2022年新高考数学I卷及解析

2022年普通高等学校招生全国统一考试

新高考数学I卷

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在

答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴

在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答

案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试

卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目制

定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使

用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.设集合〃=M«V4},N=k|3x»l},则McN=()

A.1x|0<x<2)B.<<x<2>C.{A|3<x<16)D.

2.已知—=则z+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

3.在AA8C中，点。在边A8上，BD=2DA.i&CA^m,CD=n,则C与=

A.3m—2hB.—2m+3nC.3m+2nD.2ih+3n

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库

水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的

面积为180.0/2.将该水库在这两个水位间的形状看做一个棱台，则该水库水位从海拔

148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(J7«2.65)

A.l.OxlO9???3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(

112

A.-B.一D.-

633

6.记函数/(x)=sin[如+?]+。(。>0)的最小正周期为T.若言<丁<2万，且y=/(x)

1

3万,21中心对称，则（）

的图象关于点

35

A.1B.一C.一D.3

22

7.设a=O.le°」，b=—In0.9,则

9

K.a<b<cQ.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

8.己知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，且

3<Z<373,则该正四棱锥体积的取值范围是（）

,8127812764

A.1O8,—B.—，—C.----，----D.[18,27]

44443

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部答对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.已知正方体ABC。—4片£。，则（）

A.直线BC｝与ZM,所成的角为90°B.直线BC,与所成的角为90°

C.直线BCy与平面所成的角为45°

D.直线BC｝与平面ABC。所成的角为45°

10.已知函数=/一》+1,则（）

A./（X）有两个极值点Bj（x）有三个零点

C.点（0,1）是曲线y=/（元）的对称中心

D.直线y=2x是曲线y=/（X）的切线

11.已知。为坐标原点，点A（l,l）在抛物线=2py（p>0）上，过点3（0,—1）的直线交

C于P,。两点，则（）

人.。的准线为丁=—1B.直线AB与C相切

C.\OF\-\O^\O^D.忸年忸忸耳

12.已知函数/（无）及其导数/'（x）的定义域为R,记g（x）=/'（x）,若/仁一2，，g（2+x）

2

均为偶函数，则（）

A./（x）=OB.g|-g）=0C./（-l）=/（4）。送㈠”8⑵

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2

上（X+力8的展开式中X/的系数为.（用数字作答）.

14.写出与圆/+丁=1和（无一3）2+0-4）2=16都相切的一条直线的方程.

15.若曲线y=（x+a,,有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.

22

16.已知椭圆。：与+2=1（。＞人＞0）,C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率

为彳.过耳且垂直于AB的直线与C交于。，£两点，目=6,则A4DE的周长

是.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）记S”为数列｛%｝的前“项和，已知q=l,fS1是公差为一1的等差数列.

3

（1）求数列｛4｝的通项公式；（2）证明：—+—+—＜2.

a\a2an

18.（12分）记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=sin2'

1+sinAl+cos2B

02.72

（1）若C=t,求8；（2）求一乙的最小值.

3c2

19.（12分）如图，直三棱柱ABC-A|B|G的体积为

4,,A418C的面积为WL

（1）求A到平面ABC的距离；'I‘；'"'

（2）设。为AC的中点，例=A8,平面1/_____\Jr

ABCJ,平面求二面角A—3。一。的正弦值.T-

20.（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分

为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组）,

3

同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对造组)，得到如下数据:

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，8表示事件

P(5|A)P

“选到的人患有该疾病”.一与一版泮)1的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程

P\B\A)P(BA)

度的一项度量指标，记该指标为R.

(i)证明:

(ii)利用该调查数据，给出P(A忸)，P(4同的估计值，并利用⑴的结果给出R的估计

值.

附K'____壮ad-bcY_____

[a+b^+d\a+c^b+d）

P（K2>k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

21.(12分)已知A(2,l)在双曲线C:二——=1(。＞1)上，直线/交C交于P,Q两

a"a~-1

点，直线AP,AQ的斜率之和为0.

