独立粒子的概然分布

1近独立粒子系统

的统计分布

2对于有大量粒子组成的系统，无法确切知道其初态，亦无法确切求解其某时刻状态不从S方程出发，认为系统遵从统计规律性，统计物理学从宏观物质是由大量微观粒子组成这一事实出发，认为物质的宏观特性是大量微观粒子行为的集体表现，宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。由N个同样粒子所组成的系统，设粒子间相互作用可以忽略，即认为这些粒子是整个力学系统的近独立子系。统计物理：关于热现象的微观理论。研究对象：大量微观粒子组成的宏观物质系统。〔微观粒子：分子，原子，自由电子以及光子等〕统计物理认为：宏观性质是大量微观粒子运动的集体表现。宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。经典统计：粒子满足经典力学规律〔状态的经典描述〕量子统计：粒子满足量子力学规律〔状态的量子描述〕在一定条件下，经典统计是一个极好的近似。本局部内容：经典描述，量子描述，三种分布函数以及相应的微观状态数。4粒子微观态及系统微观态的经典描述遵守经典力学运动规律的粒子，称为经典粒子。1、具有“颗粒性〞：有一定的质量、电荷等性质。2、轨道运动：满足牛顿定律。给定初始时刻的r、p即可以确定其运动轨迹〔能够做出确定性的描述〕。经典粒子可以被“跟踪〞。3、可分辨：经典全同粒子可以分辨。具有相同属性〔质量、电荷、自旋等〕的同类粒子称为全同粒子。4、能量是连续的：按照经典力学的观点，在允许的能量范围内，粒子的能量可取任何值。5自由度为r的粒子：t时刻，状态〔q1…qr；p1…pr〕μ空间〔粒子相空间〕—由2r个相互垂直的轴张成的2r维的空间，其中r个轴代表广义坐标，另外r个轴代表广义动量。μ空间中的一个点———粒子的一个微观态μ空间中的轨迹———粒子运动状态随时间的演化代表点：μ空间中的点称为粒子的代表点相轨迹：随着时间变化，代表点在μ空间描出的曲线µ空间〔相空间〕：粒子位置和动量构成的空间。经典力学：确定一个粒子的运动状态用r和p。自由度r=1〔线上运动〕：x和px描述状态。r=3〔3D空间中运动〕，x、y、z和px、py、pz描述状态。6◆一维空间运动的自由粒子自由度r＝1，t时刻，状态〔x，px〕哈密顿量：H=px2/2mμ空间：由相互垂直的x轴及px轴张成的2维空间。原那么上：粒子空间的活动范围：-∞<x<∞粒子的动量大小范围：-∞<px<∞【例1】自由粒子理想气体分子、金属中的自由电子……7等能面8◆三维空间运动的自由粒子，自由度r=3将μ空间分成两个三维的子空间一个是坐标空间，一个是动量空间。t时刻的运动状态：〔x,y,z,px,py,pz)μ空间：由相互垂直的三根坐标轴x、y、z及三根动量轴px、py、pz张成的6维空间。9坐标空间动量空间10【例2】线性谐振子◆一维线性谐振子：自由度r=1,t时刻运动状态(x,px)哈密顿量：气体中双原子分子的振动，晶体中的原子或离子在平衡位置附近的振动均可看作是简谐运动。11μ空间：x,px张成的二维空间12〔2〕Γ空间〔描述系统微观态的相空间〕Γ空间：由2s个相互垂直的轴张成的2s维的空间其中s个轴代表广义坐标，另外s个轴代表广义动量Γ空间中的一个点———系统的一个微观态Γ空间中的轨迹———系统运动状态随时间的演化代表点：Γ空间中的点称为系统的代表点。相轨迹：随着时间变化，代表点在Γ空间描出的曲线。〔2〕Γ空间〔描述系统微观态的相空间〕Γ空间中的一个点———系统的一个微观态Γ空间中的轨迹———系统运动状态随时间的演化13粒子微观态及系统微观态的量子描述前提：粒子服从量子力学规律测不准关系：微观粒子的运动不是简单的轨道运动1、波粒二象性微观粒子即具有粒子性质：r、p又具有波动性质：ω、k德布罗意关系：ћ联系粒子的波动性和粒子性。不可能同时精确的测量粒子的位置和动量。14在量子理学中，微观粒子的运动状态为量子态。量子态由一组量子数(即力学量完全集)表征。每组中的量子数的数目等于粒子的自由度数目。2、量子态不确定关系使粒子运动状态的经典描述是不精确的。自由度为r的粒子：量子数为r粒子的哈密顿H=H({r个量子数})。状态对应的力学量〔如能ε等〕不连续——状态量子化。电子轨道——电子出现概率最大的地方。全同性原理：全同粒子不可分辨，任意交换一对粒子不改变系统的状态。B、自由粒子：m为粒子质量，Lx为自由运动的一维空间长度，nx为量子数3、例子类似于一维无限深势阱中自由粒子的运动A、线性谐振子:能级分立的能量164、能级间隔：与Lx和m成反比。可以看出，Lx→∞，那么△ε→0，即能量此时是连续的。因此，在宏观尺寸上量子效应不显著，可以用经典方法描述。说明：1、一个量子数nx可以确定粒子的动量和能量。2、粒子的状态是分立的——能级。3、各能级的简并性：nx=1和-1是不同的状态——简并。17全同粒子系统:由具有完全相同的属性(相同的质量,电荷,自旋等)的同类粒子组成的系统。近独立粒子系统:指系统中粒子之间相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量。εi只是第i个粒子的坐标和动量以及外场参量的函数，与其他粒子的坐标和动量无关。理想气体假设系统为近独立粒子系统：N个粒子构成系统的微观态Γ空间中的一个点μ空间中的N个点全同粒子系统:由具有完全相同的属性(相同的质量,电荷,自旋等)的同类粒子组成的系统。近独立粒子系统:指系统中粒子之间相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量。18粒子的状态与µ空间体积元的对应关系µ空间的体积元为：如1D相体积：如3D相体积：如果对坐标不加限制那么：19宏观尺度下，粒子的动量和能量已变得准连续。但原那么上仍然有量子数的概念。这是如何考虑自由粒子的量子态数？因此，在体积V中，粒子的动量在间隔范围内的量子数为：根据测不准关系解释：称为相格。表示粒子的一个状态在µ空间所占的体积。那么〔1〕式解释为：相体积Vdpxdpydpz内具有量子数dnxdnydnz为相体积比上相格。在µ空间体积元dω内粒子可能的状态数为：21粒子在相空间的可及区域总的微观状态数W为：其中，Ω代表粒子可及区域的相体积，hr

