小学数学五年级思维奥数寒假讲义-第5讲 排列问题（教师版）

第5讲排列问题【知识梳理】排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做．根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成：步骤：从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法；步骤：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位，有()种方法；……步骤：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有(种)方法；由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘。排列数一般地，对于的情况，排列数公式变为．表示从个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数．这种个排列全部取出的排列，叫做个不同元素的全排列．式子右边是从开始，后面每一个因数比前一个因数小，一直乘到的乘积，记为，读做的阶乘，则还可以写为：，其中．【典例精讲】计算：⑴；⑵．【答案】⑴⑵【解析】由排列数公式知：⑴⑵,，所以计算：⑴；⑵．【答案】⑴⑵【解析】⑴⑵．有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？(照相时3人站成一排)【答案】【解析】由于人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有人，可以看成有个位置由这人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选人照相，所以，问题就转化成从四个人中选人，排在个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．由排列数公式，共可能有：(种)不同的拍照情况．也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：(种)不同的拍照情况．4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？【答案】24【解析】个人到照相馆照相，那么个人要分坐在四个不同的位置上．所以这是一个从个元素中选个，排成一列的问题．这时，．由排列数公式知，共有(种)不同的排法．6名小朋友站成一排，若两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？若两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？【答案】A、B相邻共240种；A、B不相邻共480种【解析】排列之捆绑法：若A、B两人必须站在一起，那么可以用“捆绑”的思想考虑，甲和乙两个人占据一个位置，但在这个位置上，可以甲在左乙在右，也可以甲在右乙在左．因此站法总数为QUOTEA22×A55A、B两个人不能相邻与A、B两个人必须相邻是互补的事件，因为不加任何条件的站法总数为QUOTEA66=720（种），所以A、B两个人不能相邻的站法总数为720-240=480（种）．将A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻．请问共有多少种不同的排列方法？【答案】1440种【解析】（法）七人排成一列，其中要与相邻，分两种情况进行考虑．若站在两端，有两种选择，只有一种选择，另五人的排列共有种，所以这种情况有种不同的站法．若站在中间，有五种选择，无论在中间何处，都有两种选择．另五人的排列共有种，所以这种情况共有种不同的站法．所以共有种不同的站法．（法）由于与必须相邻，可以把与当作一个整体来考虑，这样相当于个元素的全排列，另外注意、内部有种不同的站法，所以共有种不同的站法.在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？【答案】6【解析】方法一：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题．由排列数公式，共可以组成(种)不同的信号．方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有种方法；其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：(种)．【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化．有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少种不同的信号？【答案】6【解析】．【能力提升】用2、3、5、7、9可以组成多少个没重复数字且百位不为3的三位数？【答案】48个【解析】（法1）本题中要注意的是3不能放在百位，因此，百位上的数字只能从2、5、7、9这四个数字中选择一个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的个数字中任选两个进行排列，有种方法．由乘法原理得，此种三位数的个数是：(个)．（法2）：从2、3、5、7、9中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即百位是的．从2、3、5、7、9这五个数字中任选三个数字的排列数为，其中百位是3的三位数有个．三位数的个数是：(个)．本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素．【课后巩固】计算：；【答案】【解析】2.计算：【答案】【解析】．3.有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【答案】60【解析】这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置．我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中，．由排列数公式知，共可组成(种)不同的信号．4.由数字0，1，3，9可以组成多少个无重复数字的三位自然数？【答案】18【解析】（法）本题中要注意的是不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1,3,9这三个数字中选择一个，有3种方法；十位和个位上的数字可以从余下的3个数字中任选两个进行排列，有种方法．（法）：从、、、9中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是的．从、、、9这五个数字中任选三个数字的排列数为，其中首位是的三位数有个．三位数的个数是：(个)．本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素．5.班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员．问：有多少种不同的分工方式？【答案】120种【解析】(种)．6.由，，，，，组成无重复数字的数，四位数有多少个？【答案】300【解析】方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为，由于不能在千位上，而以为千位数的四位数有，它们的差就是由，，，，，组成无重复数字的四位数的个数，即为：个．方法二：完成这件事——组成一个四位数，可分为个步骤进行，第一步：确定千位数；第二步：确定百位数；第三步：确定十位数；第四步：确定个位数；这四个步骤依次完成了，“组成一个四位数”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确定了，思维过程如下：根据乘法原理，所求的四位数的个数是：(个)．7.一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠个车站(包括北京和上海)，这条铁路线共需要多少种不同的车票．【答案】182种【解析】(种)．8.4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？【答案】【解析】4男2女6人站成一排相当于6个人站成一排的方法，可以分为六步来进行，第一步，确定第一个位置的人，有6种选择；第二步，确定第二个位置的人，有5种选择；第三步，排列第三个位置的人，有4种选择，依此类推，第六步，最后一个位置只有一种选择．根据乘法原理，一共有种排法．9.4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？【答案】240种【解析】排列之捆绑法：分为三步：第一步：4个男得先排，一共有种不同的排法；第二步：2个女的排次序一共有2种方法；第三步：将排完次序的两名女生插到排完次序的男生中间，一共有5个位置可插．根据乘法原理，一共有种排法．10.停车站划出一排个停车位置，今有辆不同的车需要停放，若要求剩余的个空车位连在一起，一共有多少种不同的停车方案?【答案】362880【解析】把个空车位看成一个整体，与辆车一块进行排列，这样相当于个元素的全排列，所以共有．【小测验】幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