(1)求/的斜率；

(2)若tan/PAQ=2j5,求APAQ的面积.

22.(12分)己知函数/(九)=e*-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)证明：存在直线丁=人，其与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并

且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

4

2022普通高等学校招生全国统一考试

新高考数学I卷参考答案

2.D解析：由题设有1—2=1=—1故2=1+九故z+I=(l+i)+(l—i)=2.

i

3.B解析：点。在边AB上，BD=2DA,：.BD=2DA,即无一为=2回一函)，

CB=3CD-2CA=3n-2m.

4.C

解析:依题意可知棱台的高为力=157.5-148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V.

棱台上底面积5=140.0%/2=140x1()6加2,下底面积，=180.0人后=180x1()6/

；W=；/?(S+S'+4SS7)=3x(320+60A/7)X106«(96+18X2.65)X107

=1.437xlO9®1.4xl09

5.D解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有=21种不同的取法，若

两数不互质,不同的取法有:(2,4)(2,6)(2,8)(3,6)(4,6)(4,8)(6,8),共7种，故所求

6.A解析：由函数的最小正周期满足一＜T＜2K,得一＜—＜2万，解得2＜。＜3,

22co

又因为函数的图象关于点,2)中心对称，.•.,啰+?=4万,%€2,且b=2,...

co=---1—k,keZ,co=_,/(元)=sin_x4—|+2,

632V7<24；

f(x)=sin|—7T+—|+2=1

44

7.c解析：设/3=111(1+%)-乂了>一1),：/'(工)=------1

当无G(—1,0)时，fr(x)>0；当X€(0,+8)时,f'(x)<0

5

••・函数/(x)在(0,+00)上单调递减，在(-1,0)上单调递增,

=0,AIn—--<0,故1>lnW=—

9999

919

=0,：.lm—+—<Q,故二<e—e'°<—,故Z?>a

101010109

设g(x)=xex+ln(l-x)(0<x<l),则g(x)=(x+l)e'H———=——1卜十］,

x-1x-\

令h(x)-e'(x2-1)+1,则h\x)-ex(x2+2x-l)

当0<%</一1时，〃'(x)<0,函数%(x)单调递减；

当血一1<XV1时，"(x)>0,函数〃(x)单调递增.

又7z(0)=0,.•.当OVxV拒—1时/i(x)<0,.•.OVxV近—1时,g'(x)>0,函数g(x)单

调递增，,g(0.1)>g(0)=0，即—In0.9,

8.C解析：方法一：•••球的体积为36〃，.•.球的半径R=3.

设正四棱锥的底面边长为2。，高为〃，则/2=2/+〃2,32=2标+(3-〃)2,

；.6h=『,2/=F—〃2

42、

1|2(2//\(/6

...正四棱锥的体积V=±S/z=上x4a2x/z=*xI-—X—=-Z4-—,

333136)69(36)

当3V/42遍时、V»,当2遥VG3有时，V'<0,

.•.当/=2痴时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为阿，

3

又/=3时，V=—,/=3当时，V=—,—

444

2764

，该正四棱锥体积的取值范围是—.

_43_

方法二：记三棱锥高与侧棱的夹角为8,高为底面中心到各顶点的距离为加，

6

j_V3

，则/=6cose,m=Z-sin0=6sin0cos0,

2x3x/62'V

.rn6sinecos642Ao1

h-------------；-------6cos0,S性=—x2nmx2nm=xn2m2,

tan。sinf底2

cos，

故V=!5底/?=3、2机％=14461118(：052e1

令y=sin^cos20-sin^(1-sin26)=x(l-x2)=-x3+x,元=sin6w叵

12,~T

y'=-3x2+1,当xe—,——时，y'>0y单调递增;

23

-73叵2在

当xwT'T时，y<0,y单调递减；Vm

13J3J3

又当x时，y=2,当％=以时，y=4.,

2828

直接带入V=144(sin0cos2可得该正四棱锥体积的取值范围是

二、选择题

9.ABD

解析:如图,连接BC、BG，：D4|〃耳。.•.直线8G

与8c所成的角即为BG与。4所成的角

四边形BBCC为正方形，则B°±BG，故直线8G与

DA所成的角为90。，A正确.

