2023南师翰海专转本数学考前押题

数学必背公式:

第一章：函数

一：指数函数公式：①/tn*②在③aye

二：对数函数公式：①1守田②，③

三：三角函数公式:

111

cOjftc==------se-........cs<x=-----

倒数关系：①余切:tarx②正割：'COM③余割:sine

平方关系：①0名由=4=②3HFt£E>0E=se^③

四：数列公式：

等差数列：①通项：0②求和：42N

等比数列：①通项：②求和：>中

六：球的公式：①而法②唳=马"

其次章：极限与连续

—:等价无穷小：①si»T②亡③/T—3④16t⑤

arcLtete

.七一_0]-HV—1~_CC£^_

⑥arosMak⑦提一拿3工⑧〃⑨2

二：两个重要极限:

」sirw;

lim----

1.

1li

②XJO*③1i

四：间断点的分类：

第一类间断点：•小9秒小^^存在

①X。为可去间断点②X。为跳动间断

点

其次类间断点：小刀和人七包不都存在，也叫无穷间断点

第三章：导数与微分

②两点式：2^—

二：导数的几何意义：曲线C：尸派在点八&立处的

、》.丁一1♦君

切线方程：秀②法线方程：一一"

三：导数的公式：①^^T^&JGI时包巨金

④Q展1KlJ疫⑤&&^=s.eato^g）色sajts=^sco

0裾遍十三QQE^^~^X^Q无红｝一1^

⑦V⑧V1-^（§）1-k^r

----）＞a|D_^EMS：殳》专L

⑩2g⑪7Vs»n

四：几个初等函数的n阶导数:

元

①2②

五：微分的定义：①“尸必②屋廿》

六：微分的运算法则：①②

£

片yd（吵

七：其他：①必比5

第四章：中值定理与导数的应用

-：中值定理：若/（X）满意条件①在闭区间团⑸上连续②在开区间（"〃）内可

导，则在a为内至少存在一点《，使得：f（b）-f（a）=，（该点）（b-a）

罗尔定理：③在闭区间口㈤的端点处函数值相等，-心夕⑥，则在（a㈤内至

少存在一点！，使得，'@=C

拉格朗日定理：在开区间Q㈤至少存在一点"使得

£艺1■碗与五侬/

二：洛必达法则：（。‘8）rm-fW®

三：凹凸区间：5®।大凹小凸

四：渐近线：

limf（x）=c

L水平渐近线：定义：若能美,则称直线I为曲线户念的水平

渐近线

limf（x）=<x

2.垂直渐近线：定义：若（■X-,则称直线无=不为曲线的垂直

渐近线

第五章：不定积分

-：原函数：若/（X）满意称4）为/（X）的一个原函数

二：不定积分：或

三：三角代换：①Jdf?/今②③

V弋—&

四：分部积分法：卜出^廿找&

选取阅历：①\时，令

③中邑hr季老g等时，可任选

第六章：定积分

-：定积分的性质：①£m+“千£犷»②I，®74c

可加性：J＞令3

奇偶性：奇：若在区间卜a上有则//砥加0

偶：若在区间AH上有”=^5^,则工/®公可灰小

二：积分中值定理：若/（x）在区间口⑸上连续，则存在看电阂，使

三：积分上限函数的导数：

2.设出6在区间限耳上可导，则

3.设g（6,f（x）在上目上可导，则工K

四：无限区间上的广义积分：①上又彰修亶纪自3“②

第七章：定积分的应用

定积分的几何应用：

求面积：

求旋转体体积：修疝31”

第八章：常微分方程

-：一阶线性微分方程：形如石小户W的方程

i.齐次：8+⑥通解为：y=cJ^，X

2.非齐次：-丈*^^

通解为:

二：分别变量法：形如q

分别变量：②两边积分：J

三：齐次方程：形如I"或①令K一一代

du_dx

入原方程；②得心田必花；③分别变量/（"）一〃一"

四：形如①令在…代入原方程②得

du_

步③分别变量可得：切（4+4

五：二阶常系数线性齐次方程：形如令＞壬/，山

①4cMF,通解为

②通解为＞^35^^

③公。八9^5,通解为.

