新高考数学一轮复习讲练测专题6.1平面向量的概念及其运算（讲）解析版

专题6.1平面向量的概念及其运算新课程考试要求1.平面向量的实际背景及基本概念：理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.2.向量的线性运算：掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.3.理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系.4.掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多例）等.考向预测（1）以考查向量的线性运算、共线为主，且主要是在理解它们含义的基础上，进一步解题，如利用向量的线性运算求参数等；（2）考查单位向量较多.（3）以考查向量的数量积、夹角、模、垂直的条件等问题为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；（4）常常以平面图形为载体，同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．【知识清单】知识点1．向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．知识点2．平面向量的线性运算一．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：；(2)结合律：减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则二．向量的数乘运算及其几何意义1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：①；②；③.知识点3．共线向量共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.知识点4．两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.知识点5．平面向量的数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.2．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．知识点6．数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．知识点7．向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.2．a⊥ba·b＝0.3．a·a＝|a|2，.4．cosθ＝.(θ为a与b的夹角)5．|a·b|≤|a||b|.【考点分类剖析】考点一向量的有关概念【典例1】（2020·山东高三专题练习）给出下列四个命题：①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“SKIPIF1<0”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0的充要条件是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.其中正确命题的序号是（）A．②③ B．①② C．③④ D．②④【答案】A【解析】对于①，根据向量相等的概念分析可知不正确；对于②，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知正确；对于③，根据向量相等的概念分析可知正确；对于④，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知不正确.【详解】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；对于③，若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；显然正确，故③正确；对于④，由SKIPIF1<0可以推出SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，但是由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0可能推出SKIPIF1<0，故“SKIPIF1<0且SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分条件，故④不正确,故选：A【典例2】（2020·衡水市第十四中学高一月考）下列说法错误的是（）A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等【答案】D【解析】A.向量与向量的方向相反，长度相等，故A正确；B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.【易错提醒】1．有关平面向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．(5)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．【变式探究】1.（2020·福建福州市·文博中学高一期末）下列命题中正确的是（）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是平行四边形C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】D【解析】利用向量相等可判断AD选项的正误，取SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共线可判断B选项的正误，取SKIPIF1<0可判断C选项的正误.【详解】对于A选项，若SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0、SKIPIF1<0方向不相同时，SKIPIF1<0，A选项错误；对于B选项，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共线且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0无法构成四边形，B选项错误；对于C选项，取SKIPIF1<0，虽然有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不一定平行，C选项错误；对于D选项，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，D选项正确.故选：D.2.设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.【总结提升】(1)非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系：eq\f(a,|a|)是与a同方向的单位向量，－eq\f(a,|a|)是与a反方向的单位向量．(2)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．(3)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．（4）几个重要结论①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．考点二平面向量的线性运算【典例3】（2020·海南高考真题）在SKIPIF1<0中，D是AB边上的中点，则SKIPIF1<0=（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根据向量的加减法运算法则算出即可.【详解】SKIPIF1<0故选：C【典例4】（2020·湖南衡阳·三模（文））在平行四边形中，若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵∴∴.故选：D.【规律方法】1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．【变式探究】1.（2018年新课标I卷理）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=A．34ABC．34AB【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得BE=12所以EB=342.（2019·广东高考模拟（理））已知，，三点不共线，且点满足，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】已知，，三点不共线，且点满足，所以=+=）（）+=，所以,故选：A【总结提升】平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．考点三利用向量线性运算求参数【典例5】（2020·西藏拉萨那曲第二高级中学高二期中（文））设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个不共线的向量，若向量SKIPIF1<0(k∈R)与向量SKIPIF1<0共线，则（）A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝SKIPIF1<0【答案】D【解析】根据向量共线定理可得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是不共线向量，可得SKIPIF1<0，解方程组即可求解.【详解】由共线向量定理可知存在实数λ，使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是不共线向量，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故选：D【典例6】（2020·三亚华侨学校高一开学考试）已知四边形ABCD为正方形，，AP与CD交于点E，若，则=.【答案】.【解析】由题作图如图所示，∵，∴，∴，∴，∴.故答案为：.【总结提升】利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较、观察可知所求．【变式探究】1.（2019·山东高考模拟（文））在正方形中，为的中点，若，则的值为（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由题得,.故选：B2.（2020·全国高一课时练习）已知x,y是实数,向量不共线,若,则________,________.【答案】【解析】因为向量不共线，所以向量均不为零向量，解得故答案为：；考点四共线向量及其应用