连接AC，片，平面BB|GC，B|Cu平面BBGC,则A与_LBG，

■:BQ工BC[,AB]c=8],BC]_L平面'旦。,

又ACu平面A与C,BG，C4「故6正确.

连接A|G，设，A,C,nB,D,=0,连接50,

平面ABCiR,CQu平面A.CQ,则G。，⑸B,

7

GO，A，B、D\cB、B=B、,/.CXO_L平面BBlDlD,

・・・ZC,BO为直线BC{与平面BBRD所成的角，

B「oi

设正方体棱长为1,则GO=J,BC,=V2,sin/GBO=-^=—，

2'BC,2

直线BG与平面所成的角为30。，故C错误；

G。，平面ABCD,ZC}BC为直线BC,与平面A8CD所成的角，

易得NGBC=45°，故。正确.

10.AC解析：由题，f\x)=3x2-l,令/'(x)>0得x>g或xV—日

令得了'(x)<0得一号<x<号

*,./(x)在争上单调递减,

上单调递增,

••.x=±1是极值点，故4正确.

3

因/=1+—>0,/^―j=1———>0,/(-2)=-5<0,

...函数/(X)在(一8,有一个零点，

当日时，f(x)>f£>0,即函数/(x)在(理,+oo］上无零点,

综上所述，函数/(X)/⑺有一个零点，故6错误.

令〃(%)=/一彳，该函数的定义域为R,h(-x)=-x3+x=-h(x),则力(x)为奇函数,

(0,0)是Mx)的对称中心，将人(无)的图象向上移动一个单位得到了(九)的图象,

，点(0,1)是曲线y=/(%)的对称中心，故C正确.

令-3/_1=2,可得x=±l,又/⑴=/(-1)=]

8

当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x—1,当切点为(-1,1)时，切线方程为y=2x+3,故

D错误.

11.BCD解析：将点A代入抛物线方程得l=2p,...抛物线方程为/=y,故准线方

程为y=—1,A错误.

心J二㈠)=2，•••直线43的方程为y=2x-l，联立可得

1-0l/=y

%2-2x+l=0,解得x=l,故8正确.

设过B的直线为/,若直线/与y轴重合，则直线/与抛物线C只有一个交点，

直线/的斜率存在，设其方程为y=1,尸(须，月)，e(x2,y2),

,,仙=公_4

y=kx-1与

联立＜9得Y-kx+1=0,工〈X]+x)=攵，

厂二y一[

xxx2=1

所以左＞2或左V—2,必＞2=($了2)2=1

又\OP\=&+y；=Jy+y；，|。@=&+4=轨+资

；•I。年=仙城+逝+%)==网＞2=|0理，故0正确.

72

；忸月=71+7!%,|，怛9=yji+k\x2\,

.,•忸年怛。=(1+左2卜也|=1+42＞5,而怛可=5,故。正确.

12.BC解析：—2x),g(2+x)均为偶函数，

••/(|-2)/(|+即/(|一,=f(|+j,g(2+x)=g(2-x),

/./(3-x)=/(x),g(4—x)=g(x),则/(一1)=/(4),故C正确.

函数/(x),g(x)的图象分别关于直线x=jx=2对称，

又g(x)=7'(x)，且函数/(x)可导,，g(3=0,g(3—x)=-g(x),

g(4—x)=g(x)=—g(3-x),二g(x+2)=-g(x+1)=g(x),

9

•••g]—£|=g]£|=O,g(—l)=g(l)=—g⑵，故8正确，O错误,

若函数/（x）满足题设条件，则函数/（x）+c（。为常数）也满足题设条件，所以无法确定

函数/（尤）的函数值，故A错误.

