2023年广东省惠州市惠城区潼侨中学高三数学理联考试卷含解析

2023年广东省惠州市惠城区潼侨中学高三数学理联考

试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.若曲线G：y=ax?(a>0)与曲线G：y=e*存在公共切线，则a的取值范围为(

A.冷’+8)8JC.[4,+~)

参考答案:

C

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.

专题：导数的综合应用.

分析：求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有

交点求得a的范围.

解答：解：由y=ax2(a>0),得y'=2ax,

由y=e",得y'=e*,

,曲线G：y=ax2(a>0)与曲线G：y=e*存在公共切线，则

2x2

设公切线与曲线G切于点ax】)，与曲线以切于点(、2，e),

x22x22

xe，-ax】e-aX1

2Qxj-e-~2aX]~~

则*2-Xi,将e=2aX[代入x2一x],可得2*小+2,

e乙

Aa=2x],记'(X)2x,

/(x)=，2(x-2)

则4x,当x6(0,2)时，f'(x)<0.

2

f(x).

二当x=2时，min4.

2

—,+co

.■的范围是［4).

故选：C.

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有根的条件，是

中档题.

b<a<0,且成=1,则13+'

2.已知占取得最小值时，a+b等于()

A.-V10B.C.一招D.~y/2

参考答案：

B

略

3.如图的，■为互相垂直的两个单位向量，则卜()

A.20B,而C.2括D,而

参考答案:

【知识点】向量的坐标运算F2

c

解析：分别以备，■的方向为x,y轴方向建立直角坐标系，则

£“=卜21)小叫=而正=2凡

【思路点拨】遇到向量的运算时，若直接计算不方便，可建立直角坐标系转化为坐标运算

进行解答.

8、执行如题(8)图所示的程序框图，如果输出S=3,那么判断框内应填入的条件是

()

A、上工6B、k<lc^七二8D、

参考答案：

:B

5.已知平面向量占与否的夹角等于了,如果同=4•国外1那么四”卜()

A.后B.9

C.质D.10

参考答案：

C

(2a-A),=4x4,-4x4>^x(-—)3=91区_中==

试题分析：因J+，故产耳恒应选C.

考点：向量的数量积公式及运用.

6.已知aABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则而？(PB+PC)的最小值

是（）

3_4_

A.-2B.-2C.-3D.-1

参考答案：

B

【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计

算即可.

【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，

则A(0,V3),B(-1,0),C(1,0),

设P(x,y),则PA=(-x,Vs-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y),

V33

则PA?(PB+PC)=2x2-2V3y+2y2=2[x2+(y-2)2-4]

逅11

.,.当x=0,y=2时，取得最小值2义(-4)=-2,

【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决

本题的关键.

1-i

7.复数币+i等于

A.-iB.1C.-1D.0

参考答案:

D

8.若x€R,rtGNS规定：H=Mx+l)(x+2).“(x+〃-l),例如：H=(-3)-(-2)-(-l)=-

6,则函数4r)=x-H()

A.是奇函数不是偶函数B.是偶函数不是奇函数

C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数

参考答案：

B

9.如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积

为()

正视图

A.

参考答案：

B

【考点】由三视图求面积、体积.

【专题】空间位置关系与距离.

【分析】由已知中三视图我们可以确定，该儿何体是以侧视图为底面的直四棱柱，根据已

知三视图中标识的数据，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式即可得到答案.

【解答】解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，

其底面底边长为2+422-我2=3,底边上的高为：如,

故底面积S=3X

又因为棱柱的高为3,

故V=3X3«=96，

故选B.

【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何体的形状及相

应底面面积和高是解答本题的关键.

10.设全集”=火，*山或XN2"Q|-1<X<5),则集合11<*«药

可以表示为

A.EOFB.(C*)n尸c.(%©U(C/)

D.(CvE{JF)

参考答案：

B

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.设常数a使方程负nx-s/5cosx=。在闭区间［°，2M上恰有三个解x1.勺.0,

则位+/+/=____________________

参考答案：

Wr

T

12.5位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学报的数是1,第二位同学报的数也

是1,之后每位同学所报的数都是前两位同学报的数之和；若报的数为3的倍数，则报该

数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数，

(1)当5位同学依次循环共报20个数时，甲同学拍手的次数为.

(2)当甲同学开始第10次拍手时，这5位同学己经循环报数到第个数.

参考答案：

(1)1(2)195

略

--1-+,--1-,+-1--,+…+,---1--=

13.1x22x33x4非("D

参考答案：

n

ax1

14.已知函数f(x)=TT,若f(x)+f(7)=3,贝！Jf(x)+f(2-x)=.

参考答案：

6

【考点】3T：函数的值.

ax13x

【分析】由函数f(x)=x-l,f(x)+f(x)=3,求出a=3,从而f(x)=xT,由此能

求出f(x)+f(2-x)的值.

ax1

【解答】解：,・•函数f(x)=TT,f(x)+f(7)=3,

ax+x

f(x)+fd)L-i每一二

/.x=x=x-lx-l=3,解得a=3,

3x

/.f(x)=x-l,

3x+6-3x6(x-l)

/.f(x)+f(2-x)=x-12-x-l=x-1)=6.

故答案为：6.

15.用数字°，1，2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的

数字之和为偶数的四位数共有个(用数字作答)

参考答案：

324

16.已知数列｛a“｝的是等差数列，a^-2,a?Wl,a,20,则a,23的概率是.

