则BD的长为（）A． B． C． D．4【答案】A【解答】解：如图，作CE⊥AB于E．连接CD，则CD＝CB，∴，∠B＝∠CDB，∵∠ACB＝135°，∠BAC＝15°，∴∠B＝180°﹣135°﹣15°＝30°，在Rt△BCE中，设CE＝x，∴BC＝2x＝CD，，∠CDE＝∠B＝30°，∴∠ACD＝30°﹣15°＝15°＝∠A，∴CD＝AD＝2＝2x，∴x＝1，∴．故选：A．【变式6-3】（2023•礼泉县二模）如图，点A，B，C均在⊙O上，连接AB、BC、AC，过点O作OD⊥BC于点D，若⊙O的半径为4，∠A＝60°，则弦BC的长是（）A．2 B．2 C．4 D．4【答案】C【解答】解：连接OB，OC，∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠BOD＝∠BOC，BC＝2BD，∵∠A＝∠BOC，∴∠BOD＝∠A＝60°，∴OD＝OB＝×4＝2，∴BD＝＝＝2，∴BC＝2×2＝4．故选：C．1．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（）A．23° B．24° C．25° D．26°【答案】D【解答】解：连接OC，∵∠ABC＝19°，∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，∵半径OA，OB互相垂直，∴∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，∴∠BAC＝∠BOC＝26°，故选：D．2．（2023•黔东南州二模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝110°，则∠AOB等于（）A．100° B．110° C．120° D．140°【答案】D【解答】解：∵∠C＝110°，∴优弧所对的圆心角为2∠C＝220°，∴∠AOB＝360°﹣220°＝140°，故选：D．3．（2023•南充）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是．【答案】4．【解答】解：∵点M是弧AC的中点，∴OM⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13，∴OM＝6.5，∵点D是弦AC的中点，∴OD＝BC＝2.5，OD∥BC，∴OD⊥AC，∴O、D、M三点共线，∴MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．故答案为：4．4．（2023•九龙坡区自主招生）如图，AB是半径为8的⊙O的弦，点C是优弧AB的中点，∠ACB＝60°，则弦AB的长度是（）A．8 B．4 C．4 D．8【答案】D【解答】解：如图所示，连接CO，AO，并延长CO，交AB于点D，∵点C是优弧AB的中点，∴CD⊥AB，AD＝BD，∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠AOB＝60°，∴AD＝OA•coa∠AOB＝8×coa60°＝＝4，∴AB＝2AD＝8．故选：D．5．（2023•大安市校级二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，连接AD，若∠A＝19°，则∠AEC的度数为（）A．19° B．21° C．26° D．64°【答案】D【解答】解：∵，∴，∵CO⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴，∴∠AEC＝∠A+∠ADC＝19°+45°＝64°．故选：D．6．（2023•礼泉县一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，连接AD．若AB＝8，CD＝4，则AD的长为（）A．10 B．5 C． D．【答案】C【解答】解：连接OD，∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，AB＝8，CD＝4，∴OA＝OD＝AB＝×8＝4，MD＝CD＝×4＝2，在Rt△ODM中，OM＝＝＝2，∴AM＝OA+OM＝4+2＝6，在Rt△AMD中，AD＝＝＝4．故选：C．7．（2023•梁溪区模拟）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（）A．16° B．24° C．12° D．14°【答案】D【解答】解：∵AF为圆的直径，∴∠ABF＝90°，＝，∵＝，∴＝，∴∠DAF＝∠BAF＝32°，∴∠BAD＝64°，∵∠E＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD﹣∠E＝76°，∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝14°．故选：D．8．（2023•胶州市模拟）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝80°，那么∠BOD的度数为（）A．160° B．135° C．80° D．40°【答案】A【解答】解：∵∠DCE+∠BCD＝180°，∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠BCD，∵∠BCD＝80°，∴∠A＝80°，∴∠BOD＝160°．故选：A．9．（2023•武汉）​如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；（2）若AB＝4，，求⊙O的半径．【答案】（1）证明过程见答案；（2）．【解答】（1）证明：∵，，∠ACB＝2∠BAC，∴∠AOB＝2∠BOC；（2）解：过点O作半径OD⊥AB于点E，∴AE＝BE，∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝∠AOB，∴∠DOB＝∠BOC．∴BD＝BC．∵AB＝4，，∴BE＝2，，在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∴，在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OB2＝（OB﹣1）2+22，解得，即⊙O的半径是．1．（2023秋•文成县期中）如图所示，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，且∠DCB＝30°，则∠BOD＝（）A．60° B．120° C．30° D．45°【答案】A【解答】解：∵∠DCB＝30°，∴∠BOD＝2∠DCB＝60°，故选：A．2．（2023秋•五华区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B＝58°，∠ACD＝40°，则所对圆心角为（）A．18° B．24° C．30° D．36°【答案】D【解答】解：如图，连接OD，OC．∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣58°＝122°，∵∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝180°﹣122°﹣40°＝18°，∴∠DOC＝2∠CAD＝36°，故选：D．3．（2023秋•苏州期中）如图，点B，C，D在⊙O上，∠BOC＝120°，点A是的中点，则∠BDA的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】A【解答】解：连接OA，∵点A是的中点，∴∠AOB＝∠AOC，∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝∠BOC＝60°，∴∠BDA＝∠AOB＝30°．