几何概型 省赛获奖

几何概型

对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.几何概型的特点:(1)基本事件有无限多个;(2)基本事件发生是等可能的.

一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:注:(2)D的测度不为0,当D分别是线段、平面图形、立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积.（1）古典概型与几何概型的区别在于：几何概型是无限多个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限多个；（3）区域应指“开区域”，不包含边界点；在区域内随机取点是指：该点落在内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性状位置无关．练习:1.如图是半圆及其内接正方形ABCD,现向半圆内随机投一点,求该点落在正方形内的概率.2.在区间[0,10]中,任意取一个数,则它与4之和大于10的概率是多少?2/53.已知实数x,y可以在0<x<2,0<y<2的条件下随机的取值,那么取出的数对满足(x-1)2+(y-1)2<1的概率是多少?π/44.有一个半径为5的圆,现将一枚半径为1的硬币向圆投去,如果不考虑硬币完全落在圆外的情况,求硬币完全落在圆内的概率.4/95.在平面直角坐标系中,以原点为圆心,半径为1且位于x轴上方的半圆与x轴正半轴交于点A,M是半圆上的任意一点,记弧AM的长为m,求m大于1的概率.π-1/π例1:(会面问题)甲、乙二人约定在12点到５点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。解：以x,y分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是0≤x≤5,0≤y≤5.即点M落在图中的阴影部分.所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的..M(x,y)x012345y54321二人会面的条件是：

012345yx54321y=x+1y=x-1记“两人会面”为事件A假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?解:以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系,由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即时间A发生,所以练习1:国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话,发现30min的磁带上,从开始30s处起,有10s长的一段内容包含间谍犯罪的信息.后来发现,这段谈话的部分被某工作人员擦掉了,该工作人员声称他完全是无意中按错了键,使从此后起往后的所有内容都被擦掉了.那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？练习2解:记事件A:按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉．则事件A发生就是在０—40s时间段内按错键．故课堂小结1.古典概型与几何概型的区别.相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有