六：二阶常系数线性非齐次方程：

（加力寸取t=o

寸女=1

L-/C头名龟型：特解：G）q=p=€H寸耳欢=2

（1M不是齐次方程崎棍时

（"是齐次方程的弹棍时

2.—『4管型：特解：户*，；（③。是齐次特征方程瞰毓血

3.大X气M，SU一型：

（M+"不是特征方程簸电）

特解S是特征方神曲*1

注：非齐次的痛解y=齐次的通解Y+非齐次的一个特解y*

九：复数：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩

①②J?=^-L

第九章：空间解析几何与向量代数

第十章：多元函数的微分学

-：全微分：

1.二元函数:员方

2.三元函数:

a

---————|—

二：复合函数求导法则：息am色a

三：隐函数求导法则（公式法）：

1.抬头€确定户得到-dxFy

立=其念一有

2.足）^确定得到含石⑨石

第十一章：二重积分

第十二章：级数

~：收敛性判别法:

00

2""lina=OlirwNO

L必要条件判别：若自收敛则…“；逆否命题：，一〃则

00

IX

发散

2.比较判别法：小于收敛必收敛，大于发散必发散

OO

夕＜1时，级夔:％收敛

n=\

令lim^1=0,则夕＞时，级夜％发散

〃*un71=1

夕=1时，敛散性无法学

3.比值判别法：

Q＜1时，级痂%收敛

71=1

令=夕,则Q＞时，级复％发散

ZJ—KJOV

n=]

夕=IB寸，敛散性无法学

4.根植判别法：〔

5.三个常用级数：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩

方O、O、…贝信押除上1寸W，M。

①几何级数（等比级数）：'T

K11

调和级数：Zpn,发散

在多项式中，分母最高次数-分子最高次数＞1,级数收敛

分母最高次数-分子最高次数WL级数发散

于」贝J91n寸，收：

③P-级数：初、解寸，发

6.交织级数：

OOOO

幸至喀匏峪蟋QT“匚d曰寸*犬乙Q）H第掘透叫急）

心中。期q攵公-

二：嘉级数的收敛半径和收敛区间

贝UU攵冬

1.不缺项:

取00寸，名及娄攵L|攵全攵

势Q用寸绣娄文纭:首攵

寻曰中冬af弋入岸绣娄3次维小*到

缺项:冬&声喧

方法一：换元

方法二：利用正项级数的比值判别法

选择题：

1.当x—O时，l-cos2x与取1+依2）是等价无穷小，则常数n的值为（）

A.1B.2C.3D.4

解：本题考查无穷小阶的比较,就是求两个函数比值的极限，条件说是等价无穷小，那么比

值的极限是1,即有

1O^(2x)2

1-cos2x?W

lim--------=lim-_—

ln(l+ax)ioaxa

则a=2,选B。

2

2.曲线y二一三二一

的垂直渐近线是（)

x(x-l)(x-2)

A.x=0B.x=\C.x—2D.没有垂直渐近线

解：所谓垂直渐近线就是若1山/（*）=°°（也可以是单侧极限，即左极限或右极限为无穷

XT.4

大），则称x=x0为垂直渐近线。一般拿来探讨极限的/为函数中无定义的点，本题有三个

无定义的点，即尤=0,x=l,x=2,但是在求极限时函数经过化简后变成y=」一

x—2

因此只有lim—二=8,所以选C。

x—2X—2

fsinx，/、

3.设<p(x)=[/ln(l+t)dt,则。(x)=()

JO

A.sinxcosxln(l+sinx)B.sinxln(l+sinx)

C.一sinxcosxln(l+sinx)D.一sinxln(l+sinx)

解：本题考查变上限积分函数求导公式，选A。

4.下列级数中条件收敛的是（）

oo

(一1)"z八〃〃+1W(T)〃

D"Bc.y(-i)-~-D.V-—―

A-Z2.