代表粒子一个微观态的相体积。一个系统的性质可以通过各种条件下系统可到达的微观状态数来计算。计算粒子在μ空间可及区域内所包含的微观状态数。22解:第一步:求等能面所包围的相体积Ω【例1】体积为V的三维空间自由粒子等能面所包围的微观态数等能面方程为：第二步：求等能面所包围的微观状态数：23【例2】求一维线性谐振子等能面所包围的微观态数解：等能面方程：等能面所包围的相体积就是椭圆的面积：24简单证明粒子的一个微观状态占µ相空间的体积：以一维自由粒子为例：µ空间是二维的，能量ε一定时相轨道是一条线段。根据：量子化轨道把µ空间分成许多体积元，单个体积元的体积为：即：一个状态占体积为h。25以线性谐振子为例：线性谐振子的µ相空间等能面是椭圆如图：该椭圆的面积为：能级表示为：能级非简并，一个对应一个状态。两个相邻等能面即状态之间所加的面积：推广：粒子的一个微观状态在µ空间所占体积为一个相格即：26〔1〕计算等能面所围的相体积Ω(ε);〔2〕计算ε—ε+dε能量间隔内的相体积dΩ(ε)〔3〕计算ε—ε+dε能量间隔内的微观状态数定义：能量ε附近单位能量间隔内的微观状态数。记做：D(ε)

