新高考数学一轮复习10.6 三定问题及最值（精练）（基础版）（解析版）

10.6三定问题及最值（精练）（基础版）题组一定点1．（2022·烟台模拟）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的离心率为SKIPIF1<0，其左､右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上任意一点，SKIPIF1<0面积的最大值为1.题组一定点（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）已知SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：以SKIPIF1<0为直径的圆过定点.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）解：因为椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又当SKIPIF1<0位于上顶点或者下顶点时，SKIPIF1<0面积最大，即SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0（2）解：由题知，直线SKIPIF1<0的斜率存在，所以设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将直线SKIPIF1<0代入椭圆SKIPIF1<0的方程得：SKIPIF1<0，由韦达定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0为直径的圆为SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0.①因为SKIPIF1<0，令①中的SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，以SKIPIF1<0为直径的圆过定点SKIPIF1<0.2．（2022·莆田三模）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程．（2）若直线l与椭圆C相切于点D，且与直线SKIPIF1<0交于点E．试问在x轴上是否存在定点P，使得点P在以线段SKIPIF1<0为直径的圆上？若存在，求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）解：由题意得SKIPIF1<0，所以椭圆C的标准方程为SKIPIF1<0.（2）解：由题意，可知椭圆的切线方程的斜率一定存在，设切线方程的切点为SKIPIF1<0，切线方程为SKIPIF1<0，下面证明：联立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，及直线SKIPIF1<0与椭圆只有一个公共点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与椭圆相切，所以椭圆上切点为SKIPIF1<0的切线方程为SKIPIF1<0.切线方程SKIPIF1<0与SKIPIF1<0联立得SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0为直径的圆的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化简整理得SKIPIF1<0，由题意可知，此式恒成立，故当SKIPIF1<0满足题意.此时SKIPIF1<0.故存在定点P，使得点P在以线段SKIPIF1<0为直径的圆上.3（2022·河南模拟）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，C的四个顶点围成的四边形面积为SKIPIF1<0．（1）求C的方程；（2）已知点SKIPIF1<0，若不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，且SKIPIF1<0，证明：l过定点．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）解：由离心率为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，①C的四个顶点围成的四边形面积为SKIPIF1<0．②由①②可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，C的方程为SKIPIF1<0．（2）解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．因为Q不在l上，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都不是零向量，故SKIPIF1<0，由题意可知l的斜率一定存在．设l的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．联立方程组得SKIPIF1<0，消去y并整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，满足SKIPIF1<0，此时直线l的方程为SKIPIF1<0，所以直线l过定点SKIPIF1<0．题组二题组二定值1．（2022·安徽模拟）点SKIPIF1<0为坐标原点，过点SKIPIF1<0的直线与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0.（1）求抛物线的方程；（2）动点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为抛物线在第一象限内两点，且直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的倾斜角互补，求证：SKIPIF1<0是定值.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）见解析【解析】（1）解：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.解得SKIPIF1<0，所以抛物线的方程为SKIPIF1<0.（2）证明：设点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；因为直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的倾斜角互补，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，由题设得SKIPIF1<0；不妨设SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0点，SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0点；即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是定值.2．（2022·安徽三模）已知椭圆C：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，其右焦点为F，左顶点为A，点P是椭圆C上异于点A的一个动点，且当SKIPIF1<0轴时，△APF的面积为SKIPIF1<0．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线AP交直线l：SKIPIF1<0于点Q，直线l与x轴交于点T，证明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）见解析【解析】（1）解：设SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0代入椭圆方程，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，椭圆C的标准方程为SKIPIF1<0．（2）证明：易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以直线AP的方程是SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以点Q的坐标为SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0轴时，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．当PF与x轴不垂直时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．3．（2022·延庆模拟）已知椭圆SKIPIF1<0的长轴长为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，其中左顶点为SKIPIF1<0，右顶点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点.（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求证：SKIPIF1<0为定值.【答案】见解析【解析】（1）解：由已知得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．又因为椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0（2）证明：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<04．（2022·临沂模拟）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的左顶点，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）若动直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0恰有1个公共点，且与SKIPIF1<0的两条渐近线分别交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．求证：点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的横坐标之积为定值．【答案】见解析【解析】（1）解：易知点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）证明：分以下两种情况讨论：①当直线SKIPIF1<0轴时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，此时点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的横坐标之积为SKIPIF1<0；②当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由题意可知直线SKIPIF1<0不与双曲线SKIPIF1<0的渐近线平行或重合，即SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不妨点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的交点，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0.综上所述，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的横坐标之积为定值.5．（2022·青州模拟）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的右顶点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．（1）求双曲线SKIPIF1<0的方程；（2）动直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0恰有1个公共点，且与双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线分别交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为坐标原点．求证：SKIPIF1<0的面积为定值．【答案】见解析【解析】（1）解：不妨设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0故由SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0所以双曲线SKIPIF1<0的标准方程为：SKIPIF1<0（2）解：设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0点，双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0由于动直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0恰有1个公共点，且与双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线分别交于点SKIPIF1<0，当动直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当动直线SKIPIF1<0的斜率存在时，且斜率SKIPIF1<0，不妨设直线SKIPIF1<0，故由SKIPIF1<0SKIPIF1<0依题意，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，故由SKIPIF1<0，同理可求，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0又因为原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的面积是为定值，定值为SKIPIF1<06．（2022·平江模拟）在平面直角坐标系中，椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴相交于点SKIPIF1<0，与椭圆相交于点SKIPIF1<0；（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程，（2）在SKIPIF1<0轴上是否存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值？若存在，请求出点SKIPIF1<0的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】见解析【解析】（1）解：由题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆的方程为SKIPIF1<0（2）解：设SKIPIF1<0（ⅰ）当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不重合时，设SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，无论SKIPIF1<0取何值，SKIPIF1<0的值恒为2，得点SKIPIF1<0，（ⅱ）当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴重合时，有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0=2由i和ii得，在SKIPIF1<0轴上是存在两点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0题组三题组三最值1．（2022·唐山二模）已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为F，椭圆SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的离心率；（2）如图：直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于A，D两点，交椭圆E于B，C两点．①求证：SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最大值．【答案】见解析【解析】（1）解：椭圆SKIPIF1<0的标准方程为：SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0（2）证明：对于①，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0联立整理得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的中点坐标SKIPIF1<0同理可知SKIPIF1<0的中点坐标SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中点重合，故SKIPIF1<0.对于②，由①知，直线SKIPIF1<0被椭圆截得弦长为SKIPIF1<0把SKIPIF1<0代入得，SKIPIF1<0把SKIPIF1<0代入得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的面积最大值是SKIPIF1<0.2．（2022·枣庄模拟）已知双曲线SKIPIF1<0的实轴长为2．点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0的准线与C的一个交点．（1）求双曲线C和抛物线E的方程；（2）过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A，B．求SKIPIF1<0面积的取值范围．【答案】见解析【解析】（1）解：由题，SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在双曲线上，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故双曲线方程为SKIPIF1<0；又点SKIPIF1<0过抛物线SKIPIF1<0的准线，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（2）解：显然直线SKIPIF1<0斜率存在，故设直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0