n=ln+1〃=12〃+1”二i乙

解：本题考查确定收敛与条件收敛的概念，首先要知道无论是确定收敛还是条件收敛都是满

意收敛，只是收敛的“强度”不同罢了。选项A与D都是满意确定收敛的，选项C一般项的

极限不是零，明显发散，只有选项B满意条件收敛。

5.将二重积分JJ次+），小心,。=｛（%）,）|%<y<y]2-x2,O<X<1｝化成极坐标下的

I）

二次积分，则得（）

A.^dO\\2dr氏Jj甸:产/C.J加娟/力■1).J；呵；，公

解：本题考查二重积分的极坐标变换，首先关键是画出积分区域来，作图如下：

本题积分区域形如右图阴影部分，明显答案选D。

6.函数y=xe-，单调递减且其图形为凸的区间是()

A.(-»,2)B.(1,+8)C.(-2,1)1).(1,2)

解：单调减就是一阶导数小于零，凸就是二阶导数小于零，于是

/=(1-x)e~x,y"=(x-2)e~x

(1-x)e~x<0=>x>1.-

<nl<x<2,选D。

(x—2)e~x<0=>%<2

7.设函数■-运是/(x)的反函数，则()

A.B.

8.若%是/(x)的极值点，则()

A.4'小)必定存在，且公立X

B.必定存在，但不确定等于零

C.可能不存在

D./仑。必定不存在

应选c»例：3*在工*处取得微小值，但该函数在上<处不行导，而/'(Q)不

存在

9.设有直线三，则该直线必定()

O4T

A.过原点且垂直于x轴

B.过原点且平行于x轴

C.不过原点，但垂直于x轴

D.不过原点，且不平行于x轴

直线明显过(0,0,0)点，方向向量为Z宜AI二,入轴的正向方向向量为

v={l,0,0},故直线与x轴垂直，故应选

A«

10.累级数Z%x"在点R三处收敛，则级数》一1)"4()

〃=0n=O

A.确定收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与。“有关

在点二=三处收敛，推得对£>,,%'确定收敛，特殊对

〃=0n=0

oOOO

尤o=-1有确定收敛，故应选A。

/»€>，注)

11.对微分方程于寻号士，利用待定系数法求其特解y*时，下面特解设法正确的

是()

A.卢NJ芋B.二C.D.口呈^

12、下列函数必为奇函数的是(A)

A、ln(x+7l+^2)B、xln-~—C、—(e'-e~x)D、［\e'-e^^dt

1+xdxJo

解：对于函数In匕工In±三』n(jm±x),我们可以证明它们都是奇函数；因为

1-x1+x

色("—"*)=e'+e7,所以为偶函数；对于变上限积分因为［J；(d—e-'

而e'-eT是一个奇函数，由“求导之后为奇函数则求导之前必为偶函数”可知J；(d-"')力

为偶函数。选A

13、已知=+在x=0处可导，则的值为(C)

ae~xx>0

A、a=\,b=1B、a=2,b=1C、a=l,b=2D^a=2,b=2

解：因为可导所以必连续，这样利用函数在x=0处连续很快就能求出〃的值，这里我们可

以运用连续则函数值=右极限建立等式，由已知可得/(0)=1,又lim/(x)=limae2x=a,

Xfo+Xfo+

所以a=l；接下来利用可导则左导数=右导数，£(0)=lim匕”」=。，

1。一x-0

2x-12x

£(0)=lim-e-----=lim—=2,所以力=2,选C。

Xf。-x-0D-X

f+00

14、xexdx=(B)

Jo

A、0B、1C、-1D、不存在

解：此题为广义积分，但是选择题，所以不用管它，当成一般的定积分做！

xe-xdx=一J：xdex=~(xe-x\7-J：exdx)=—(加力『+"'「)=—(x+l)e]£

r1

=-(lim---1)=-(0-1)=1

XT+00£X

注：此题在代入上限+8时，不是“一下子”就能得到答案的，须要用罗比达法则求一下极

限。

15、若y=4与y="所围平面图形面积为,，则％=(D)