参考答案：

~3

【考点】CF：几何概型.

【分析】设出等差数列的公差，把az,必分别用首项和公差表示，然后利用线性规划知识

由a,的取值范围求得儿何概型概率.

【解答】解：设等差数列⑸｝的公差为d,则a产a,+3d,

a1)-2

.a]+d<l

由已知得到|ai+2d)°

设a产x,d=y,则&尸x+3y,

<x+yC1

则不等式组等价为|x+2y>0,对应的可行域如图AACD,

由a.｝=x+3y>3得到区域为△BCE,

1X(3-4)X21

Q_J.

△BCE]-3

由几何概型的公式得到使得a,23的概率是：SAACD=万*(3-1)X4

_1

故答案为：不

【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了利用线性规划求函数的最值，综合性较

强，利用数形结合是解决本题的关键.

17.已知底面边长为4段,侧棱长为24的正四棱锥S-内接于球q.若球G在球

Q内且与平面d8CD相切，则球6的直径的最大值为.

参考答案：

8

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(12分)有一块边长为6m的正方形钢板，将其四个角各截去一个边长为x的小

正方形，然后焊接成一个无盖的蓄水池。

(I)写出以x为自变量的容积V的函数解析式V(x),并求函数V(x)的定义域；

(II)指出函数V(x)的单调区间;

(Ill)蓄水池的底边为多少时.，蓄水池的容积最大？最大容积是多少？

参考答案：

解析：(I)设蓄水池的底面边长为a,则a=6-2x,

则蓄水池的容积为：/(x)=M6-2x)L

x>0

由16-2x>°得函数v(x)的定义域为xe(0,3).......4

分

(II)由"0=K6-2x)2=24?+36x得，(力=12?-4取+36.

令,。)=12--48"36>0,解得x〈i或x>3；

令1x)=12--48x+36v0,解得l<x<3.

故函数V(x)的单调增区间是(0,1),单调减区间为(1,3).......8分

(IID令修")=12--48x+36=0,得x=l或x=3(舍).

并求得V(l)=16.由V(x)的单调性知，16为V(x)的最大

值.

故蓄水池的底边为4m时，蓄水池的容积最大，其最大容积是16附3......12分

1=3：(t为参数)

19.在直角坐标系xOy中，直线1的参数方程为1yz、巧t,以原点为极点，x轴

正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为P=2«sin8.

(1)写出直线1的普通方程及圆C的直角坐标方程；

(2)点P是直线1上的，求点P的坐标，使P到圆心C的距离最小.

参考答案：

【考点】QII：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程.

【分析】(1)由已知得t=x-3,从而y=J5(x-3),由此能求出直线1的普通方程；由

P=2V3sin9,得P2=2y/3Psin9,由此能求出圆c的直角坐标方程.

(2)圆C圆心坐标C(0,M),设P(3+t,,由此利用两点间距离公式能求出

点P的坐标，使P到圆心C的距离最小.

(x=3+t

(1)•••在直角坐标系xOy中，直线1的参数方程为［厂Ct(t为参数)

【解答】解:

.'.t=x-3,...y=V^(x-3),

整理得直线1的普通方程为«x~y-3心o,

•.♦P=2«sin0,p2=2^psin8,

x2+y2=2V3y,

•••圆c的直角坐标方程为：x2+(y-V3)2=3.

(2)圆C：x+(y-V3)=3的圆心坐标c(o,V3).

•.•点P在直线1：Fx~y-343=o上，设p(3+t,、行t),

则|PC|=J(3+t)2+(我13)2=V4t2+12,

.,.t=0时，|PC最小，此时P(3,0).

20.抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌

XX

面，记所得数字分别为X,y.设才为随机变量，若,为整数，则《二°；若》为小于1的

分数，

X

则才=-1;若亍为大于1的分数，则"I.

(1)求概率只4=0)；

(2)求4的分布列，并求其数学期望欧G.

参考答案：

X

(1)依题意，数对(x,y)共有16种，其中使亍为整数的有以下8种：

(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(3,1),(4,1),(4,

2),

所以

101•

（2）随机变量4的所有取值为-I,0,1,

4=7有以下6种：(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,

4),

3

-

故年7啥8

4=1有以下2种：（3,2）,（4,3）,

故…X

所以々的分布列为：

-1♦0。1。

—14-

8

答：C的数学期望为

21.（本小题满分14分）

已知数列｛/）的前n项和为工，且4是1与2的等差中项，而数列的首项

为1.

%f-2=0

（1）求为和%的值；

（2）求数列（/）,3J的通项4和&;

（3）设G=/4，求数列kJ的前n项和看。

参考答案:

解：(】)•.6是S,与2的等差中端..•.％=2a.-2.....................1分

:、q=S[=24-2,解得q=2,%+%=S[=2a2—2,解得％=4...1分

(2)S,=2a,-2.=2G„.|-2,又S«-S.”=a..(〃之2,〃€N*)

:a.=2a,-2al.

.•.△-=2.(“22.N,).即数列｛a“｝是等比数列，............5分

an-\

vflt=2./.a„=2"..........................................6分

由已知得”“-4=2.即数列｛4｝是等差数列.乂4=1.

b,=2n-1...............................................8分

(3)•••(:.=(2〃-1)2”

2

T"—atbt+a2b?+,,,+0,6,=1x2+3x2+5x2,+…+(2n—1)2",

/.27；=lx2'+3x2J+…+(2〃-3)2"+(2〃-l)2"”