按以下三步骤进行计算：三、态密度其中g是粒子简并度。27[例1]求三维空间自由粒子的态密度。解：能量表达式为：28[例2]求一维线性谐振子态密度解：能量表达式为：29在统计物理学中，我们的目的是研究系统在给定宏观条件下的宏观性质。如系统具有的粒子数为N，体积为V,能量为E。在给定的这些宏观条件下，系统可能的微观状态还是很多的，各种可能微观状态都有出现的时机。我们不能肯定系统在某一时刻一定处在或一定不处在某运动状态，而只能确定系统在某一时刻处在各状态的概率。宏观物理量应当是相应微观量在满足给定宏观条件的一切可能的微观状态上的平均值。统计分布函数和热力学几率一、统计分布函数30下面以μ空间为例引入分布函数的概念t时刻，N个相同的粒子中有dN个粒子落在μ空间〔qi，pi〕点附近的即有dN个粒子落在（qi，pi）点dω（）内，则粒子处于（qi，pi）点dω内的几率为：31分布函数ρ=ρ〔qi，pi，t)的物理意义：粒子处于μ空间〔qi，pi)点处单位相体积内的几率。ρ是几率密度，ρdω是几率。一般：ρ=ρ(qi，pi，t)，几率密度随时间变化，统计平衡态：ρ=ρ(qi，pi)几率密度不随时间变化。32表示粒子出现在μ空间可及区域的概率总和为1。33宏观物理量：统计物理的根本思想：将系统的宏观量看作相应微观量的统计平均值。如果系统的分布函数ρ(qi,pi)，就可由以下公式求得宏观物理量。宏观物理量的涨落：代表微观量偏离其统计平均值的相对大小。34几个排列组合定那么①设有N个物体，彼此有区别，排成一列，那么可有N!种不同的排法。②设有N个物体，彼此有区别，分成二组，一为M个，另一为N-M个，那么可有以下种不同的分法。③设有N个物体，彼此有区别，放在C个盒子中，每盒不得超过一个，那么可有以下种不同的放法。④设有N个物体，彼此毫无区别，放在C个盒子中，每盒不得超过一个，那么可有以下种不同的放法。35热力学几率对于近独立粒子子系统μ空间中的N个点系统的一个微观状态【例】由三个一维空间自由粒子构成的近独立粒子系统。粒子的自由度r=1,μ空间是二维的，如以下图所示，三个粒子分别用符号★、●、◆表示1、定义36任意交换两个代表点在μ空间的位置，在经典力学框架下，相应的系统的微观状态是不同的。而在量子力学框架下，对于全同粒子体系，相应的系统的微观状态不变〔微观粒子全同性原理〕。图一与图二分别代表系统两种不同的状态。37现在考虑N个粒子在μ空间按相格的分布。在μ空间拍照系统t时刻的一个微观状态，即N个点的集合。得到以下的分布：Δω1Δω2……Δωi……ΔωkN1N2……Ni……Nk记作：分布{Ni}——表示第i个相格内有Ni个粒子。系统的一个微观状态对应一个确定的分布{Ni}问：一个确定的分布{Ni}对应系统?个微观状态38设N=6,将其编号为1,2,3,4,5,6；k=4个相格如下所示：39分布{3,1,0,2}所对应的微观状态数为：一般定义：对于给定的分布{Ni}:为此分布的热力学几率。40◆热力学几率是分布{Ni}所对应的微观状态数。W≧1◆对于N一定的系统，W=W(Ni)。即：热力学几率是各个相格内所含粒子数的函数。◆粒子按能级的分布也记作{Ni}。它代表N个粒子中有Ni个粒子处于第i个能级上。说明：41假设能级是非简并的，那么热力学几率为：假设能级是简并的，那么热力学几率为：ωl第l个能级上的简并度。42系统的一个宏观态一个分布{Ni}43[例]假定某种类型的分子可能的能级为0，ω，2ω，3ω……，且各个能级为非简并的，如果体系有6个分子，问能量为3ω时可能的分布有哪些？相应的热力学几率为多少？解：按要求所求分布应同时满足以下两个条件：可能的分布为：4445【例】一容器内有4个粒子A、B、C、D，容器被看作由Ⅰ、Ⅱ两个区域构成，粒子动量的不同被忽略，粒子的状态只由处于Ⅰ,Ⅱ两个区域来区分。问系统可能的分布与分布对应的微观状态数。D1{2,2}，D2{1,3}，D3{3,1}，D4{0,4}，D5{4,0}2、等概率原理解：可能的分布为5种：46474849W最大粒子密度均匀的平衡态极大可能处于分布D1密度不均匀的非平衡态很小可能处于分布D2、D3W中密度不均匀的非平衡态极小可能处于分布D4、D5W小各种分布出现的可能性大小的排序，恰与热力学几率大小的排序一致。50玻耳兹曼提出了一个重要的统计物理根本假设——等概率原理◆等概率原理在统计物理中是一个根本假设，它的正确性由它的所有推论与客观实际符合很好而得到肯定。◆等概率原理是平衡态统计物理的根底。处在统计平衡态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。◆孤立系统是一个具有确定N、E、V的系统。即系统所有可能出现的微观状态都同样满足具有确定N、E、V的宏观条件，没有理由认为哪一个状态出现的概率应当更大一些。这些微观状态应当是平权的。因此，认为各个可能的微观状态出现的概率相等应当是一个合理的假设。玻耳兹曼提出了一个重要的统计物理根本假设——等概率原理51∵W1>W2=W3>W4=W5∴P1>P2=P3>P4=P5即哪种宏观态对应的微观态越多，哪种宏观态出现的可能性〔概率〕就越大。3、热力学几率与概率的关系假设孤立系统共有M种分布{Ni}α〔α=1,2,…M),第α种分布对应的热力学几率(微观状态数〕Wα,系统总的微观状态数：第α种分布〔第α种宏观态〕出现的概率:52概率Pα是归一的，而热力学几率Wα不是归一的。二者之间相差一个归一化因子1/W。例题中总的微观状态数：W=6+2×4+2×1=165种分布所对应的概率：假设系统粒子数N>>1时，分布{N,0}或{0,N}出现的概率与均匀分布比，将一致趋于零。53孤立系统：热力学：非平衡态热力学平衡态统计物理：W小