6

A、-1B、-2C、2D、1

解：首先求一下交点，即卜'=«,解得尤=与，

y=kxk

i3f_1_0[[

所以S=归(、/一立心=(一必一一x2)『=—Y——=-,解得％=1,当然其实不

J。323k、2k6

须要解，因为只有答案D符合。

x77

16、要使直线一=y=一落在平面一一x+3y+2z=0上，则％=(B)

3k3

A、-2B、2C,-1D、-

2

解：在空间中，一条直线落在一个平面内，除了直线上的全部点都在平面内外，“最至少”

该条直线要平行于平面才可能，因为假如不平行那么直线“只能”和平面“相交”了，而相

交的意思就是只有一个“交点”，因此我们可以利用直线平行于平面那么方向向量和法向量

垂直这一结论，即两个向量的点乘为零来求出的值，3-(—；)+1-3+匕2=2%—4=0,则

k=2,选B。

17、下列结论正确的是(C)

②1£(一1)"4)"条件收敛

A、收敛B、

«=12

士器确定收敛I)、之上发散

C、

解：明显选C,为什么？阅历！在考试中遇到级数敛散性的判定不行能给同学们过多的时间

去一个个用所谓的方法去推断，都是凭阅历，所谓阅历就是熟记了一些常见级数的敛散性而

已。

18.若〃x)为是连续函数，

且/(0)=1,/⑴=0,

尤sin，］=(

则lim/)

A.-1B.0

C.1D.不存在

解：原式

.1

了连续sin—

flimxsin—=flim-=/(l)=0,选B

x->8xX—>8I

X

m

19.要使/(x)=m(i+依产在点％=o处连续，应给〃o)补充定义的数值是()

A.kmB.——

m

C.InhnD.ehn

解：lim/(x)=Inlim(l+履)

XTO

limAx—,

=Ine—x=\nekm-km

；.f⑼=km选A

20.若吧|/(x)|=同，则下列正确的是()

A.lim/(x)=A

x->a''

B-四』〃刈=加

C.lim/(x)=-A

D.lim|/(x)|=A

解：螃J|/(x)|逛"J啊|/(x)|=加选B

21.设/(x)=«x

/(0),x=0

且/(x)在x=O处可导，/'(0)H0,

"0)=0,则x=0是尸(x)的()

A.可去间断点B.跳动间断点

C.无穷间断点D.连续点

limF(x)=lim""二"°)=:(0),

解:

10\/KT0X-QJ\/

f(0)^f(0).-.F(o)=/(O)*limF(O),故x=0是尸(x)的第一类可去间断点。选A

xsin1

22.=<"‘in》，犬声o在x=。处()

0,x=0

A.极限不存在B.极限存在但不连续

C.连续但不行导D.可导但不连续

解:lim/(x)=limx-sin-=O,且/(0)=0

.•./(X)在x=0连续，又-f'(O)

xsin——0

=lim-------—=不存在，在x=0不行导选C

—0x-0''

X2+]X<1

23.设={'—在％=1可导，则a/为()

ax+b,x>\

A.a=—2,b=2B.a=O,b=2

C.a=2,b=0D.a=1,Z?=1

解：(1)-在x=l连续，

/.lim(x2+1)=2,lim(ar+Z?)=a+b

故a+b=2...(1)

v-~-1

(2)r(l)=lim—=2，r(l)

以+〃一2(1)

=lim-------------lim-------------=a

.・.a=2,代入(1)得Z?=0,选C

24、已知/(%)=2叫则/'(0)=(D)

A、2wln2B、2vIn2C、2-xIn2D、不存在

解：左导数f'(0)=lim=nmZLLzl=iimllzl=iim=_jn2

xf%X-Xox->。-x—0XT。-XXfO-X

七日."八r少一l2A-1xln2

右导数/+(0)=lim-----=lim-----=lim-----=m2

A—>0+X—01)+XxWX

25、下列积分收敛的是(B)