【典例7】（2020·全国高一课时练习）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面内不共线的向量，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若A，B，D三点共线，则SKIPIF1<0____.【答案】SKIPIF1<0【解析】求出SKIPIF1<0，利用三点共线，得到SKIPIF1<0，求出λ和k.【详解】由题意，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且A、B、D三点共线，由共线向量定理得，存在实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例8】已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，求x＋y的值．【答案】【解析】由于A，B，P三点共线，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1．【规律方法】1.平面向量共线定理的三个应用2.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔eq\o(OP,\s\up16(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up16(→))＋teq\o(OB,\s\up16(→))(O为平面内任一点，t∈R)．【变式探究】1.（2020·全国高二课时练习）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向相反，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝________SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】直接利用向量共线进行计算即可.【详解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向相反，所以SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.2.（2020·上海高三专题练习）设是不共线的两个向量,已知，，若A、B、D三点共线,求k的值.【答案】k=－1【解析】由A、B、C三点共线，存在实数，使得∵∴故又a,b不共线∴=1，k=－1【总结提升】共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．考点五平面向量数量积的运算【典例9】（2020·海南高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影的取值范围是SKIPIF1<0，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】SKIPIF1<0的模为2，根据正六边形的特征，可以得到SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影的取值范围是SKIPIF1<0，结合向量数量积的定义式，可知SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0的模与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影的乘积，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选：A.【典例10】（2018·天津高考真题（文））在如图的平面图形中，已知OM=1.ON=2,∠MON=120∘,BM=2A．−15B．−9C．−6D．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN，由BM=2MA,CN=2NA可知点则BC=3由题意可知：OM2=1结合数量积的运算法则可得：BC⋅本题选择C选项.【规律方法】计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．【变式探究】1．（2018·全国高考真题（理））已知向量a，b满足|a| =1，A．4B．3C．2D．0【答案】B【解析】因为a所以选B.2.（2020届浙江省杭州市高三上期末（一模)）在平面凸四边形中，，点，分别是边，的中点，且，若，则______.【答案】【解析】取BD的中点O，连接OM，ON，

可得，

平方可得，

即有，，即有，

解得，

所以，

故答案为：−2.【总结提升】知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解；②对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．考点六平面向量的夹角问题【典例11】（2020·全国高考真题（理））已知向量，满足，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，.，因此，.故选：D.【典例12】（2019·全国高考真题（理））已知为单位向量，且=0，若，则___________.【答案】.【解析】因为，，所以，，所以，所以．【总结提升】向量夹角问题的解答方法：(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).提醒：〈a，b〉∈[0，π]．【变式探究】1.（2020·陕西西安市·西安一中高三月考（文））若两个非零向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】把已知等式两边平方，得到SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的关系及SKIPIF1<0，然后利用向量的数量积公式求出量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角．【详解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：D．2．（2020届浙江绍兴市诸暨市高三上期末）已知，是不共线的两个向量，若对任意的，的最小值为1，的最小值为1，若，则，所成角的余弦值为______.【答案】【解析】因为,所以当时，即，因为，所以当时，，即，所以，所以.故答案为：考点七平面向量的模的问题

【典例13】（2021·全国高考真题（文））若向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________.【答案】SKIPIF1<0【解析】根据题目条件，利用SKIPIF1<0模的平方可以得出答案【详解】∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例14】（2019·浙江高考真题）已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______.【答案】0【解析】正方形ABCD的边长为1，可得，，•0，要使的最小，只需要，此时只需要取此时等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正.比如则.【规律方法】平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2).②若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．（3）利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．【变式探究】1．（2020·浙江高三）已知，则的取值范围是（）A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]【答案】D【解析】设，则，，∴（）2•2||22＝4，所以可得：，配方可得，所以，又则[0，2]．故选：D．2．（2020·全国高二课时练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0____________．【答案】SKIPIF1<0【解析】根据SKIPIF1<0和向量数量积运算可得答案．【详解】解：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．考点八平面向量垂直的条件

【典例15】（2020·全国高考真题（文））已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得：.A：因为，所以本选项不符合题意；B：因为，所以本选项不符合题意；C：因为，所以本选项不符合题意；D：因为，所以本选项符合题意.故选：D.【典例16】（2020·全国高考真题（理））已知单位向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的夹角为45°，SKIPIF