W最大

P小

P最大结论：热力学平衡态对应的是统计物理中热力学几率(几率〕最大的状态。544、热力学几率与熵的关系孤立系统：非平衡态自发地趋于平衡态统计物理：W小W最大热力学：S小S最大定性结论：S与W有关，即S应是W的函数下面推导这种函数关系：S=f(W)设：大系统=系统A+系统B其中A、B两个系统均已到达自己的平衡态。55系统A:S1、W1系统B:S2、W2大系统：S=S1+S2〔1〕W=W1•W2〔2〕根据所设：S1=f(W1)〔3〕S2=f(W2)〔4〕S=f(W)〔5〕把(3)、(4)、(5)代人(1)得：f(W)=f(W1)+f(W2)〔6〕由(2)有：f(W1W2)=f(W1)+f(W2)〔7〕56对〔7〕式中的W1求偏导：f(W1W2)=f(W1)+f(W2)〔7〕575859◆玻耳兹曼关系给出了熵的统计物理意义。━━熵是系统某宏观态对应的微观状态数对数的量度。认为系统某宏观态对应的微观状态数(W)越多，处于此态的系统就越混乱。所以说熵是系统混乱度的量度。60热力学理论：根据熵增原理，对于一个孤立系统,当系统到达平衡态时，即当S=Smax时，系统绝对不能再发生变化了。统计物理理论：平衡态对应Wmax，偏离平衡的宏观态对应W那些偏离平衡态的状态出现的几率虽很小，但并不为零。所以，涨落现象的存在，在统计物理理论中是很自然的。◆弥补了热力学理论不能解释涨落现象的缺陷61◆提供了一种计算热力学几率之比的方法设：宏观态A对应的热力学几率为WA

宏观态B对应的热力学几率为WA由玻耳兹曼关系：SA=klnWASB=klnWB

62Boltzmann系统：粒子是可分辨的，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制。Boson系统：粒子不可分辨，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制。Fermion系统：粒子是不可分辨的，且每一个个体量子态上最多可容纳一个粒子(Pauli不相容原理)。三种统计分布Marxwell-Boltzmann分布Bose-Einstein分布Fermi-Dirac分布63Boltzmann系统三个状态，两个粒子在三种分布下的分布情况：64Boson系统65Fermion系统66粒子是可分辨的，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制。对粒子系统：Marxwell-Boltzmann分布μ空间能级简并度粒子数这时所求分布所应该满足的条件粒子数可编号67例如：能量为εl的微观态是四度简并，具有该能量的粒子数为5。a.移动：al〔5〕个粒子在ωl〔4〕个量子态中不同放置导致不同微观态。确定，只有移动和交换粒子可能改变系统的微观态；68b.交换：不同能级之间的粒子交换导致新的微观态。N个粒子总的交换数为N！，同能级内粒子交换总数改变微观状态的粒子交换的有效次数：al个粒子在ωl个量子态中放置的不同方式的数目：所以分布对应微观状态数：69与分布相应的微观状态数：N个粒子形成分布的分法al个粒子占据ωl个态的方式数根据等几率原理，对于处在平衡状态的孤立系统，每个可能的微观状态出现的几率相等。因此，微观状态数最多的分布，出现的概率最大，是最可几分布。平衡态最可几分布70对粒子系统：μ空间能级简并度粒子数这时所求分布所应该满足的条件Bose-Einstein分布粒子不可分辨，处在一个个体量子态上的粒子数不受限制。71粒子不可区分，每量子态的粒子数不限量子态与粒子交换导致不同的微观态。量子态与粒子交换数：量子态交换数：粒子交换数：72