7F

解：本题只有选项B可以计算出详细值一一arctan1,其它的都是②。

2

26、下列极限中正确的是（C）

A、limsin（l/A）=]Hm"+s，n"不存在lim（l+2x）sinx=e2D,lim^lnx=oo

.r—01/XKTsx-sinxXT。XTO

—lim—,

解：只有选项C是正确的，利用了两个重要极限的推广公式，即lim（l+2x）3n*=eEg=«2

XTO

27、y=V,则下列正确的是（C）

A、y=xxx~]B、dy=xxInxdxC、/=xA（lnx+l）D、yf=xxdx

解：此题是嘉指函数求导计算，利用两边取自然对数法。

28、与平面x+y+z=l平行的直线方程是（C）

x-y-z=2

A、B、x-1=y-l=z-2

x+3y-4z=3

x=t+l

C、*y=-t+2D^x-2y+z=3

z=3

解：A选项是交面式，B选项是标准式（俗称点向式），C选项是参数式，参数式是这样得到

的，比如已知点向式方程二2.=2二比=三二3，令土色=匕滋=三二%=/,则

IinnImn

x=lt+xQ

<%=〃"+%,在点向式中，/,根,〃可以最多有两个为0,这样参数式就可以进行相应的变

x=nt+zQ

更，对于选项c,事实上就是由3=2二2==得到的，于是很简洁看出方向向量是

1-10

什么，与已知条件中的法向量的点乘为0

29、下列哪个结论是正确的（C）

816/IV,■JT)”—确定收敛D、收敛

A、£—L收敛B、确定收敛c、

n=l7nn=]1+〃狙〃+sin及n

解：本题由排出法就可以确定C是正确的

因为〃是从1起先取值的，又|sin«|<1所以n2+sinn>0，于是

9.1?.(-D"1

n+sinn=n+sin〃那么—=~~~：—，因为

n~+sin/?n~+sinn

1

2

-2n18]81

limn+sin”=lim__._=lim_;_=1,所以级数£“2,…与有相同

,is1is"/+灯口ns.sinn狙〃+sm〃狙n

rH---

的敛散性，又£3是收敛的，所以£一一也收敛

an〃=1n+sin〃

填空题：

,...2x—1.2v

1.11111(-----)-=

…2x+l----------

解：本题考查“产”型的基指函数求极限，利用“重要极限的推广公式”

■产=lim()2r=lim(l+产=々e=?»2川=不

*T82x+l*f82x+lXf82x+\

2.已知f\x)=2,则lim/(2+")-/(2-2x)=____________

*T°X

解：本题考查导数的定义，极限中的X只是一个字母，一个无穷小而已，犹如原始定义中的

Ax一样，从极限分子中可以看出自变量变更了(2+幻-(2-2x)=3x,于是

lim-—―"■'(——3lim―--『(―=3八2)=6

xx-03x

7t•,2

qy八七smx+sinx,

3.定积分上----2——心=_________・

七cosX

解：本题考查定积分化简计算，即利用函数奇偶性

si"入+；亩入心-f7-sEj孤+ptan?xdx=2[4tan2xdx=2(4(sec2x-Y)dx

J-彳cos**%J-7cos-xJ-彳‘°1°

£jr

=2(tan2x-x)j=2-—

4,设d=(1,2,0),。二(一1,2,1)则(Q+。)x(Q—/?)=.

解：本题考查向量坐标的加法、减法以及叉乘运算

由已知可得3+5)=(0,4,1),(。-5)=(2,0,-1),则

iJk

(a+b)x(a-h')=041=(-4,2,-8)

20-1

dz

5.设函数z=z(x,y)由方程xe°+yz=l所确定,则看

办

解：本题考查多元隐函数求偏导，可以选择的方法有许多，比如“公式法”、“全微分法”、

“两边求法”，这里我们采纳两边求的方法，即对原方程两边同时关于x求偏导得

oooZ

ez+xez^-+y^-=Q,解得丝=一一--。当然本题用公式法做也很简洁。

exoxdxxe+y

6.基级数£与工(％-2)"的收敛域为________.