三、填空题

13.答案：-28

解析：原式=（x+y）8-2（尤+y）8,由二项式定理，其展开式中一>6的系数为

X

-=-28.

72535

14.答案：％=—1或）,=，x一上或y=x+/（答对其中之一即可）

■2424-44

解析：由图可知，两圆外切，且均与直线乙：x=-1相切，另过两圆圆心的直线/的方程为

y=可得/与4交点为壮-1,一（）.由切线定理得，两圆另一公切线"过点

4/、

设4：y+§=Hx+D，由点到直线距离公式可得

L4|

37725

上」：=1,解得％=一，即/,：y=—x——.

7F7T24-2424

另由于两圆外切，因此在公切点处存在公切线&与/垂直，

35

解得4:y=__x+_.

344

15.答案：（-8,—4）U（0,+8）

解析：易得曲线不过原点，设切点为（/a+。）淖），则切线斜率为尸（x）=（x0+a+lH，

可得切线方程为y-Go+a,&=（/+.+1,*°（8-/），又切线过原点，可得

x<,A

-(x0+a)e=-x0(x0+a+l)e°,化简得x(/+a%-a=0(*),又切线有两条，即*方

程有两不等实根，由判别式△=/+4a>0得aV—4或a>0.

16.答案：13

1xy

解析：椭圆离心率为1,不妨设Cm+方=1'且AAKB为正三角形，则直线0E的

10

斜率％=号.由等腰三角形性质可得，|4目=旧用，同口=|£＞闾，由椭圆性质得A4OE

的周长等价于|。£|+|。段+|£段=47.另设线。石的方程为^=](%+。)，与椭圆方程

联立可得13,+8cx-32c2=0.

2

由弦长公式|£>£|=ylk+1|%1-X2\-J.+1J（X]+%2）2_4X]A：2得

—c-6,即，=■—,4a=8c=13.

138

所以数列＜」卜是首项为1,公差为•的等差数列.

l«J3

吟…(〃叶等海〃+2

n+2九+1

当心2时，%=S“一Si-----凡------凡t

33

•*.(〃-1"=(〃+1)%_],即乌-=巴里(〃＞2)

%T〃-1

累积法可得：不=〃(当D(〃22),又q=l满足该式,

数列｛%｝的通项公式为凡=丽+1).

18.解：（1）由已知条件得：sin28+sinAsin28=cosA+cosAcos28,贝ij

sin2B=cosA+cosAcos2B-sinAsin2B=cosA+cos（A+28）

—COS[TT-（B+C）]+COS[TT-（B+C）+23]=-cos（fi+C）+COS[TT+（B—C）]=_2cosBcosC

2sinBcosB=-2cosScosC,即（sinB+cosC）cos5=0,

ii

w

由已知条件：1+COS25HO,则8。一，可知cosBxO,

2

sinB——cosC——,B——.

26

7T

(2)由(1)知sin8=-cosCX),则3=C=—sinB=sinlC---cosC,

2

sinA=sin(fi+C)=sin12C-^-]=-cos2C,

2i2

由正弦定理巴半_sin*2*A+sin2Bcos22C+cos2C

sin2Csin2C

22242

_(l-2sinC)+(l-sinC)_2+4sinC-5sinC_2.2

-z=iF4S1T1I-5

sin2Csin2Csin2C

>2.—i—.4sin2C-5=4V2-5.

、sin2c

当且仅当sin2c=YI时等号成立，所以幺二匕的最小值为4啦—5.

2<?2

19.解：(1)设A到平面48C的距离为〃，

^A-ABC=SMBC-AA=§VABC-AB£=§X4=耳，^A-AiBC=2SM\BC,h-x2V2-A

t3

.•.』x2行=啦，••・A到平面ABC的距离为后.