故选：A．4．（2023秋•宿豫区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个外角．若∠CBE＝100°，则∠D的度数是（）A．100° B．80° C．90° D．110°【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠ABC＝180°，∵∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠D＝∠CBE＝100°．故选：A．5．（2023秋•萧山区期中）如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，使得折痕AB垂直半径OC，当AB恰好经过CO的三等分点D（靠近端点O）时，折痕AB长为（）A．8 B． C．8 D．【答案】A【解答】解：延长CO交AB于E点，连接OB，∵CE⊥AB，∴E为AB的中点，∵OC＝6，CD＝2OD，∴CD＝4，OD＝2，OB＝6，∴DE＝（2OC﹣CD）＝（6×2﹣4）＝×8＝4，∴OE＝DE﹣OD＝4﹣2＝2，在Rt△OEB中，∵OE2+BE2＝OB2，∴BE＝＝＝4，∴AB＝2BE＝8．故选：A．6．（2023秋•西青区校级期中）如图，BC为⊙O的直径，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，AB＝6，AC＝8，则CD的长等于（）A．5 B．10 C． D．【答案】C【解答】解：∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°，∵AB＝6，AC＝8，∴，∵AD平分∠CAB，∴，∴CD＝BD．∴在直角△BDC中，CD2+BD2＝2CD2＝BC2，∴，故选：C．7．（2022秋•红桥区校级期末）如图，MN是⊙O的直径，A，B，C是⊙O上的三点，∠ACM＝60°，B点是的中点，P点是MN上一动点，若⊙O的半径为1，则PA+PB的最小值为（）A．1 B． C． D．﹣1【答案】C【解答】解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值＝AB′，∵∠ACM＝60°，∴∠AOM＝2∠ACM＝2×60°＝120°，∴∠AON＝60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON＝∠AON＝×60°＝30°，由对称性，∠B′ON＝∠BON＝30°，∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝60°+30°＝90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′＝OA＝×1＝，即PA+PB的最小值＝．故选：C．8．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠AOC＝120°，则∠ABC的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°【答案】B【解答】解：由圆周角定理得，∠ADC＝∠AOC＝60°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝120°，故选：B．9．（2023秋•长寿区校级期中）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝30°，则∠BDC＝（）A．85° B．60° C．65° D．55°【答案】B【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝30°，∴∠CAB＝60°，∴∠BDC＝∠CAB＝60°，故选：B．10．（2023秋•文水县期中）如图，在圆形纸片O中，AB为直径．把纸片折叠，使点A与点B重合，折痕为OC，把纸片再次折叠，使点A与点C重合，折痕为OD，则∠DAB的度数为（）A．22.5° B．25° C．30° D．45°【答案】A【解答】解：∵AB为直径．把纸片折叠，使点A与点B重合，∴OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∵折叠纸片，使点A与点C重合，折痕为OD，∴OD平分∠AOC，∴∠BOD＝45°，∴∠DAB＝∠BOD＝22.5°．故选：A．11．（2023秋•长沙期中）如图，BC是⊙O的弦，AD过圆心O，且AD⊥BC．若∠COD＝40°，则∠A的度数为20°．【答案】20°．【解答】解：连接OB，延长AD交圆于M，∵直径AM⊥BC，∴＝，∴∠BOD＝∠COD＝40°，∴∠A＝∠BOD＝20°．故答案为：2012．（2023秋•玄武区期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝108°，点E在上，则∠E＝126°．【答案】126．【解答】解：在⊙O的内接四边形ABCD中，∠C＝108°，∴∠C+∠BAD＝180°，∴∠BAD＝180°﹣108°＝72°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABD＝（180°﹣72°）＝54°，∵四边形ABDE为圆的内接四边形，∴∠E+∠ABD＝180°，∴∠E＝180°﹣54°＝126°．故答案为：126．13．（2023秋•杭州期中）如图，已知半圆O，OB＝，点D在半圆上，AD＝10，在取点C，连接AC，作DH⊥AC于点H，连接BH，则BH的最小值等于8．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接BD，取AD的中点M，连接BM，HM，∵DH⊥AC，∴H点在以M为圆心，MD为半径的圆上，∴MH＝DM＝AM，∵AD＝10，∴MH＝AD＝5，当B、H、M三点共线时，BH最小，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝＝12，∴BM＝＝＝13，∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．故答案为：8．三．解答题（共5小题）14．（2023秋•南京期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且，AE，CB的延长线交于点G，CF⊥AB交于AG于点F，垂足为D．（1）求证：∠CAB＝∠BCD；（2）求证：AF＝FG．【答案】（1）证明见解答过程；（2）证明见解答过程．【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠CF⊥AB于D，∴∠CAB+∠ACD＝90°，∴∠CAB＝∠BCD；（2）如图，连接CE，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠ABC，∵∠ABC＝∠AEC，∴∠ACD＝∠AEC，∵＝，∴∠AEC＝∠CAE，∴∠CAE＝∠ACD，∴AF＝CF，∵∠ACB＝90°，∴∠CAG+∠G＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，∵∠CAG＝∠ACF，∴∠G＝∠BCF，∴CF＝FG，∴AF＝FG．15．（2023秋•新沂市期中）如图，△ABC中，CA＝CB，以BC为直径的半圆与AB交于点D，与AC交于点E．（1）求证：点D为AB的中点；（2）求证：AD＝DE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）连接CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB，∵CA＝CB，∴AD＝BD，即点D为AB的