>/〃+1

解：本题考查利用系数模比值法求基级数的收敛域

(-1严

，刃+2lim您=1,

因为夕=lim所以R=1

00(-1)〃

+1

于是所以l<x<3；

当x=l时，Z与工(x-2)"=ZMl)"(发散-p-级数);

当尤=3时，£早上(尤一2)”=£与上⑴t(收敛-莱布尼茨判别法);

综上，收敛域为(1,3]

犷，x<a

7、若函数，(幻=<2a,x=a在％处连续，则常数。=2

3x-2,x>a

解：明显f(a)=2a,又lim(3x-2)=3a-2,所以3。-2=2々，则。=2

X—>“+

c，narcsinxn,，/G、1

8、设y=cos'——-——则y(―)=--

.arcsinxl__1

解：y'=-sin

2

2

2

9、1/(lnx)仆%2+以贝ij/(x)=_____2e2v_______

JX

解：因为处公二人+c,所以/Qnx)=(x2+c)，=2x,即/(lnx)=2x2,这样就

JXX

变成了求函数表达式的题目了，方法许多，可以换元，我们这里采纳凑元法，

因为/(Inx)=2x2=2(眇')2,所以f(x)=2(/)2=2e2x

10、z=excosy则dz-e*(cosydx-sinydy)

因为包=e'cosy,—=-exsinj,

解:

dxdy

所以dz=excosydx-exsinydy-e'(cosydx-sinydy)

11、设。：/+丁44,则“设x+4y3)db=o

D

解：本题利用二重积分的化简计算，积分区域是一个“特别对称”的区域，所以答案为0

12、微分方程y'+4y+4y=祀小的待定特解〉*=

解：特征方程为一+4r+4=0,解得4=4=一2,又;1=一2,

2x322x

所以y*=x\Ax+B}e-=(Ax+Bx)e-

13、x+y=tany确定y=y(x),则内=___cot2ydx

14、函数y=m，y"(0)=-1

解：本题先要把变形为g[ln(l-x)—ln(l+x2)]再进行求导，即

I12xx—2x—1

/=-(--——-~7)=———：-广，再接着求导的时候，为了便利我们利用取

2l-x1+x22(l-x)(l+x2)

y2_2r_1

自然对数法，即In(y')=In-----------=ln(x2-2x-1)-ln(l-x)-ln(l+x2)-In2

2(1T)(1+JT)

i9r_9i9Y

两边求导得，—/=--------+---------即

yx2-2x-ll-x1+x2

—2x—12x—212x3

------------丁(―--------+---------7)所以<(0)=一5

2(l-x)(l+x2)X2-2X-11-X1+X2

ri211

15^J---7+arctan(sinx)心=-In3

解：原式=J;S公=gj：*42+V)=?n(2+x3)L=卜n3

本题利用积分区间对称和函数奇偶性，划去其中一部分积分为零的被积函数，对于被积

X

函数——在区间上是非奇非偶函数，所以要当成一般定积分求解

2+x3

16、/'(e')=xe*,/a)=O,贝i]/(x)=___-(2x2lnx-x2+l)__________

4

解:f'(e')=xex=e'\nex,经过这样的变形就可以利用“凑元法”得到-(无)=xlnx,

接下来对xlnx求不定积分，即/,1)=fxln粒，并代入/⑴=0得(？=■!■就可以得

J4

到了(幻

17、交换二次积分得£小J；/(x,y)dy+公J："/(%,y)dy=

解：画出积分区域即可得到答案£我广'"X,y)dx

谷(一1)“F-

18、幕级数，,一的收敛半径R=73

on----------

«=0D

解：本题是缺项级数，依据一般的系数模比值法求出半径为3,然后开根号答案为百

计算题：

•3

1.求极限limsmx

x->°x-arcsinx

x3

内—lim.