33

(2)取AB的中点为E,连接AE,=AEJ.AB,

\•平面4BC_L平面平面ABCC平面AB禺4

.••AEL平面ABC,AE=y[2,则A1A=A8=2,AE_LBC,

:直三棱柱ABC-A|B|G，A|AJ_8C,

VAEAAtA=A,BCJ_平面BCAB,

由VABC_4|BC|=gAB-BC-AA]=gx2xBCx2=4，BC=2,

以BC为x轴，BA为y轴，8坊为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

12

B(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),A(0,2,2),E(0,l,l),£>(1,1,1)

平面BDC的法向量设为W=彳己=(0,-1,1)，

平面BD4的法向量设为后=(x,y,z),

丽=(0,2,0),丽=(1,1,1),

----—»

BA-n2=0,f2y-0.

”——►—►，’<,/.y=0,

BDn2=0[x+y+z=0

设X=l,则z=-l,%=(1,。，-1)，，CO«〃1.%)

2

V3

设二面角4一6。一。的平面角为a,则sina=Jl-cos2cc=—,

2

...二面角A—BO—C的正弦值为且

20.解：（1）假设患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯没有差异,

200x(40x90-60xlQ)2

则底=24>10.828,

50x150x100x100

...有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

__P（AB）f（碉

（2）（i）札臂.”"率、分刎=智胆

P（B|A）P（B|A）P（A8）P（AB）P（AB）P（AB）P（AB）P（AB）

P（A）P（A）

RAB)P(.)

P⑻P0)P®B).川向

二坪分谪=而动析‘得证.

「⑻P(B)

(H)由调查数据可知P(A|B)=&=2,P(A|B)=—=—,

71005v1710010

则P®B)=I-P(A|B)=3,P(A|B)=—,.,./?=6.

41

21.解：(1)将点A代入双曲线方程得F--T—=i>整理得4/+4=0,解得

a2a2-1

a2=2,故双曲线方程为工—y?=］；

2

13

由题显然直线/的斜率存在，设/：y^kx+m,设尸(七，%)，Q(x2,y2),

4km

y-kx+mx+x

}2~~2k2-1

联立,得(2人2—1卜2+4公妆+2机2+2=0,

-----y2=12m2+2

I2/=

2k2—1

+L=小卫」=-4—=o,

kAP

七一2x2-2X]—2X1-2

化简得：2kxix?4-(m-1-+x2)-4(m-l)=0,

故嚓苧+碧卜(“T)=0,

叩伏+1X机+2左一1)=0,而直线/不过A点，故上=一1.

(2)设直线AP的倾斜角为a,由tanNP4Q=2j5,得tan幺逗=也,

由2a+NPAQ=;r,得火“=tana=V^,即^^=拒，

x,-2

y'~V=4i

花一210-4724V2-5

联立彳,得匹=一—，口=一--，

■V2।33

———=1

I21

代入直线/得加=3,故X[+*2=也，X\XT.=—

3123129

而|4月=百|再一2|，|4<=白/一21

由tanNPAQ=2^2得sinZPAQ=,

故SAPAQ=JAPHAQIsinZPAQ=内k|£_2(X|+/)+4|=.

22.解：(1)f'(x)=e'-a,g'(x)-a——

X

①aWO时，/'(x)>0恒成立，在R上单调递增，即/(九)没有最小值.该类情况应

舍去.

②aX)时，当xe(-8,lna)时，/f(x)<0；当xe(lna,+8)时，/'(x)>0,

14

/(%)在(-oo,In。)上单调递减,在(ina,+8)上单调递增,

/(%)在x=Ina处有最小值为/(ina)=a-a\naf

.,・当次£(o,，］时，g'(X)V0;当+时，g'(x)>(),

.♦・g(x)在(oj)上单调递减，在|(,+oo］上单调递增，

g(x)在x=，处有最小值为|=1+Ina,

a3

・.,/(x)=ex-axg(x)=ax—InX有相同的最小值,

/(ina)=a-a］na==1+Ina

即a-alna=l+lna

•••a〉0,所以上式等价于Ina—=0,

a+1

Y_1

令h(x)=Inx--------(x>0),

x+1

„2।

则h\x)=——「>0恒成立，〃(x)在(0,+8)上单调递增

+1)'

又