解:原支-x->ox-arcsinx

注：在本题的求解过程中运用了干脆代入，即limjl-无2=求并且利用

/-----11

(1+X)x，-1〃X(X-»O),则J1一f_]=(1+(_%2))2_1—(一f)=一一f

22

2.设函数y=y(x)由方程e">'-孙=1所确定，求y'(O),y"(O)

解：本题考查隐函数求导，而且是求详细点的导数值

当x=0时，代入原方程得y=0

方程两边同时关于x求导得e"'(l+y')—(y+孙')=0(*)

代入x=0,y=0得y(o)=-i

再对(*)式两边同时关于x求导得眸+，(1+丁')2+*，力—卬+(/+孙")]=0

整理得ex+y(l+y,)2+(ex+y+x)y"—2y'=0

代入x=o,y=。及y'(。)=-1得y"(0)=-2

3.求不定积分JeG公

解：令y/x—\=t，则X=r+1,公=2tdt,代入得

Je^dx=2jte'dt=2Jtd(e')=2(te'-Je'dt)

=2(/-l)d+C=2(Vx^l-l)eG+C

4.求定积分「-7二亍公

J°j3x+4

,-----t2-42

解：令J3x+4=f，则》=-----,dx=—tdt：当x=0时，=2,当x=4时f=4；

33

代入得

--4

+

「4x+1f4Q2,2「4)100

dx=---------tdt=-\(广一]劝

Jo"/39万

守Z

5.设z=/(2x+3y,y"),其中/有二阶连续偏导数，求工

dxdy

Qz

解：-=f^f^yex=2f^yexf；

ox

分=g(2f；+y/月)=2(工：•3+九、e，)+・月+武力13+公卜#)]

oxoyoy

=+6#+2e"；++声2力

=e£+6斤+(2+3yyexf；'+—(左=外

X=14-2z

6.设直线通过点(T,2,0),垂直于直线(y=2—3f又与平面x—2y+3z=l平行，求其方

z=-\-t

程

x=1+2，

解：设直线(y=2—31的方向向量为So,平面%—2y+3z=l的法向量为%,则

s0=(2,—3,—2,3),设所求直线的方向向量为s，则

iJk

s=nQxs0=1—23=(11,7,1)

2-3-1

于是所求直线方程为—=二=-

1171

7.计算二重积分ffxdxdy,£)={(%,y)\y/y<x<^2-y2,0<y<l}

D\y’

解：由已知条件可知积分区域D是由曲线y=f,f+y2=2所围成，在片一

第一象限中的交点坐标为(1,1),形如右图阴影部分，所以

\\Xdxdy=Jod式—=£事幅%T(2一丁_y协

7

n

注:本题有些同学可能会错误的认为阴影部分应当是

这是因为D={(x,y)|J7wxWj2—y2,0WyWl}

若。={(x,y)|Vwyw，2-X2,0WXW1},则就是其次个图中的阴影部分了。

8.求微分方程y〃-3y'+2y="的通解

解：原方程对应齐次线性微分方程的特征方程为产-3r+2=0,解得4=1,弓=2

f2

所以对应齐次线性微分方程的通解为Y=C,e+C2e'；

又2=1为其中的一个特征根，所以原方程的一个特解为y*=Axe',

则/=A(1+x)ex,y*"=A(2+x)e',代入原方程得

A(2+x)ex-3A(1+x)ex+2Axe'=e"化简得A=—1

所以y*=所以通解为,=C£+Ge?'-叱

9、求=的间断点,并判别间断点类型。

H(x2-i)

X

解：明显间断点为x=o,x=±l,函数变形为/(x)=1——-

IM(i)

XYYY

因为lim7-：-----=-lim——=1,lim；-：------=-lim—=-1

XT。,因(X—1)10--x闵(X-1)10,X

所以x=0为跳动间断点；

Y1

因为lim「［------=一一,所以x=—1为可去间断点；

因为lim1厂----=oo,所以x=l为无穷间断点。

—|x|(x-l)

^dyd-y

求区屋及曲隔

解：因为伫=2/'包=l+eL所以包=邛1+e-

dtdtdxdx2e”

~dt

又生=(匕3=~(e'2'+Uy=l(_2e-2'-3e-3')=-e'2'

dt2e2'